Seconde C · Leçon 10
Angles inscrits
Ce que dit le programme officiel (13 points)
- Identifier les deux arcs capables d’un angle donné
- Connaître la relation entre un angle inscrit et l’angle au centre associé
- Connaître la propriété relative aux mesures d’un angle inscrit défini par une corde et une demi-tangente et de l’angle au centre associé
- Connaître la propriété relative aux mesures de deux angles inscrits interceptant le même arc ou deux arcs de même longueur
- Connaître la propriété relative aux mesures de deux angles inscrits interceptant deux arcs de mêmes extrémités
- Connaître la propriété relative à la bissectrice d’un angle inscrit et l’arc que cet angle intercepte
- Connaître la propriété relative à l’aire d’un triangle
- Connaître le théorème des sinus
- Calculer des aires, des longueurs et des mesures d’angles en utilisant les formules d’aire ou le théorème des sinus
- Déterminer la mesure d’un angle en utilisant les propriétés des angles inscrits
- Construire un arc capable de mesure donnée
- Justifier une égalité angulaire en utilisant les propriétés des angles inscrits
- Traiter une situation faisant appel aux angles inscrits
Source : Programme éducatif Seconde C, DPFC, version CND 0923
Angle inscrit et cocyclicité
Depuis n'importe quelle place d'un stade circulaire située du même côté, on voit les deux poteaux de but sous le même angle : c'est une propriété du cercle, et non du stade. Elle repose sur un seul théorème, qui relie un angle dont le sommet est sur le cercle à l'angle correspondant dont le sommet est au centre. On en tire une série de résultats très efficaces pour calculer des angles et pour prouver que quatre points sont sur un même cercle.
Soit \((\mathcal C)\) un cercle de centre \(O\), et \(A\), \(B\) deux points distincts de ce cercle.
Angle au centre. L'angle \(\widehat{AOB}\), dont le sommet est le centre du cercle, est un angle au centre. Il intercepte l'arc \(AB\) situé à l'intérieur de l'angle.
Angle inscrit. Si \(M\) est un point du cercle distinct de \(A\) et de \(B\), l'angle \(\widehat{AMB}\) est un angle inscrit dans le cercle : son sommet est sur le cercle et ses côtés recoupent le cercle en \(A\) et \(B\). Il intercepte l'arc \(AB\) qui ne contient pas \(M\).
Angle au centre associé. C'est l'angle au centre qui intercepte le même arc que l'angle inscrit.
Cas limite : corde et demi-tangente. Si \([AT)\) est une demi-tangente au cercle en \(A\), l'angle \(\widehat{TAB}\) formé par cette demi-tangente et la corde \([AB]\) est encore considéré comme un angle inscrit : il intercepte l'arc \(AB\) situé à l'intérieur de l'angle.
Théorème. Dans un cercle, la mesure d'un angle inscrit est égale à la moitié de la mesure de l'angle au centre associé :
\[\widehat{AMB}=\frac12\,\widehat{AOB}\](lorsque l'arc intercepté est un petit arc ; pour un grand arc, on prend l'angle au centre rentrant, de mesure \(360^\circ-\widehat{AOB}\)).
Démonstration dans un cas particulier. Supposons que \([MB]\) soit un diamètre. Le triangle \(OAM\) est isocèle en \(O\), car \(OA=OM\) : ses angles à la base sont égaux, \(\widehat{OAM}=\widehat{OMA}\). La somme des angles du triangle donne \(\widehat{AOM}=180^\circ-2\,\widehat{OMA}\). Or \(\widehat{AOB}=180^\circ-\widehat{AOM}\), puisque \(M\), \(O\), \(B\) sont alignés. Donc \(\widehat{AOB}=2\,\widehat{OMA}=2\,\widehat{AMB}\).
Dans le cas général, on trace le diamètre issu de \(M\) : l'angle \(\widehat{AMB}\) est la somme ou la différence de deux angles du type précédent, et le résultat s'obtient en ajoutant ou en retranchant les deux égalités.
Figure — Angle inscrit, angle au centre et demi-tangente (exemple 1)
L'angle au centre AOB, en or, mesure 104°. L'angle inscrit AMB, en bleu, intercepte le même petit arc AB et mesure 52°. L'angle AM'B, dont le sommet est sur le petit arc, mesure 128°. La demi-tangente [AT) forme avec la corde [AB] un angle de 52°.
1. Même arc, même angle. Deux angles inscrits qui interceptent le même arc ont la même mesure, puisque chacun vaut la moitié du même angle au centre. Il en est de même pour deux angles inscrits qui interceptent deux arcs de même longueur.
