Seconde C · Leçon 15
Rotations
Ce que dit le programme officiel (14 points)
- la définition d’une rotation
- la propriété relative aux points invariants par une rotation
- la propriété fondamentale de la rotation
- les propriétés relatives aux images de figures simples par une rotation
- les propriétés relatives à la conservation de l’alignement, du parallélisme, de l’orthogonalité, du milieu et des angles orientés par une rotation
- les propriétés relatives à la caractérisation d’une rotation
- l’image d’un point par une rotation en utilisant la définition
- l’image d’une droite, d’un segment, d’une demi-droite, d’un cercle par une rotation
- l’image d’un point par une rotation
- que deux droites sont parallèles en utilisant une rotation
- que des droites sont perpendiculaires en utilisant une rotation
- une égalité angulaire en utilisant une rotation
- qu’un point est le milieu d’un segment en utilisant une rotation
- une situation faisant appel aux rotations
Source : Programme éducatif Seconde C, DPFC, version CND 0923
Rotation : définition, réciproque, composée
Une porte qui pivote sur ses gonds, l'aiguille d'une montre, une roue de vélo : dans tous ces mouvements, un point reste fixe et tout le reste tourne autour de lui du même angle. La rotation est la transformation du plan qui décrit ce mouvement. Elle sert à construire des figures (polygones réguliers, rosaces, pavages), et surtout à démontrer : dès que l'on reconnaît une rotation dans une figure, on obtient sans calcul des égalités de longueurs, des égalités d'angles, des droites perpendiculaires ou parallèles.
La rotation de centre \(O\) et d'angle \(\theta\) envoie \(M\) (\(M\ne O\)) sur \(M'\) tel que \(OM'=OM\) et l'angle \(\widehat{MOM'}=\theta\) (dans le sens choisi). En Seconde, il s'agit uniquement d'une initiation : les propriétés ci-dessous s'observent par la manipulation et sont admises, sans démonstration exigible.
Conserve les distances (donc les longueurs et les aires), l'alignement, le parallélisme, l'orthogonalité, les barycentres. Une rotation d'angle \(180°\) coïncide avec la symétrie centrale de même centre.
Figure interactive — Rotation de centre O
Le triangle vert tourne autour de O selon l'angle choisi ; les longueurs restent inchangées.
Pour définir une rotation, il faut trois informations : son centre \(O\), son angle \(\theta\) et le sens dans lequel on tourne.
- Le sens direct est le sens contraire à celui des aiguilles d'une montre. Le sens indirect est celui des aiguilles d'une montre.
- On note souvent \(r\) la rotation. L'image d'un point \(M\) se note \(M'=r(M)\).
- Pour \(M\ne O\), dire que \(M'=r(M)\) signifie deux choses à la fois : \(OM'=OM\) (le point \(M'\) est sur le cercle de centre \(O\) passant par \(M\)) et \(\widehat{MOM'}=\theta\) en tournant de \(M\) vers \(M'\) dans le sens indiqué.
Quand le sens n'est pas précisé, c'est le sens direct. Un « quart de tour » est une rotation d'angle \(90°\), un « demi-tour » une rotation d'angle \(180°\).
Soit \(r\) la rotation de centre \(O\) et d'angle \(\theta\).
- Point invariant. Le centre est sa propre image : \(r(O)=O\). Si \(\theta\) n'est pas nul, c'est le seul point invariant : tout autre point \(M\) vérifie \(\widehat{MOM'}=\theta\ne 0°\), donc \(M'\ne M\).
- Angle nul. Si \(\theta=0°\), chaque point est sa propre image : la rotation est l'identité.
- Demi-tour. Si \(\theta=180°\), le point \(O\) est le milieu de \([MM']\) : la rotation est la symétrie centrale de centre \(O\).
- Retour au point de départ. Si \(M'=r(M)\), alors \(M\) est l'image de \(M'\) par la rotation de même centre \(O\), de même angle \(\theta\), mais de sens contraire. Cette rotation s'appelle la rotation réciproque de \(r\).
Soit \(r\) une rotation d'angle \(\theta\), et \(A\), \(B\) deux points distincts d'images \(A'=r(A)\) et \(B'=r(B)\). Alors :
- \(A'B'=AB\) : une rotation conserve les distances ;
- l'angle orienté du vecteur \(\overrightarrow{AB}\) vers le vecteur \(\overrightarrow{A'B'}\) mesure \(\theta\) : le segment image a tourné du même angle que chaque point.
