Seconde C · Leçon 12
Droites et plans de l'espace
Ce que dit le programme officiel (19 points)
- les positions relatives de deux droites
- les positions relatives d’une droite et d’un plan
- les positions relatives de deux plans
- la propriété sur les positions relatives d’une droite et d’un plan
- la propriété sur les positions relatives de deux plans
- la propriété sur les positions relatives de deux droites
- les propriétés relatives à la détermination d’un plan
- les propriétés relatives au parallélisme de deux droites
- les propriétés relatives au parallélisme d’une droite et d’un plan
- les propriétés relatives au parallélisme de deux plans
- Noter un plan
- Construire une section plane d’un solide de l’espace.
- que deux droites sont coplanaires
- que deux droites ne sont pas coplanaires
- qu’une droite est sécante à un plan
- qu’une droite est parallèle à un plan
- que deux plans sont parallèles
- que deux plans sont sécants
- Traiter une situation faisant appel à la géométrie de l’espace
Source : Programme éducatif Seconde C, DPFC, version CND 0923
Droites et plans de l'espace : représentations, positions relatives, intersections
Regarde la salle de classe : le sol et le plafond ne se rencontrent jamais, un mur coupe le sol le long d'une ligne droite, et l'arête entre deux murs perce le sol en un seul point. Tu viens de décrire des positions de droites et de plans dans l'espace. Dans le plan, deux droites qui ne se coupent pas sont parallèles. Dans l'espace, ce n'est plus vrai : il faut apprendre à raisonner avec des règles précises, parce que le dessin sur la feuille peut tromper. Cette leçon donne ces règles, en s'appuyant sur les solides que tu connais déjà : le cube, le pavé droit, la pyramide, le tétraèdre.
Règle 1. Par deux points distincts \(A\) et \(B\) de l'espace, il passe une seule droite, notée \((AB)\).
Règle 2. Par trois points \(A\), \(B\), \(C\) non alignés, il passe un seul plan, noté \((ABC)\).
Règle 3. Si deux points distincts \(A\) et \(B\) appartiennent à un plan, alors toute la droite \((AB)\) est contenue dans ce plan.
Conséquence. Un plan est déterminé, c'est-à-dire connu sans ambiguïté, par l'une des données suivantes :
- trois points non alignés ;
- une droite et un point qui n'est pas sur cette droite ;
- deux droites sécantes ;
- deux droites strictement parallèles.
Règle 4. Dans chaque plan de l'espace, tous les résultats de géométrie plane restent vrais : théorème de Pythagore, théorème de Thalès, droite des milieux, propriétés des quadrilatères. Pour les utiliser, il faut d'abord nommer le plan dans lequel on travaille.
Deux droites de l'espace sont coplanaires lorsqu'il existe un plan qui les contient toutes les deux. Il y a deux situations.
Droites coplanaires. Comme dans le plan, elles sont soit sécantes (un seul point commun), soit parallèles (strictement parallèles, sans point commun, ou confondues).
Droites non coplanaires. Aucun plan ne les contient toutes les deux. Elles n'ont aucun point commun et ne sont pas parallèles.
Sur un cube. \(ABCDEFGH\) est un cube : \(ABCD\) est la face du bas, \(EFGH\) la face du haut, et les arêtes verticales sont \([AE]\), \([BF]\), \([CG]\) et \([DH]\). Les droites \((AB)\) et \((HG)\) sont parallèles. Les droites \((AB)\) et \((BF)\) sont sécantes en \(B\). Les droites \((AB)\) et \((FG)\) ne sont pas coplanaires : elles ne se coupent pas et ne sont pas parallèles.
À retenir. Dans l'espace, « pas de point commun » ne suffit pas pour conclure « parallèles ». Deux droites sont parallèles lorsqu'elles sont coplanaires et sans point commun (ou confondues).