2. Angle droit. Un angle inscrit qui intercepte un demi-cercle est droit : si \([AB]\) est un diamètre et \(M\) un autre point du cercle, \(\widehat{AMB}=90^\circ\). Réciproquement, si \(\widehat{AMB}=90^\circ\), alors \(M\) appartient au cercle de diamètre \([AB]\).
3. Arcs de mêmes extrémités. Deux angles inscrits \(\widehat{AMB}\) et \(\widehat{ANB}\) dont les sommets sont de part et d'autre de la corde \([AB]\) interceptent les deux arcs d'extrémités \(A\) et \(B\). Leurs angles au centre associés ont pour somme \(360^\circ\) : les deux angles inscrits sont supplémentaires, \(\widehat{AMB}+\widehat{ANB}=180^\circ\).
4. Corde et demi-tangente. L'angle formé par une demi-tangente \([AT)\) et une corde \([AB]\) issue du point de contact a pour mesure la moitié de l'angle au centre qui intercepte le même arc. Il est donc égal à tout angle inscrit interceptant cet arc.
Des points sont dits cocycliques s'ils appartiennent à un même cercle. Un quadrilatère est inscriptible s'il existe un cercle passant par ses quatre sommets.
Propriété. Si un quadrilatère convexe \(ABCD\) est inscriptible, alors ses angles opposés sont supplémentaires : \(\widehat A+\widehat C=180^\circ\) et \(\widehat B+\widehat D=180^\circ\). C'est la conséquence 3, appliquée à la corde \([BD]\), puis à la corde \([AC]\).
Réciproques (admises). Soit \(ABCD\) un quadrilatère convexe.
- Si deux angles opposés sont supplémentaires, alors \(ABCD\) est inscriptible.
- Si les points \(C\) et \(D\) sont du même côté de la droite \((AB)\) et si \(\widehat{ACB}=\widehat{ADB}\), alors \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) sont cocycliques.
Cas particulier très utile : si \(\widehat{ACB}=\widehat{ADB}=90^\circ\), les quatre points sont sur le cercle de diamètre \([AB]\).
Calculer un angle inscrit. On repère l'arc qu'il intercepte (celui qui ne contient pas le sommet), puis on cherche un autre angle qui intercepte le même arc : l'angle au centre (on divise par 2), un autre angle inscrit (même mesure), ou un angle formé par une tangente et une corde.
Reconnaître deux angles supplémentaires. Si les deux sommets sont de part et d'autre de la corde, les angles ne sont pas égaux : leur somme vaut \(180^\circ\).
Prouver qu'un quadrilatère est inscriptible. Trois voies : montrer que deux angles opposés ont pour somme \(180^\circ\) ; montrer que deux sommets voient un même côté sous le même angle, en étant du même côté de ce côté ; trouver deux angles droits qui s'appuient sur un même segment, qui est alors un diamètre du cercle.
Exploiter la cocyclicité. Une fois les quatre points sur un cercle, on dispose de toutes les égalités d'angles inscrits dans ce cercle : c'est souvent ainsi que l'on prouve une égalité d'angles difficile à voir directement.
Énoncé. Sur un cercle de centre \(O\), on place deux points \(A\) et \(B\) tels que \(\widehat{AOB}=104^\circ\). Soit \(M\) un point du grand arc \(AB\), \(M'\) un point du petit arc \(AB\), et \([AT)\) la demi-tangente en \(A\) située du même côté de \((AB)\) que \(M'\). Calculer \(\widehat{AMB}\), \(\widehat{AM'B}\) et \(\widehat{TAB}\).
Solution : L'angle inscrit \(\widehat{AMB}\) intercepte le petit arc \(AB\), comme l'angle au centre \(\widehat{AOB}\) : \(\widehat{AMB}=\dfrac{104^\circ}{2}=52^\circ\).
Les points \(M\) et \(M'\) sont de part et d'autre de la corde \([AB]\) : les angles \(\widehat{AMB}\) et \(\widehat{AM'B}\) sont supplémentaires, donc \(\widehat{AM'B}=180^\circ-52^\circ=128^\circ\). On retrouve ce résultat avec l'angle au centre rentrant : \(\dfrac{360^\circ-104^\circ}{2}=128^\circ\).
L'angle \(\widehat{TAB}\), formé par la demi-tangente et la corde, intercepte le petit arc \(AB\) : \(\widehat{TAB}=\dfrac{104^\circ}{2}=52^\circ\). Il est égal à \(\widehat{AMB}\).
Énoncé. a) Un quadrilatère convexe \(ABCD\) a pour angles \(\widehat A=75^\circ\), \(\widehat B=110^\circ\), \(\widehat C=105^\circ\) et \(\widehat D=70^\circ\). Est-il inscriptible ? b) Un parallélogramme qui a un angle de \(60^\circ\) est-il inscriptible ?
