Angles orientés

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) Un couple $(\vec i,\vec j)$ est une base orthonormée directe si :
a) $\vec i$ et $\vec j$ sont unitaires seulement   b) $\vec i$ et $\vec j$ sont orthogonaux seulement   c) $\vec i,\vec j$ unitaires, orthogonaux, et $\vec j$ obtenu par rotation de $+90°$ de $\vec i$   d) $\vec i,\vec j$ unitaires et colinéaires

2) Dans une base orthonormée directe, on donne $\vec u(1;1)$ et $\vec v(-1;1)$. Le cosinus de $\theta=(\widehat{\vec u,\vec v})$ vaut :
a) $0$   b) $1$   c) $\dfrac12$   d) $-1$

3) Si $\vec u\cdot\vec v=0$ et $\det(\vec u,\vec v)>0$, alors $(\vec u,\vec v)$ forme :
a) deux vecteurs colinéaires de même sens   b) deux vecteurs colinéaires de sens contraire   c) une base orthonormée directe (à un facteur près)   d) une base orthonormée indirecte (à un facteur près)

4) Pour $\vec u(3;-4)$ (donc $\|\vec u\|=5$), le vecteur unitaire $\vec v$ tel que $(\vec u,\vec v)$ soit orthonormée directe est :
a) $\left(\dfrac45;\dfrac35\right)$   b) $\left(-\dfrac45;-\dfrac35\right)$   c) $\left(\dfrac35;\dfrac45\right)$   d) $\left(-\dfrac35;\dfrac45\right)$

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) $\cos\!\left(\dfrac\pi3\right)$ vaut :
a) $\dfrac12$   b) $\dfrac{\sqrt3}2$   c) $\dfrac{\sqrt2}2$   d) $1$

2) $\sin\!\left(-\dfrac\pi6\right)$ vaut :
a) $\dfrac12$   b) $-\dfrac12$   c) $\dfrac{\sqrt3}2$   d) $-\dfrac{\sqrt3}2$

3) $\cos(\pi-x)$ est égal à :
a) $\cos x$   b) $-\cos x$   c) $\sin x$   d) $-\sin x$

4) L'ensemble des solutions de $\cos x=\dfrac12$ est :
a) $x=\dfrac\pi3+2k\pi$ ou $x=-\dfrac\pi3+2k\pi,\ k\in\mathbb{Z}$   b) $x=\dfrac\pi3+2k\pi$ seulement   c) $x=\dfrac\pi6+2k\pi$ ou $x=-\dfrac\pi6+2k\pi$   d) $x=\dfrac\pi2+2k\pi$

Exercice 2 — Situation d'intégration

Un technicien installe un panneau solaire sur le toit d'un centre de santé. Sur le support métallique, deux tiges de fixation définissent, dans un repère orthonormé direct lié au support (unité : décimètre), les vecteurs directeurs $\vec u(5;0)$ et $\vec v(3;4)$.

Le cahier des charges du fournisseur impose que l'angle $\theta$ entre les deux tiges soit strictement supérieur à $30°$, afin d'assurer un écoulement correct de l'eau de pluie en saison des pluies et d'éviter toute stagnation susceptible d'endommager le panneau.

Consigne : Calculer $\cos\theta$ et $\sin\theta$ où $\theta=(\widehat{\vec u,\vec v})$, en déduire une valeur approchée de $\theta$ en degrés (arrondie à l'unité), puis dire si l'installation respecte la contrainte du cahier des charges.

Exercice 2 — Situation d'intégration

Un ingénieur agricole installe un pivot d'irrigation circulaire dans un champ. Le bras d'arrosage tourne autour d'un centre $O$ et arrose un cercle de rayon $50$ m. La position du bout du bras, repérée par l'angle $x$ (en radians) parcouru depuis la direction $(1;0)$, a pour coordonnées $(50\cos x\,;\,50\sin x)$.

Consigne : 1) Calculer les coordonnées du bout du bras lorsque $x=\dfrac\pi3$. 2) Après un quart de tour supplémentaire (angle total $x=\dfrac{5\pi}6$), calculer les nouvelles coordonnées en utilisant une relation d'angles associés. 3) Une zone sensible se trouve au point $(50;0)$. Pour quel(s) angle(s) $x\in[0;2\pi[$ le bras passe-t-il par ce point ?

Exercice supplémentaire. Un artisan fabrique une roue décorative à 12 rayons régulièrement espacés (angle de $30°$ entre deux rayons consécutifs).

1) Convertir $30°$ en radians.
2) Calculer $\cos(150°)$ et $\sin(150°)$ à l'aide des angles associés ($150°=180°-30°$).
3) Un rayon fait un angle de $240°$ avec l'horizontale : donner les coordonnées de son extrémité sur le cercle trigonométrique.

Problème — Dans le plan muni d'un repère orthonormé direct, on donne $A(1;2)$, $B(6;5)$, $C(-2;7)$.

Partie A. 1) Calculer les coordonnées des vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$. 2) Calculer $\vec{AB}\cdot\vec{AC}$ et $\det(\vec{AB},\vec{AC})$. 3) En déduire $\cos(\widehat{BAC})$ et $\sin(\widehat{BAC})$, puis la mesure de l'angle $\widehat{BAC}$ en degrés.

Partie B. 1) Le triangle $ABC$ est-il rectangle en $A$ ? Justifier à l'aide du produit scalaire. 2) Le couple $(\vec{AB},\vec{AC})$ forme-t-il une base directe ou indirecte du plan ? Justifier à partir du signe du déterminant.

Problème. Un artisan fabrique une horloge décorative circulaire, dont les repères sont positionnés sur un cercle trigonométrique de rayon $1$ (à l'échelle).

Partie A.
1) Calculer $\cos\!\left(\dfrac{2\pi}3\right)$ et $\sin\!\left(\dfrac{2\pi}3\right)$ en justifiant avec les angles associés ($\frac{2\pi}3=\pi-\frac\pi3$).
2) Calculer $\cos\!\left(\dfrac{7\pi}6\right)$ et $\sin\!\left(\dfrac{7\pi}6\right)$ sachant que $\frac{7\pi}6=\pi+\frac\pi6$.

Partie B.
3) Résoudre $\sin x=\dfrac{\sqrt3}2$ sur $[0;2\pi[$.
4) Résoudre $\cos x=-1$ sur $[0;2\pi[$ et interpréter géométriquement.