Figure — Trois positions de deux droites sur un cube
Le cube est dessiné en perspective, les arêtes cachées en pointillés. En vert, \((AB)\) et \((HG)\) sont parallèles. En bleu, \((BF)\) coupe \((AB)\) au point \(B\). En or, \((FG)\) ne coupe pas \((AB)\) et ne lui est pas parallèle : ces deux droites ne sont pas coplanaires.
Une droite \(d\) et un plan \(P\). Trois cas, et trois seulement :
- \(d\) est contenue dans \(P\) : tous ses points sont dans \(P\) ;
- \(d\) est sécante à \(P\) : un seul point commun (on dit que \(d\) perce \(P\)) ;
- \(d\) est strictement parallèle à \(P\) : aucun point commun.
On dit que \(d\) est parallèle à \(P\) dans le premier et le troisième cas.
Deux plans \(P\) et \(Q\). Deux cas :
- \(P\) et \(Q\) sont sécants : leur intersection est une droite ;
- \(P\) et \(Q\) sont parallèles : strictement parallèles (aucun point commun) ou confondus.
Deux plans distincts qui ont un point commun sont donc sécants, et ils ont alors toute une droite en commun : deux plans ne se coupent jamais en un seul point.
Sur le cube. La droite \((EF)\) est strictement parallèle au plan \((ABC)\) ; la droite \((CG)\) est sécante au plan \((ABC)\) en \(C\) ; la droite \((AC)\) est contenue dans le plan \((ABC)\). Les plans \((ABC)\) et \((EFG)\) sont parallèles ; les plans \((ABF)\) et \((BCG)\) sont sécants selon la droite \((BF)\).
Ces propriétés sont admises. Elles servent à démontrer et à construire.
P1 — Droite parallèle à un plan. Si une droite \(d\) est parallèle à une droite \(d'\) contenue dans un plan \(P\), alors \(d\) est parallèle à \(P\).
P2 — Plans parallèles. Si deux droites sécantes d'un plan \(P\) sont parallèles à un plan \(Q\), alors \(P\) et \(Q\) sont parallèles.
P3 — Plan coupant deux plans parallèles. Si deux plans sont parallèles, tout plan qui coupe l'un coupe l'autre, et les deux droites d'intersection sont parallèles.
P4 — Théorème du toit. Soient \(d\) et \(d'\) deux droites parallèles, \(P\) un plan contenant \(d\) et \(Q\) un plan contenant \(d'\). Si \(P\) et \(Q\) sont sécants, alors leur droite d'intersection est parallèle à \(d\) et à \(d'\).
P5. Deux droites parallèles à une même troisième sont parallèles entre elles. Deux plans parallèles à un même troisième sont parallèles entre eux.
Attention. Deux droites parallèles à un même plan ne sont pas forcément parallèles entre elles : dans le cube, \((EF)\) et \((FG)\) sont toutes deux parallèles au plan \((ABC)\), et pourtant elles sont sécantes en \(F\).
Deux plans sécants se coupent selon une droite. Pour la trouver, deux techniques.
Technique 1 : deux points communs.
- Cherche un premier point commun aux deux plans : il est souvent donné (un sommet commun).
- Cherche un second point commun : c'est en général le point d'intersection de deux droites coplanaires, l'une dans le premier plan, l'autre dans le second.
- La droite qui joint ces deux points est l'intersection.
Technique 2 : un point commun et une direction. Si les deux plans contiennent chacun une droite, et si ces deux droites sont parallèles, le théorème du toit s'applique : l'intersection est la droite qui passe par le point commun et qui est parallèle à ces deux droites.
Contrôle. Avant de dire que deux droites se coupent, nomme un plan qui les contient toutes les deux et vérifie qu'elles n'y sont pas parallèles.
On cherche le point où une droite \(d\) perce un plan \(P\).
- Choisis un plan \(Q\) qui contient \(d\) et dont tu connais l'intersection avec \(P\) : une droite \(\Delta\).
