Seconde C · Leçon 6
Étude de fonctions élémentaires
Ce que dit le programme officiel (8 points)
- Identifier une fonction affine par intervalles
- Reconnaître les fonctions élémentaires au programme
- Représenter les fonctions élémentaires : 𝑥 ⟼ 𝑥²; 𝑥 ⟼ 𝑥³; 𝑥 ⟼ 1/𝑥; 𝑥 ⟼ √𝑥; 𝑥 ⟼ 𝐸(𝑥); 𝑥 ⟼ |𝑎𝑥 + 𝑏| où (𝑎 ∈ ℝ∗; b∈ ℝ)
- Calculer la partie entière d’un nombre réel
- Étudier le sens de variation d’une fonction élémentaire au programme
- Dresser le tableau de variation d’une fonction élémentaire au programme
- Utiliser les fonctions élémentaires pour étudier les fonctions de l’un des types : 𝑥 ⟼ 𝑎𝑥²; 𝑥 ⟼ 𝑎/𝑥 où 𝑎 ∈ ℝ∗
- Traiter une situation faisant appel aux fonctions élémentaires au programme
Source : Programme éducatif Seconde C, DPFC, version CND 0923
Fonction affine et fonctions affines par intervalle
Réservé aux abonnés Premium et Élève-Classe.
Voir les offresCourbe : une droite. Si \(a>0\), la fonction est croissante sur \(\mathbb{R}\) ; si \(a<0\), décroissante ; si \(a=0\), constante. Ni paire ni impaire en général (impaire si \(b=0\) : \(x\mapsto ax\)).
Courbe : une parabole de sommet \(O\). Décroissante sur \(]-\infty;0]\), croissante sur \([0;+\infty[\), minimum \(0\) atteint en \(x=0\). Fonction paire.
Croissante sur \(\mathbb{R}\) tout entier. Fonction impaire (symétrie par rapport à l'origine). Quand \(x\) devient très grand, \(x^3\) grandit beaucoup plus vite que \(x^2\) ; quand \(x\) devient très négatif, \(x^3\) devient très négatif aussi (contrairement à \(x^2\), toujours positif).
Définie sur \([0;+\infty[\) uniquement. Croissante sur tout son ensemble de définition. Ni paire ni impaire (son ensemble de définition n'est pas symétrique par rapport à \(0\)).
Définie sur \(\mathbb{R}^*\) (tout réel sauf \(0\)). Décroissante sur \(]-\infty;0[\) et décroissante sur \(]0;+\infty[\) (attention : ce sont deux intervalles séparés, on ne peut pas dire que la fonction est « décroissante sur \(\mathbb{R}^*\) » globalement, puisque par exemple \(f(-1)=-1 < f(1)=1\) alors que \(-1<1\)). Fonction impaire. Quand \(x\) s'approche de \(0\) par valeurs positives, \(1/x\) devient très grand ; quand \(x\) devient très grand, \(1/x\) devient très petit et proche de \(0\).
Figure interactive — Comparer les fonctions de référence
Cochez ou décochez pour comparer l'allure des courbes.
Sens de variation, maximum et minimum d'une fonction
\(f\) admet un maximum \(M\) sur \(D_f\) s'il existe \(x_0\) tel que \(f(x_0)=M\) et \(f(x)\le M\) pour tout \(x \in D_f\) (de même pour un minimum, avec \(\ge\)).
\(f\) est croissante sur un intervalle \(I\) si, pour tous \(a,b \in I\), \(a \le b \implies f(a) \le f(b)\) (l'ordre est conservé). \(f\) est décroissante sur \(I\) si \(a \le b \implies f(a)\ge f(b)\) (l'ordre est inversé).
Au programme de Seconde, on étudie le sens de variation directement (en comparant \(f(a)\) et \(f(b)\) par le calcul), sans passer par la notion de limite (hors programme à ce niveau).
Exemple. Montrer que \(f(x)=x^2\) est décroissante sur \(]-\infty;0]\). Soit \(a \le b \le 0\). Alors \(f(a)-f(b)=a^2-b^2=(a-b)(a+b)\). Or \(a-b \le 0\) (car \(a \le b\)) et \(a+b \le 0\) (car \(a,b \le 0\)), donc \(f(a)-f(b) = (a-b)(a+b) \ge 0\) (produit de deux négatifs), soit \(f(a) \ge f(b)\) : \(f\) est bien décroissante sur \(]-\infty;0]\).
Remarque propre au programme du Burkina Faso : vérifie ce point dans ton programme.
Résumé
Réservé aux abonnés Premium et Élève-Classe.
Voir les offresSujet type devoir
Réservé aux abonnés Premium et Élève-Classe.
Voir les offres