Seconde C · Leçon 9

Produit scalaire

Ce que dit le programme officiel (18 points)

Définition du produit scalaire de deux vecteurs
Définition du carré scalaire d’un vecteur
Propriétés relatives au produit scalaire de deux vecteurs
Propriété relative au carré scalaire d’un vecteur
Propriété relative à l’interprétation géométrique du produit scalaire
Propriétés relatives aux règles de calculs sur le produit scalaire
Théorème d’Al Kashi
Propriétés relatives aux vecteurs orthogonaux
Relations métriques caractérisant un triangle rectangle
Expression du produit scalaire dans une base orthonormée
Traduire l’orthogonalité de deux droites à l’aide du produit scalaire
Calculer le produit scalaire de deux vecteurs connaissant leurs coordonnées dans une base orthonormée
Calculer la longueur d’un côté d’un triangle en utilisant le théorème d’Al Kashi
Calculer la mesure d’un angle d’un triangle en utilisant le théorème d’Al Kashi
Démontrer une propriété en utilisant les règles de calculs du produit scalaire
Déterminer la mesure de l’angle de deux vecteurs connaissant leurs coordonnées
Écrire une équation cartésienne d’un cercle dont on connait un diamètre
Traiter une situation faisant appel au produit scalaire

Source : Programme éducatif Seconde C, DPFC, version CND 0923

Produit scalaire dans le plan : définitions et propriétés

Définition — Produit scalaire (par projection)

Soit \(\vec u=\overrightarrow{OA}\) et \(\vec v=\overrightarrow{OB}\), et \(H\) le projeté orthogonal de \(B\) sur la droite \((OA)\). Le produit scalaire de \(\vec u\) et \(\vec v\) est le réel :

\[ \vec u \cdot \vec v = \overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OH}. \]

(produit des mesures algébriques si \(\overrightarrow{OA}\) et \(\overrightarrow{OH}\) sont colinéaires — positif si de même sens, négatif sinon).

Formule avec l'angle, caractérisation de l'orthogonalité \[ \vec u \cdot \vec v = \|\vec u\|\,\|\vec v\|\,\cos\theta, \qquad \theta = (\widehat{\vec u,\vec v}). \]

En particulier, \(\vec u \cdot \vec v = 0 \iff \vec u \perp \vec v\) (ou l'un des deux vecteurs est nul) : c'est la caractérisation de l'orthogonalité la plus utilisée en pratique.

Propriétés — Symétrie, linéarité

\(\vec u\cdot\vec v = \vec v\cdot\vec u\) (symétrie). Pour tous réels \(a,b\) : \((a\vec u)\cdot\vec v = a(\vec u\cdot\vec v)\) et \(\vec u\cdot(\vec v+\vec w)=\vec u\cdot\vec v+\vec u\cdot\vec w\) (linéarité). Enfin \(\vec u\cdot\vec u = \|\vec u\|^2\) (noté aussi \(\vec u^{\,2}\)).

Relations métriques et résolution de triangles

Relation métrique dans un triangle (loi des cosinus)

Dans un triangle \(ABC\), en notant \(a=BC\), \(b=AC\), \(c=AB\) :

\[ a^2 = b^2+c^2-2bc\cos\widehat A. \]

Retrouvée en développant \(BC^2=\overrightarrow{BC}\,^2=(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})^2\) via la linéarité du produit scalaire. Cas particulier : si \(\widehat A=90°\), on retrouve exactement le théorème de Pythagore.

Méthode — Déterminer un ensemble de points M

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Figure interactive — Cercle de diamètre [AB]

Déplacez M sur le cercle : l'angle en M reste toujours droit — vérification visuelle de \(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0\).

Produit scalaire en repère orthonormé

Formules analytiques

Dans un repère orthonormé, si \(\vec u(x;y)\) et \(\vec v(x';y')\) :

\[ \vec u \cdot \vec v = xx' + yy', \qquad \|\vec u\| = \sqrt{x^2+y^2}. \]

Pour deux points \(A(x_A;y_A)\) et \(B(x_B;y_B)\), la distance \(AB = \|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\).

Exemples gradués

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Équation cartésienne d'un cercle

Le cercle de centre \(\Omega(a;b)\) et de rayon \(r\) a pour équation, en repère orthonormé :

\[ (x-a)^2+(y-b)^2 = r^2. \]

Pour trouver l'intersection d'une droite et d'un cercle, on substitue l'équation (ou la représentation paramétrique) de la droite dans celle du cercle : on obtient une équation du second degré en \(x\) (ou en \(t\)), dont le discriminant indique 0, 1 (tangente) ou 2 points d'intersection.

Exemple

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Angles orientés — hors exigibilité

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