Seconde C · Leçon 14
Homothéties
Ce que dit le programme officiel (18 points)
- la définition d’une homothétie
- la propriété relative à l’alignement d’un point, de son image et du centre de l’homothétie
- la propriété relative aux points invariants par une homothétie
- la propriété fondamentale d’une homothétie
- les propriétés relatives aux images de figures simples par une homothétie
- les propriétés relatives à la conservation de l’alignement, du parallélisme, de l’orthogonalité, du milieu et des angles orientés par une homothétie
- les propriétés relatives à la caractérisation d’une homothétie
- la propriété relative à la multiplication des longueurs et des aires par les homothéties
- l’image d’un point par une homothétie en utilisant la définition
- l’image d’une droite, d’un segment, d’une demi-droite, d’un cercle par une homothétie
- l’image d’un point par une homothétie définie par l’une de ses caractérisations
- l’image d’un point par une homothétie
- le rapport d’une homothétie caractérisée par deux points et leurs images
- que deux droites sont parallèles en utilisant une homothétie
- que des droites sont perpendiculaires en utilisant une homothétie
- une égalité angulaire en utilisant une homothétie
- qu’un point est le milieu d’un segment en utilisant une homothétie
- une situation faisant appel aux homothéties
Source : Programme éducatif Seconde C, DPFC, version CND 0923
Homothétie : définition et propriétés
Quand on agrandit une photo, quand on projette une diapositive sur un mur ou quand on dessine un plan à l'échelle, la figure change de taille mais garde exactement sa forme : les angles ne bougent pas, toutes les longueurs sont multipliées par le même nombre. L'homothétie est la transformation du plan qui décrit ces agrandissements et ces réductions à partir d'un point fixe, le centre. C'est aussi un outil de démonstration : reconnaître une homothétie dans une figure donne d'un seul coup des droites parallèles, des points alignés et des rapports de longueurs.
L'homothétie de centre \(O\) et de rapport \(k\) (\(k\in\mathbb{R}^*\)) envoie \(M\) sur \(M'\) tel que \(\overrightarrow{OM'}=k\overrightarrow{OM}\). Elle correspond exactement à la multiplication par le scalaire \(k\) en écriture vectorielle depuis le centre \(O\) — c'est le même \(k\) que celui du théorème de Thalès.
Conserve l'alignement, le parallélisme, les barycentres. Multiplie les distances par \(|k|\) et les aires par \(k^2\). Si \(k=1\) : identité. Si \(k=-1\) : symétrie centrale de centre \(O\). Une droite est envoyée sur une droite parallèle ; un cercle de rayon \(r\) sur un cercle de rayon \(|k|r\).
Facile. \(O(0;0)\), \(k=2\), \(A(3;1)\). L'image \(A'\) vérifie \(\overrightarrow{OA'}=2\overrightarrow{OA}\), donc \(A'(6;2)\).
Rapport négatif. \(O(1;1)\), \(k=-\tfrac12\), \(B(5;3)\). \(\overrightarrow{OB}(4;2)\), donc \(\overrightarrow{OB'}=-\tfrac12(4;2)=(-2;-1)\), soit \(B'(-1;0)\) : \(B'\) est de l'autre côté de \(O\) par rapport à \(B\).
Figure interactive — Homothétie de centre O
Le triangle bleu est l'image du triangle gris par l'homothétie de centre O et de rapport k.
Soit \(h\) l'homothétie de centre \(O\) et de rapport \(k\) (avec \(k\ne 0\)), et \(M\) un point distinct de \(O\), d'image \(M'=h(M)\). L'égalité \(\overrightarrow{OM'}=k\,\overrightarrow{OM}\) dit où se trouve \(M'\) :
- \(M'\) est toujours sur la droite \((OM)\), à la distance \(OM'=|k|\times OM\) du centre ;
- si \(k\gt 0\), \(M\) et \(M'\) sont du même côté de \(O\) ; si \(k\lt 0\), ils sont de part et d'autre de \(O\) ;
- si \(|k|\gt 1\), l'homothétie est un agrandissement : \(M'\) est plus loin de \(O\) que \(M\) ; si \(|k|\lt 1\), c'est une réduction : \(M'\) est plus près de \(O\).
