Seconde C · Leçon 8
Vecteurs et points du plan
Exercices corrigés
QCM — Colinéarité, coordonnées, milieu
Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)
1) Soit $\vec u(4;6)$ et $\vec v(2;3)$. $\vec u$ et $\vec v$ sont :
a) colinéaires b) orthogonaux c) ni l'un ni l'autre d) égaux
2) $A(1;2)$, $B(5;8)$. Les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ sont :
a) $(4;6)$ b) $(6;10)$ c) $(4;10)$ d) $(-4;-6)$
3) Soit $A(2;-1)$, $B(6;3)$. Le milieu $I$ de $[AB]$ a pour coordonnées :
a) $(4;1)$ b) $(8;2)$ c) $(2;2)$ d) $(4;2)$
4) Trois points $A,B,C$ sont alignés si et seulement si :
a) $\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=0$ b) $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=0$ c) $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}$ d) $\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=1$
Voir le corrigé
- Réponse : a. $\det(\vec u,\vec v)=4\times3-2\times6=0$ : colinéaires ($\vec v=\tfrac12\vec u$).
- Réponse : a. $\overrightarrow{AB}=(5-1;8-2)=(4;6)$.
- Réponse : a. $I=\left(\dfrac{2+6}2;\dfrac{-1+3}2\right)=(4;1)$.
- Réponse : a. Définition du critère d'alignement par le déterminant.
QCM — Droites, cercle, barycentre
Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)
1) Une équation cartésienne de la droite passant par $A(1;2)$ de vecteur directeur $\vec u(3;-1)$ est :
a) $x+3y-7=0$ b) $x+3y=0$ c) $3x+y-5=0$ d) $x-3y+5=0$
2) Deux droites de vecteurs directeurs $\vec u(2;5)$ et $\vec v(4;10)$ sont :
a) parallèles b) orthogonales c) sécantes non perpendiculaires d) nécessairement confondues
3) Le cercle d'équation $(x+2)^2+(y-3)^2=16$ a pour centre et rayon :
a) $\Omega(-2;3)$, $r=4$ b) $\Omega(2;-3)$, $r=4$ c) $\Omega(-2;3)$, $r=16$ d) $\Omega(2;3)$, $r=4$
4) $G$ est le barycentre de $(A,2)$ et $(B,3)$. On a alors :
a) $2\overrightarrow{GA}+3\overrightarrow{GB}=\vec0$ b) $2\overrightarrow{GA}=3\overrightarrow{GB}$ c) $\overrightarrow{GA}=\overrightarrow{GB}$ d) $3\overrightarrow{GA}+2\overrightarrow{GB}=\vec0$
Voir le corrigé
- Réponse : a. Vecteur directeur $(3;-1)$ donne une équation de la forme $x+3y+\gamma=0$ ; en $A(1;2)$ : $1+6+\gamma=0 \Rightarrow \gamma=-7$.
- Réponse : a. $\det(\vec u,\vec v)=2\times10-4\times5=0$ : parallèles (éventuellement confondues, mais pas certain sans un point commun).
- Réponse : a. Forme $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ avec $a=-2$, $b=3$, $r^2=16 \Rightarrow r=4$.
- Réponse : a. Définition vectorielle du barycentre.
Situation d'intégration — Bornage d'un terrain
Exercice 2 — Situation d'intégration
Un géomètre vérifie l'alignement de trois bornes délimitant un terrain agricole avant la construction d'une clôture rectiligne. Dans un repère où les distances sont en mètres : $A(2;3)$, $B(14;11)$, $C(20;15)$.
Consigne : 1) Calculer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$. 2) Les trois bornes sont-elles alignées ? Justifier par le calcul du déterminant. 3) Une quatrième borne $D$ doit être placée telle que $\overrightarrow{BD}=\dfrac32\overrightarrow{BA}$. Calculer les coordonnées de $D$.
Exercice supplémentaire — Piquets
Exercice supplémentaire. Un géomètre place trois piquets $A(1;2)$, $B(4;6)$, $C(-2;3)$ dans un repère.
1) Calculer les coordonnées du vecteur $\vec{AB}$ et sa norme.
2) Déterminer les coordonnées du point $D$ tel que $\vec{AB}=\vec{CD}$ (parallélogramme $ABDC$).
3) Vérifier, par la relation de Chasles, que $\vec{AC}=\vec{AB}+\vec{BC}$.