- Les droites \(d\) et \(\Delta\) sont toutes deux dans \(Q\) : elles sont coplanaires.
- Si elles sont sécantes, leur point d'intersection \(K\) est le point cherché : \(K\) est sur \(d\), et \(K\) est sur \(\Delta\), donc dans \(P\).
- Si elles sont parallèles, \(d\) est parallèle à \(P\) : il n'y a pas de point d'intersection, ou bien \(d\) est contenue dans \(P\).
Le plan auxiliaire \(Q\) est presque toujours une face du solide ou un plan passant par un sommet.
Énoncé. \(ABCDEFGH\) est un cube : \(ABCD\) est la face du bas, \(EFGH\) la face du haut, et les arêtes verticales sont \([AE]\), \([BF]\), \([CG]\) et \([DH]\). Donne, en justifiant, la position relative : a) des droites \((AC)\) et \((EG)\) ; b) des droites \((AG)\) et \((BH)\) ; c) des droites \((AB)\) et \((DH)\) ; d) de la droite \((DH)\) et du plan \((ABC)\).
Solution. a) Les arêtes \([AE]\) et \([CG]\) sont parallèles et de même longueur, donc \(ACGE\) est un parallélogramme (c'est même un rectangle). Ses côtés opposés sont parallèles : \((AC)\) et \((EG)\) sont parallèles.
b) Les arêtes \([AB]\) et \([HG]\) sont parallèles et de même longueur, donc \(ABGH\) est un parallélogramme. Ses diagonales \([AG]\) et \([BH]\) se coupent en leur milieu : les droites \((AG)\) et \((BH)\) sont sécantes, au centre du cube.
c) La droite \((DH)\) coupe le plan \((ABC)\) au seul point \(D\), qui n'est pas sur \((AB)\). Les deux droites n'ont donc pas de point commun. Elles ne sont pas parallèles, car \((DH)\) est parallèle à \((AE)\), qui coupe \((AB)\). Les droites \((AB)\) et \((DH)\) ne sont pas coplanaires.
d) Le point \(D\) est commun à la droite \((DH)\) et au plan \((ABC)\), et le point \(H\) n'est pas dans ce plan : la droite n'y est donc pas contenue. Elle est sécante au plan \((ABC)\), au point \(D\).
Énoncé. \(ABCD\) est un tétraèdre. \(I\) est le milieu de \([AB]\) et \(J\) est le point de \([AC]\) tel que \(AJ=\dfrac{3}{4}AC\). Détermine l'intersection de la droite \((IJ)\) avec le plan \((BCD)\), puis l'intersection des plans \((IJD)\) et \((BCD)\).
Solution. Les points \(I\) et \(J\) sont dans le plan \((ABC)\), donc la droite \((IJ)\) est contenue dans ce plan, comme la droite \((BC)\). Ces deux droites sont coplanaires. Elles ne sont pas parallèles : sinon, d'après le théorème de Thalès dans le triangle \(ABC\), on aurait \(\dfrac{AI}{AB}=\dfrac{AJ}{AC}\), or \(\dfrac{1}{2}\ne\dfrac{3}{4}\). Elles sont donc sécantes en un point \(K\).
Le point \(K\) est sur \((BC)\), donc dans le plan \((BCD)\), et il est sur \((IJ)\). On a donc trouvé l'intersection de la droite \((IJ)\) et du plan \((BCD)\) : c'est le point \(K\).
Pour les deux plans : \(D\) appartient à \((IJD)\) et à \((BCD)\) ; \(K\) appartient à \((IJ)\), donc à \((IJD)\), et à \((BCD)\). Les deux plans sont distincts et ont deux points communs \(D\) et \(K\) : leur intersection est la droite \((DK)\).
Figure — Le point K et la droite (DK)
En bleu, la droite \((IJ)\), tracée dans le plan \((ABC)\) : elle coupe la droite \((BC)\) au point \(K\), situé hors du segment \([BC]\). En or, la droite \((DK)\) : c'est l'intersection des plans \((IJD)\) et \((BCD)\). L'arête \([DC]\), cachée, est en pointillés.
