Première S2-S4-S5 · Leçon 9
Applications
Exercices corrigés
QCM — Applications & polynômes
Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)
1) Soit $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=x^2$. L'application $f$ est :
a) injective b) surjective c) bijective d) ni injective ni surjective
2) Soit $g:[0;+\infty[\to[0;+\infty[$, $g(x)=x^2$. L'application $g$ est :
a) injective seulement b) surjective seulement c) bijective d) ni injective ni surjective
3) Le polynôme $P(x)=x^3-3x^2+4$ admet $x=-1$ pour racine. Après division euclidienne par $(x+1)$, le quotient est :
a) $x^2-2x+2$ b) $x^2-4x+4$ c) $x^2-2x-4$ d) $x^2+2x-4$
4) Le trinôme $x^2-7x+10$ a pour racines $x_1$ et $x_2$. La valeur de $x_1+x_2$ est :
a) $-7$ b) $7$ c) $10$ d) $-10$
Voir le corrigé
- Réponse : d. $f(-2)=f(2)=4$ donc $f$ n'est pas injective ; $-1$ n'a pas d'antécédent réel donc $f$ n'est pas surjective.
- Réponse : c. Sur $[0;+\infty[$, $g$ est strictement croissante (injective) et prend toutes les valeurs de $[0;+\infty[$ (surjective) : $g$ est bijective, de réciproque $g^{-1}(x)=\sqrt{x}$.
- Réponse : c. Division euclidienne : $x^3-3x^2+4=(x+1)(x^2-4x+4)$. Vérification : $(x+1)(x^2-4x+4)=x^3-4x^2+4x+x^2-4x+4=x^3-3x^2+4$. ✓
- Réponse : b. Pour $ax^2+bx+c$, la somme des racines vaut $-b/a$. Ici $-(-7)/1=7$.
Une restriction bijective
Soit \(f:\mathbb R\to\mathbb R\), \(x\mapsto x^2-2x+1\).
1) Calcule \(f(0)\) et \(f(2)\). L'application \(f\) est-elle injective ? Est-elle surjective ?
2) Écris \(f(x)\) comme un carré. Montre que la restriction \(g\) de \(f\) à \([1\,;+\infty[\), considérée comme application de \([1\,;+\infty[\) dans \([0\,;+\infty[\), est bijective.
3) Détermine l'application réciproque \(g^{-1}\) et vérifie \(g^{-1}(4)\).
Voir le corrigé
1) \(f(0)=1\) et \(f(2)=4-4+1=1\) : deux réels différents ont la même image, donc \(f\) n'est pas injective. Comme \(f(x)=(x-1)^2\ge 0\), le réel \(-1\) n'a pas d'antécédent : \(f\) n'est pas surjective.
2) \(f(x)=(x-1)^2\). Soit \(y\ge 0\). L'équation \((x-1)^2=y\), avec \(x\ge 1\), s'écrit \(x-1=\sqrt y\) (car \(x-1\ge 0\)), et a la seule solution \(x=1+\sqrt y\), qui est bien dans \([1\,;+\infty[\). Tout élément de \([0\,;+\infty[\) a exactement un antécédent : \(g\) est bijective.
3) \(g^{-1}(y)=1+\sqrt y\) pour \(y\ge 0\). Par exemple \(g^{-1}(4)=3\), et en effet \(g(3)=(3-1)^2=4\).
Réponse : \(f\) n'est ni injective (\(f(0)=f(2)\)) ni surjective (\(-1\) sans antécédent) ; sa restriction \(g\) à \([1\,;+\infty[\) est une bijection sur \([0\,;+\infty[\), de réciproque \(y\mapsto 1+\sqrt y\).
Images directes et réciproques
Soit \(g\) la fonction inverse sur \(]0\,;+\infty[\), \(g(x)=\dfrac1x\), et \(h\) la fonction valeur absolue sur \(\mathbb R\).
1) Détermine l'image directe \(g([1\,;4])\), en t'appuyant sur le sens de variation de \(g\).
2) Détermine l'image réciproque \(g^{-1}([2\,;+\infty[)\).
3) Montre que \(h\) n'est pas injective sur \(\mathbb R\), mais que sa restriction à \([0\,;+\infty[\) l'est.