Par exemple, pour \(k=\dfrac{1}{2}\), \(M'\) est le milieu de \([OM]\) ; pour \(k=-2\), \(O\) est entre \(M\) et \(M'\) et \(OM'=2\,OM\).
Soit \(h\) l'homothétie de centre \(O\) et de rapport \(k\).
- Point invariant. Le centre est sa propre image : \(h(O)=O\). Si \(k\ne 1\), c'est le seul point invariant. En effet, si \(M'=M\), alors \(\overrightarrow{OM}=k\,\overrightarrow{OM}\), donc \((1-k)\,\overrightarrow{OM}=\vec{0}\), ce qui impose \(M=O\).
- Alignement. Un point, son image et le centre sont toujours alignés, car les vecteurs \(\overrightarrow{OM}\) et \(\overrightarrow{OM'}\) sont colinéaires.
- Homothétie réciproque. Si \(M'=h(M)\), alors \(\overrightarrow{OM}=\dfrac{1}{k}\,\overrightarrow{OM'}\) : on revient de \(M'\) à \(M\) par l'homothétie de même centre \(O\) et de rapport \(\dfrac{1}{k}\).
Conséquence pratique : si deux points \(A\) et \(B\) ont pour images \(A'\) et \(B'\), le centre est à la fois sur \((AA')\) et sur \((BB')\).
Soit \(h\) l'homothétie de centre \(O\) et de rapport \(k\). Si \(A'=h(A)\) et \(B'=h(B)\), alors
\[\overrightarrow{A'B'}=k\,\overrightarrow{AB}.\]Démonstration. Avec la relation de Chasles, \(\overrightarrow{A'B'}=\overrightarrow{A'O}+\overrightarrow{OB'}=-k\,\overrightarrow{OA}+k\,\overrightarrow{OB}=k\left(\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OB}\right)=k\,\overrightarrow{AB}\).
Ce que l'on en tire.
- \(A'B'=|k|\times AB\) : toutes les longueurs sont multipliées par \(|k|\).
- Les droites \((AB)\) et \((A'B')\) sont parallèles : l'image d'une droite est une droite qui lui est parallèle.
- Si \(k\gt 0\), les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{A'B'}\) ont le même sens ; si \(k\lt 0\), ils sont de sens contraires.
Caractérisation. Réciproquement, si une transformation vérifie \(\overrightarrow{A'B'}=k\,\overrightarrow{AB}\) pour tous les points \(A\) et \(B\), avec \(k\) différent de 0 et de 1, alors c'est une homothétie de rapport \(k\).
Par une homothétie de rapport \(k\) :
- l'image d'un segment \([AB]\) est le segment \([A'B']\), de longueur \(|k|\times AB\) ; l'image du milieu de \([AB]\) est le milieu de \([A'B']\) ;
- l'image d'une droite est une droite parallèle ; une droite qui passe par le centre est sa propre image ;
- l'image d'une demi-droite d'origine \(A\) est une demi-droite d'origine \(A'\) ;
- l'image du cercle de centre \(I\) et de rayon \(r\) est le cercle de centre \(I'=h(I)\) et de rayon \(|k|\times r\) ;
- l'image d'un triangle est un triangle qui a les mêmes angles : deux droites perpendiculaires ont des images perpendiculaires, deux droites parallèles ont des images parallèles.
Aires. Les longueurs sont multipliées par \(|k|\), donc les aires sont multipliées par \(k^2\). Pour un rectangle de côtés \(a\) et \(b\), l'image a pour côtés \(|k|a\) et \(|k|b\), donc pour aire \(k^2\times ab\).
Image d'un point \(M\) par l'homothétie de centre \(O\) et de rapport \(k\).
- Trace la droite \((OM)\).
- Regarde le signe de \(k\) : pour \(k\gt 0\), l'image est sur la demi-droite \([OM)\) ; pour \(k\lt 0\), elle est sur la demi-droite opposée.
- Reporte la distance \(OM'=|k|\times OM\) à partir de \(O\).