Énoncé. \(SABCD\) est une pyramide de sommet \(S\) dont la base \(ABCD\) est un parallélogramme. Détermine l'intersection des plans \((SAB)\) et \((SCD)\).
Solution. Le point \(S\) appartient aux deux plans, qui sont distincts : ils sont donc sécants selon une droite \(\Delta\) passant par \(S\). Chercher un second point commun est difficile ici, car \((AB)\) et \((CD)\) ne se coupent pas. On utilise la technique 2.
Le plan \((SAB)\) contient la droite \((AB)\), le plan \((SCD)\) contient la droite \((CD)\), et \((AB)\) est parallèle à \((CD)\) puisque \(ABCD\) est un parallélogramme. D'après le théorème du toit, \(\Delta\) est parallèle à \((AB)\) et à \((CD)\).
Conclusion : l'intersection des plans \((SAB)\) et \((SCD)\) est la droite passant par \(S\) et parallèle à \((AB)\).
Figure — Le théorème du toit
En vert, les droites parallèles \((AB)\) et \((CD)\), contenues l'une dans le plan \((SAB)\), l'autre dans le plan \((SCD)\). En or, la droite \(\Delta\), intersection de ces deux plans : elle passe par \(S\) et elle est parallèle à \((AB)\) et à \((CD)\).
« Elles ne se coupent pas, donc elles sont parallèles. » Faux dans l'espace : elles peuvent être non coplanaires, comme \((AB)\) et \((FG)\) dans un cube. Pour conclure au parallélisme, il faut une propriété du cours.
« Elles se croisent sur le dessin, donc elles sont sécantes. » Faux : deux droites non coplanaires peuvent se croiser sur la feuille. Deux droites ne sont sécantes que si elles sont dans un même plan et non parallèles : nomme toujours ce plan.
« Parallèle à un plan, donc parallèle à toutes les droites de ce plan. » Faux : dans le cube, \((EF)\) est parallèle au plan \((ABC)\), mais elle n'est pas parallèle à la droite \((BC)\) de ce plan.
« L'intersection de deux plans est un point. » Jamais : c'est une droite (ou rien, ou un plan entier s'ils sont confondus).
« Parallèles au même plan, donc parallèles entre elles. » Faux pour deux droites, comme le montre l'exemple de \((EF)\) et \((FG)\) dans le cube.
Espace : incidence, parallélisme et orthogonalité (géométrie de position)
Deux droites de l'espace peuvent être coplanaires (sécantes ou parallèles) ou non coplanaires (ce qui n'existe pas dans le plan). Une droite et un plan sont soit sécants (en un point), soit parallèles, soit la droite est contenue dans le plan. Deux plans sont sécants (leur intersection est une droite) ou parallèles.
Règle clé : pour montrer qu'une droite est parallèle à un plan, il suffit de montrer qu'elle est parallèle à une droite contenue dans ce plan.
Une droite est orthogonale à un plan si elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan (elle l'est alors à toute droite du plan). Le plan médiateur d'un segment \([AB]\) est le plan orthogonal à \((AB)\) passant par son milieu ; il contient exactement les points équidistants de \(A\) et \(B\) (généralisation dans l'espace de la médiatrice du plan).
Sections planes de solides et de polyèdres
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Trois points non alignés ; une droite et un point extérieur ; deux droites sécantes ; deux droites strictement parallèles.
Coplanaires (sécantes ou parallèles) ou non coplanaires. Sans point commun ne veut pas dire parallèles.
Droite contenue, sécante (un point) ou strictement parallèle. Deux plans : parallèles, ou sécants selon une droite.
Un plan qui coupe deux plans parallèles donne deux droites parallèles. Théorème du toit : l'intersection est parallèle aux deux droites parallèles.
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