Un alignement dans un triangle, démontré dans une base
Soit \(ABC\) un triangle. On note \(I\) le milieu du segment \([BC]\), \(E\) le point tel que \(\overrightarrow{AE}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}\) et \(F\) le point tel que \(\overrightarrow{AF}=2\overrightarrow{AC}\).
1) Justifie que \(\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)\) est une base du plan vectoriel.
2) Démontre que \(\overrightarrow{AI}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}\), puis exprime \(\overrightarrow{EF}\) comme combinaison linéaire de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\).
3) Exprime de même \(\overrightarrow{EI}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\).
4) Démontre que \(\overrightarrow{EF}=4\overrightarrow{EI}\). Déduis-en que les points \(E\), \(I\) et \(F\) sont alignés.
5) Soit \(G\) un point de la droite \((BC)\) tel que \(\overrightarrow{BG}=k\overrightarrow{BC}\), où \(k\) est un réel. En travaillant dans le repère \(\left(A;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)\) et à l'aide d'un déterminant, démontre que \(I\) est le seul point de \((BC)\) aligné avec \(E\) et \(F\).
Parallélogramme, base et équations de droites
Le plan est muni d'un repère \((O;\vec{i},\vec{j})\). On considère les points \(A(-1;1)\), \(B(3;3)\) et \(C(1;7)\).
1) Calcule les coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\) et de \(\overrightarrow{AC}\), puis leur déterminant. Déduis-en que \(\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)\) est une base et écris le vecteur \(\vec{u}(2;16)\) comme combinaison linéaire de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\).
2) Détermine les coordonnées du milieu \(I\) de \([BC]\) et celles du point \(D\) tel que \(ABDC\) soit un parallélogramme. Vérifie que \(I\) est aussi le milieu de \([AD]\).
3) Détermine une équation cartésienne de la droite \((AB)\).
4) Détermine une équation cartésienne et une représentation paramétrique de la droite \(\Delta\) passant par \(C\) et parallèle à \((AB)\).
5) Démontre que le point \(D\) appartient à \(\Delta\) et explique ce résultat à l'aide du parallélogramme.
Un tracteur et une charrette : trajectoires qui se croisent
Dans un repère orthonormé dont l'unité est le kilomètre, un tracteur part du point \(A(-2;1)\) et se déplace en ligne droite : chaque heure, sa position est translatée du vecteur \(\vec{u}(4;2)\). Au même instant, une charrette part du point \(B(8;-3)\) et se déplace chaque heure du vecteur \(\vec{v}(-2;4)\). Au temps \(t\) (en heures), le tracteur est au point \(T(-2+4t;1+2t)\) et la charrette au point \(C(8-2t;-3+4t)\).
1) Donne les positions du tracteur et de la charrette au bout d'une heure. Détermine une équation cartésienne de la trajectoire \(\mathcal{D}_1\) du tracteur.
2) Détermine une équation cartésienne de la trajectoire \(\mathcal{D}_2\) de la charrette.
3) Démontre que \(\mathcal{D}_1\) et \(\mathcal{D}_2\) ne sont pas parallèles, puis calcule les coordonnées de leur point d'intersection \(K\).
4) Détermine à quel instant chacun des deux véhicules passe par \(K\). Y a-t-il collision ?
5) Calcule la position de la charrette au moment où le tracteur passe en \(K\), puis les coordonnées du vecteur \(\overrightarrow{CK}\) à cet instant. Démontre qu'il est colinéaire à \(\vec{v}\) et interprète.
Alignement selon un paramètre et décomposition dans une base
Le plan est muni d'un repère \((O;\vec{i},\vec{j})\). Pour tout réel \(m\), on considère les points \(A(1;1)\), \(B(1+m;3)\) et \(C(7;m+2)\).
1) Calcule les coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\) et de \(\overrightarrow{AC}\) en fonction de \(m\). Démontre que \(\det\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=(m-3)(m+4)\).
2) Déduis-en les valeurs de \(m\) pour lesquelles les points \(A\), \(B\) et \(C\) sont alignés.
3) Pour chacune de ces valeurs, écris \(\overrightarrow{AC}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\). Dans le cas \(m=3\), que représente le point \(B\) pour le segment \([AC]\) ?
4) Dans cette question, \(m=0\). Justifie que \(\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)\) est une base et décompose le vecteur \(\vec{w}(12;8)\) dans cette base.
5) Toujours avec \(m=0\), détermine une équation cartésienne de la droite \((BC)\), puis de la droite passant par \(A\) et parallèle à \((BC)\).