Image d'une figure. On ne construit ainsi qu'un seul point. Pour les suivants, on utilise le parallélisme : si \(A'\) est connu, l'image \(B'\) de \(B\) est le point d'intersection de la droite \((OB)\) et de la parallèle à \((AB)\) passant par \(A'\). C'est plus rapide et plus précis que de mesurer à chaque fois.
Image d'un cercle. Il suffit de construire l'image \(I'\) du centre, puis de tracer le cercle de centre \(I'\) et de rayon \(|k|\times r\).
On connaît deux points \(A\), \(B\) et leurs images \(A'\), \(B'\).
- Le rapport. Écris \(\overrightarrow{A'B'}=k\,\overrightarrow{AB}\). La valeur absolue de \(k\) est \(\dfrac{A'B'}{AB}\) ; son signe est positif si les deux vecteurs ont le même sens, négatif sinon.
- Le centre. Sur une figure, c'est le point d'intersection des droites \((AA')\) et \((BB')\). Par le calcul, on traduit \(\overrightarrow{OA'}=k\,\overrightarrow{OA}\) en coordonnées et on résout deux équations du premier degré.
- La vérification. Contrôle que l'on a bien aussi \(\overrightarrow{OB'}=k\,\overrightarrow{OB}\).
Pour démontrer avec une homothétie, la rédaction suit toujours le même plan : nommer le centre et le rapport, justifier l'image de chaque point utilisé, puis citer la propriété qui donne la conclusion (parallélisme, longueurs multipliées par \(|k|\), alignement avec le centre).
Énoncé. \(ABC\) est un triangle rectangle en \(A\) tel que \(AB=4\) cm et \(AC=3\) cm. On note \(A'B'C'\) son image par une homothétie de rapport 3. Calcule les côtés, le périmètre et l'aire de \(A'B'C'\).
Solution. D'après le théorème de Pythagore, \(BC^2=4^2+3^2=25\), donc \(BC=5\) cm. Une homothétie de rapport 3 multiplie les longueurs par 3 : \(A'B'=12\) cm, \(A'C'=9\) cm et \(B'C'=15\) cm.
Les droites perpendiculaires \((AB)\) et \((AC)\) ont des images perpendiculaires : le triangle \(A'B'C'\) est rectangle en \(A'\). On le contrôle : \(12^2+9^2=144+81=225=15^2\).
Le périmètre passe de \(4+3+5=12\) cm à \(12+9+15=36\) cm : il est multiplié par 3, comme toute longueur. L'aire de \(ABC\) vaut \(\dfrac{4\times 3}{2}=6\) cm² ; celle de \(A'B'C'\) vaut \(\dfrac{12\times 9}{2}=54\) cm², soit \(9\times 6\) : elle est multipliée par \(k^2=9\), et non par 3.
Remarque : le résultat ne dépend pas de la position du centre. Le centre fixe l'endroit où se trouve l'image, pas sa taille.
Énoncé. \(ABCD\) est un trapèze tel que \(\overrightarrow{DC}=\dfrac{1}{3}\,\overrightarrow{AB}\), avec \(AB=6\) cm. Ses diagonales \([AC]\) et \([BD]\) se coupent en \(I\). Démontre que \(IA=3\,IC\), puis calcule \(IA\) et \(IC\) sachant que \(AC=8\) cm.
Solution. Les points \(I\), \(A\) et \(C\) sont alignés et \(I\) est distinct de \(A\) : il existe une homothétie \(h\) de centre \(I\) qui envoie \(A\) sur \(C\). Notons \(k\) son rapport.
L'image de la droite \((AB)\) est la droite parallèle à \((AB)\) passant par \(C\), c'est-à-dire \((CD)\). L'image de \(B\) est donc sur \((CD)\). Elle est aussi sur la droite \((IB)\), qui est la droite \((BD)\). Le seul point commun à ces deux droites est \(D\) : \(h(B)=D\).
D'après la propriété fondamentale, \(\overrightarrow{CD}=k\,\overrightarrow{AB}\). Or \(\overrightarrow{CD}=-\overrightarrow{DC}=-\dfrac{1}{3}\,\overrightarrow{AB}\), donc \(k=-\dfrac{1}{3}\). Ainsi \(\overrightarrow{IC}=-\dfrac{1}{3}\,\overrightarrow{IA}\), d'où \(IC=\dfrac{1}{3}\,IA\), c'est-à-dire \(IA=3\,IC\).