Conséquences à retenir. L'image d'une droite \((d)\) est une droite \((d')\), et l'angle entre \((d)\) et \((d')\) est \(\theta\). En particulier, par un quart de tour, une droite et son image sont perpendiculaires ; par un demi-tour, une droite et son image sont parallèles.
Remarque : cette propriété est vraie pour tous les points \(A\) et \(B\), même s'ils sont loin du centre. Il n'est pas nécessaire que le centre soit sur la figure.
Par une rotation \(r\) :
- l'image du segment \([AB]\) est le segment \([A'B']\), de même longueur ;
- l'image de la droite \((AB)\) est la droite \((A'B')\) ; l'image de la demi-droite \([AB)\) est la demi-droite \([A'B')\) ;
- l'image du cercle de centre \(I\) et de rayon \(R\) est le cercle de centre \(I'=r(I)\) et de même rayon \(R\) ;
- l'image d'un triangle est un triangle de mêmes dimensions (mêmes côtés, mêmes angles, même aire).
Une rotation conserve donc : l'alignement (trois points alignés ont des images alignées), le milieu (l'image du milieu de \([AB]\) est le milieu de \([A'B']\)), le parallélisme, l'orthogonalité et les angles.
Pour construire l'image d'une figure, il suffit donc de construire l'image de quelques points : deux points pour une droite ou un segment, le centre pour un cercle, les sommets pour un polygone.
Pour construire l'image \(M'\) d'un point \(M\) par la rotation de centre \(O\) et d'angle \(\theta\) :
- trace le segment \([OM]\) ;
- place le centre du rapporteur en \(O\) et trace la demi-droite \([Ox)\) telle que \(\widehat{MOx}=\theta\), en tournant dans le sens demandé (sens direct si rien n'est dit) ;
- ouvre le compas à la longueur \(OM\), pique en \(O\) et marque le point \(M'\) sur la demi-droite \([Ox)\) ;
- contrôle : \(OM'=OM\) et l'angle \(\widehat{MOM'}\) mesure bien \(\theta\).
Cas rapides : pour \(\theta=60°\), le triangle \(OMM'\) est équilatéral, deux arcs de compas de rayon \(OM\) suffisent. Pour \(\theta=90°\), l'équerre remplace le rapporteur. Pour \(\theta=180°\), \(M'\) est le symétrique de \(M\) par rapport à \(O\).
Pour démontrer une égalité de longueurs, une égalité d'angles, une perpendicularité ou un parallélisme à l'aide d'une rotation :
- repère dans la figure un point fixe \(O\) et deux longueurs égales issues de \(O\) (carré, triangle équilatéral, triangle isocèle, cercle) : c'est le signe d'une rotation de centre \(O\) ;
- précise la rotation : centre, angle, sens ;
- justifie l'image de chaque point utile en vérifiant les deux conditions de la définition (même distance au centre, bon angle dans le bon sens) ;
- conclus avec la propriété adaptée : conservation des distances pour des longueurs, propriété fondamentale pour l'angle entre deux droites, conservation du milieu, de l'alignement ou des angles.
La rédaction type est : « \(r\) est la rotation de centre … et d'angle … ; \(r(A)=A'\) car … ; \(r(B)=B'\) car … ; donc \(A'B'=AB\) et les droites \((AB)\) et \((A'B')\) forment un angle de … ».
\(ABCD\) est un carré de sens direct, de centre \(O\) et de côté \(6\) cm. On note \(I\) le milieu de \([AB]\) et \(J\) le milieu de \([BC]\). Soit \(r\) la rotation de centre \(O\) et d'angle \(90°\) (sens direct). Détermine les images de \(A\) et de \(B\), puis celle de \(I\). Déduis-en la nature du triangle \(OIJ\) et la longueur \(IJ\).
Solution : les diagonales d'un carré ont la même longueur, se coupent en leur milieu et sont perpendiculaires. Donc \(OA=OB=OC\) et \(\widehat{AOB}=\widehat{BOC}=90°\). Le carré étant de sens direct, on tourne de \(A\) vers \(B\), puis de \(B\) vers \(C\), dans le sens direct. Les deux conditions de la définition sont vérifiées : \(r(A)=B\) et \(r(B)=C\).