Solution : a) \(\widehat A+\widehat C=75^\circ+105^\circ=180^\circ\) : deux angles opposés sont supplémentaires, donc \(ABCD\) est inscriptible. On vérifie que l'autre paire convient aussi : \(110^\circ+70^\circ=180^\circ\), ce qui était attendu puisque la somme des quatre angles vaut \(360^\circ\).
b) Dans un parallélogramme, les angles opposés sont égaux. Si l'un mesure \(60^\circ\), l'angle opposé aussi, et leur somme vaut \(120^\circ\), qui est différent de \(180^\circ\) : le parallélogramme n'est pas inscriptible. Plus généralement, un parallélogramme est inscriptible seulement si ses angles opposés, égaux, valent chacun \(90^\circ\) : c'est alors un rectangle.
Énoncé. Soit \(ABC\) un triangle dont les trois angles sont aigus. On note \(H\) le pied de la hauteur issue de \(B\) (sur \([AC]\)) et \(K\) le pied de la hauteur issue de \(C\) (sur \([AB]\)). a) Démontrer que \(B\), \(C\), \(H\), \(K\) sont cocycliques. b) Démontrer que \(\widehat{AHK}=\widehat{ABC}\).
Solution : a) Par définition des hauteurs, \(\widehat{BHC}=90^\circ\) et \(\widehat{BKC}=90^\circ\). Les points \(H\) et \(K\) appartiennent donc au cercle de diamètre \([BC]\). Les quatre points \(B\), \(C\), \(H\), \(K\) sont sur ce cercle, dont le centre est le milieu de \([BC]\).
b) Le quadrilatère \(BKHC\) est inscrit dans ce cercle : ses angles opposés sont supplémentaires, donc \(\widehat{KHC}+\widehat{KBC}=180^\circ\). D'autre part, \(A\), \(H\), \(C\) sont alignés dans cet ordre, donc \(\widehat{AHK}+\widehat{KHC}=180^\circ\). En comparant : \(\widehat{AHK}=\widehat{KBC}=\widehat{ABC}\).
Les triangles \(AHK\) et \(ABC\) ont ainsi les mêmes angles : le triangle \(AHK\) est une réduction « retournée » du triangle \(ABC\).
Figure — Les pieds des hauteurs et le cercle de diamètre [BC] (exemple 3)
Les hauteurs issues de B et de C, en pointillés, coupent les côtés opposés en H et K. Les deux angles droits en H et en K montrent que ces points sont sur le cercle de diamètre [BC], tracé en or, dont le centre est le milieu I de [BC]. Le segment [HK] est tracé en bleu.
Se tromper d'arc. L'arc intercepté par l'angle inscrit \(\widehat{AMB}\) est celui qui ne contient pas \(M\). Si \(M\) est sur le petit arc, l'angle intercepte le grand arc et il est obtus.
Croire que deux angles inscrits « sur la même corde » sont toujours égaux. Ils sont égaux si leurs sommets sont du même côté de la corde, supplémentaires s'ils sont de part et d'autre (exemple 1 : \(52^\circ\) et \(128^\circ\)).
Appliquer le théorème à un angle dont le sommet n'est pas sur le cercle. Si le sommet est à l'intérieur du disque, l'angle est plus grand que l'angle inscrit ; s'il est à l'extérieur, il est plus petit. Le théorème ne s'applique dans aucun de ces deux cas.
Additionner deux angles consécutifs. Dans un quadrilatère inscriptible, ce sont les angles opposés qui sont supplémentaires, non deux angles voisins : dans l'exemple 2, \(\widehat A+\widehat B=185^\circ\).
Relations métriques et résolution de triangles
Dans un triangle \(ABC\), en notant \(a=BC\), \(b=AC\), \(c=AB\) :
\[ a^2 = b^2+c^2-2bc\cos\widehat A. \]Retrouvée en développant \(BC^2=\overrightarrow{BC}\,^2=(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})^2\) via la linéarité du produit scalaire. Cas particulier : si \(\widehat A=90°\), on retrouve exactement le théorème de Pythagore.
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Voir les offresFigure interactive — Cercle de diamètre [AB]
Déplacez M sur le cercle : l'angle en M reste toujours droit — vérification visuelle de \(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0\).
Résumé
Un angle inscrit vaut la moitié de l'angle au centre associé : \(\widehat{AMB}=\dfrac12\,\widehat{AOB}\).
Deux angles inscrits qui interceptent le même arc sont égaux.
Sommets de part et d'autre de la corde : angles supplémentaires.
\(\widehat{AMB}=90^\circ\) équivaut à : \(M\) est sur le cercle de diamètre \([AB]\).
L'angle d'une demi-tangente et d'une corde vaut la moitié de l'angle au centre du même arc.
Inscriptible si et seulement si deux angles opposés ont pour somme \(180^\circ\).