Le rapport est négatif : \(I\) est entre \(A\) et \(C\), donc \(AC=IA+IC=4\,IC\). Avec \(AC=8\) cm, on obtient \(IC=2\) cm et \(IA=6\) cm. De même \(IB=3\,ID\).
Énoncé. Dans un repère, une homothétie \(h\) envoie \(A(2;1)\) sur \(A'(4;5)\) et \(B(3;0)\) sur \(B'(7;2)\). Détermine son rapport et son centre, puis l'image du point \(C(0;2)\).
Rapport. \(\overrightarrow{AB}(1;-1)\) et \(\overrightarrow{A'B'}(3;-3)\), donc \(\overrightarrow{A'B'}=3\,\overrightarrow{AB}\) : le rapport est \(k=3\).
Centre. Soit \(O(x;y)\) le centre. L'égalité \(\overrightarrow{OA'}=3\,\overrightarrow{OA}\) s'écrit \(4-x=3(2-x)\) et \(5-y=3(1-y)\). La première équation donne \(2x=2\), soit \(x=1\) ; la seconde donne \(2y=-2\), soit \(y=-1\). Le centre est \(O(1;-1)\).
Vérification avec \(B\). \(\overrightarrow{OB}(2;1)\) et \(\overrightarrow{OB'}(6;3)\) : on a bien \(\overrightarrow{OB'}=3\,\overrightarrow{OB}\).
Image de \(C\). \(\overrightarrow{OC}(-1;3)\), donc \(\overrightarrow{OC'}=3\,\overrightarrow{OC}\) a pour coordonnées \((-3;9)\), et \(C'\) a pour coordonnées \((1-3;-1+9)\), soit \(C'(-2;8)\).
Premier piège : le signe. L'égalité \(\overrightarrow{A'B'}=k\,\overrightarrow{AB}\) porte sur des vecteurs. Pour les longueurs, c'est \(A'B'=|k|\times AB\) : une longueur n'est jamais négative. Avec \(k=-\dfrac{1}{2}\) et \(AB=4\) cm, on trouve \(A'B'=2\) cm, et non \(-2\) cm.
Deuxième piège : les aires. Les aires sont multipliées par \(k^2\), pas par \(k\). Avec \(k=-\dfrac{1}{2}\), un triangle d'aire 6 cm² a une image d'aire \(\dfrac{1}{4}\times 6=1{,}5\) cm². Une aire doublée ne correspond donc pas à des longueurs doublées.
Troisième piège : le centre. Le centre \(O\) n'est le milieu de \([MM']\) que pour \(k=-1\). Dans tous les autres cas, on sait seulement que \(O\), \(M\) et \(M'\) sont alignés.
Quatrième piège : l'ordre des points. Dire que \(h\) envoie \(A\) sur \(A'\) avec le rapport \(k\) s'écrit \(\overrightarrow{OA'}=k\,\overrightarrow{OA}\). Écrire \(\overrightarrow{OA}=k\,\overrightarrow{OA'}\) revient à prendre l'homothétie réciproque, de rapport \(\dfrac{1}{k}\).
Résumé
\(M'=h(M)\) signifie \(\overrightarrow{OM'}=k\,\overrightarrow{OM}\). Même côté de \(O\) si \(k\gt 0\), côtés opposés si \(k\lt 0\).
\(O\) est le seul point invariant si \(k\ne 1\). \(O\), \(M\) et \(M'\) sont alignés. Réciproque : même centre, rapport \(\dfrac{1}{k}\).
\(\overrightarrow{A'B'}=k\,\overrightarrow{AB}\) : \((A'B')\) est parallèle à \((AB)\) et \(A'B'=|k|\times AB\).
Droite, segment, cercle : image de même nature. Angles, milieux, parallélisme conservés. Longueurs multipliées par \(|k|\), aires par \(k^2\).
Nommer le centre et le rapport, justifier chaque image, conclure avec le parallélisme, les longueurs ou l'alignement.