Compléments de géométrie dans l’espace

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) Sphère de centre $O$ et de rayon $R=10$. Un plan $P$ est à distance $d=6$ de $O$. La section est :
a) un cercle de rayon $8$   b) un point unique   c) vide   d) un cercle de rayon $6$

2) Si $d=R$, le plan $P$ est :
a) sécant   b) tangent   c) extérieur   d) confondu avec la sphère

3) Pour montrer qu'une droite est orthogonale à un plan, il suffit de montrer qu'elle est orthogonale à :
a) une droite du plan   b) deux droites parallèles du plan   c) deux droites sécantes du plan   d) toutes les droites du plan, une par une

4) Sphère de rayon $R=7$. Un plan $P$ est à distance $d=9$ de son centre. La section est :
a) un cercle   b) un point   c) vide (plan extérieur)   d) indéterminée

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) Deux points d'une section plane sont situés sur une même face d'un polyèdre. Pour tracer la section sur cette face, on :
a) les relie par un arc   b) les relie par un segment direct   c) ne peut rien tracer   d) doit connaître un 3ᵉ point

2) Un plan sécant coupe deux faces parallèles d'un cube. Les deux traces obtenues sur ces faces sont :
a) sécantes   b) parallèles   c) confondues   d) perpendiculaires

3) $I,J,K$ sont les milieux de trois arêtes de longueur $a$ issues d'un même sommet d'un cube. La longueur $IJ$ vaut :
a) $a\sqrt2$   b) $\dfrac{a}{\sqrt2}$   c) $a$   d) $\dfrac{a^2}{2}$

4) Le triangle $IJK$ formé par trois milieux d'arêtes issues d'un même sommet d'un cube est :
a) rectangle   b) isocèle non équilatéral   c) équilatéral   d) quelconque

Exercice 2 — Situation d'intégration

Un château d'eau de forme sphérique, de rayon $6$ m, alimente un village. Une canalisation horizontale traverse le terrain dans un plan situé à $4{,}5$ m du centre du réservoir, et coupe donc la sphère selon un cercle.

Le cahier des charges de l'entreprise de construction impose qu'au niveau de cette canalisation, le cercle d'intersection ait un rayon d'au moins $4$ m, afin de garantir suffisamment d'espace pour les supports structurels du réservoir.

Consigne : Calculer le rayon du cercle formé par l'intersection du plan et de la sphère (arrondi au centième), puis dire si l'installation respecte l'exigence du cahier des charges.

Exercice 2 — Situation d'intégration

Un maçon doit couper le coin d'un bloc de béton cubique d'arête $20$ cm selon un plan passant par les milieux de trois arêtes issues d'un même sommet, afin de créer un chanfrein décoratif pour un rebord de fenêtre.

L'architecte a fixé une tolérance : la surface de béton retirée par cette découpe (l'aire du triangle formé par la section) ne doit pas dépasser $150$ cm², pour ne pas fragiliser l'angle du bloc.

Consigne : Déterminer la longueur d'un côté du triangle formé par la section, calculer son aire, et vérifier si la découpe respecte la tolérance fixée par l'architecte.

Problème — Une sphère de centre $O$ a pour rayon $R=17$.

Partie A. 1) Un plan $P_1$ est situé à distance $d_1=8$ de $O$. Quelle est la nature de la section ? Donner son rayon exact. 2) Un plan $P_2$ est situé à distance $d_2=17$ de $O$. Quelle est la nature de la section ?

Partie B. On considère à présent un plan $P_3$ dont on sait qu'il coupe la sphère selon un cercle de rayon $r_3=15$. 1) Calculer la distance $d_3$ du centre $O$ au plan $P_3$. 2) Comparer $d_3$ et $d_1$ (de la Partie A) et en déduire lequel des deux plans, $P_1$ ou $P_3$, est le plus proche du centre $O$.