L'image du segment \([AB]\) est donc le segment \([BC]\). Une rotation conserve le milieu : l'image du milieu \(I\) de \([AB]\) est le milieu de \([BC]\), c'est-à-dire \(r(I)=J\).
Par définition de la rotation, \(OJ=OI\) et \(\widehat{IOJ}=90°\) : le triangle \(OIJ\) est rectangle et isocèle en \(O\). Comme \(O\) est le centre du carré, \(OI\) est la moitié du côté : \(OI=3\) cm. D'après le théorème de Pythagore, \(IJ^2=3^2+3^2=18\), donc \(IJ=3\sqrt{2}\) cm, soit environ \(4{,}24\) cm.
\(ABC\) est un triangle de sens direct. On construit, à l'extérieur de ce triangle, les triangles équilatéraux \(ABD\) et \(ACE\). Démontre que \(DC=BE\), puis donne l'angle formé par les droites \((DC)\) et \((BE)\).
Solution : on repère le point \(A\), d'où partent deux paires de longueurs égales : \(AD=AB\) et \(AC=AE\), car les triangles \(ABD\) et \(ACE\) sont équilatéraux. On considère donc la rotation \(r\) de centre \(A\) et d'angle \(60°\) (sens direct).
Image de \(D\) : \(AD=AB\) et \(\widehat{DAB}=60°\). Comme \(D\) est à l'extérieur du triangle \(ABC\), qui est de sens direct, on tourne de \(D\) vers \(B\) dans le sens direct. Donc \(r(D)=B\).
Image de \(C\) : \(AC=AE\) et \(\widehat{CAE}=60°\). Comme \(E\) est à l'extérieur du triangle, on tourne de \(C\) vers \(E\) dans le sens direct. Donc \(r(C)=E\).
L'image du segment \([DC]\) par \(r\) est donc le segment \([BE]\). Une rotation conserve les distances : \(DC=BE\). D'après la propriété fondamentale, l'angle orienté de \(\overrightarrow{DC}\) vers \(\overrightarrow{BE}\) est égal à l'angle de la rotation : les droites \((DC)\) et \((BE)\) forment un angle de \(60°\).
Remarque : aucune longueur n'a été calculée. Le résultat est vrai quelle que soit la forme du triangle \(ABC\).
Premier piège : le sens. Deux rotations de même centre et de même angle, mais de sens contraires, ne donnent pas la même image. Dans un carré \(ABCD\) de sens direct et de centre \(O\), le quart de tour direct de centre \(O\) envoie \(A\) sur \(B\), alors que le quart de tour indirect envoie \(A\) sur \(D\). Avant de construire ou de rédiger, écris toujours le sens.
Deuxième piège : l'alignement. Les points \(M\), \(O\) et \(M'\) ne sont alignés que pour un demi-tour. Pour tout autre angle, \(O\) n'est pas le milieu de \([MM']\) : il est seulement à égale distance de \(M\) et de \(M'\), donc sur la médiatrice de \([MM']\).
Troisième piège : la rédaction. Écrire « \(r(A)=B\) » sans justification ne suffit pas. Il faut citer les deux conditions : \(OA=OB\) et l'angle \(\widehat{AOB}\) égal à l'angle de la rotation, dans le bon sens.
Résumé
\(M'=r(M)\) signifie \(OM'=OM\) et \(\widehat{MOM'}=\theta\) dans le sens indiqué. Sens direct : contraire aux aiguilles d'une montre.
Le centre \(O\) est invariant ; c'est le seul si \(\theta\ne 0°\). Angle \(180°\) : symétrie centrale de centre \(O\).
\(A'B'=AB\) et l'angle de \(\overrightarrow{AB}\) vers \(\overrightarrow{A'B'}\) vaut \(\theta\). Quart de tour : droite et image perpendiculaires.
Distances, alignement, milieux, parallélisme, orthogonalité, angles. Un cercle a pour image un cercle de même rayon.
Repérer un point fixe et deux longueurs égales, préciser centre, angle et sens, justifier chaque image, conclure avec la propriété adaptée.