Seconde C · Leçon 3
Équations et inéquations dans ℝ
Ce que dit le programme officiel (6 points)
- la définition deux équations équivalentes
- la définition deux inéquations équivalentes
- l’ensemble de validité d’une équation ou d’une inéquation
- des équations et inéquations dans ℝ dont les membres sont deux polynômes ou deux fractions rationnelles
- des équations et inéquations avec valeur absolue
- Traiter une situation faisant appel aux équations et inéquations dans ℝ
Source : Programme éducatif Seconde C, DPFC, version CND 0923
Polynômes : degré, racine et factorisation par (x − a)
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Voir les offresSoit \(P(x)\) un polynôme et \(a\) un nombre réel. On a l'équivalence :
\[ P(a) = 0 \iff \text{il existe un polynôme } Q(x) \text{ tel que } P(x) = (x-a)\,Q(x). \]On dit alors que \(a\) est un zéro (ou une racine) de \(P\). Le polynôme \(Q\) s'obtient par la méthode des coefficients indéterminés.
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Voir les offresFractions rationnelles : décomposition, simplification
Une fraction rationnelle est une expression de la forme « polynôme sur polynôme ». Tu en rencontres dès qu’une inconnue apparaît au dénominateur, par exemple dans des calculs algébriques, des études de signe ou des fonctions homographiques. Savoir la simplifier et la décomposer permet de mieux voir son domaine de définition, ses zéros, son signe et, plus tard, d’étudier plus facilement la fonction qu’elle définit.
Soient deux polynômes A et B, avec B non nul. On appelle fraction rationnelle toute expression de la forme \(\dfrac{A(x)}{B(x)}\). Elle définit une fonction pour toutes les valeurs de \(x\) qui ne rendent pas le dénominateur nul.
Le domaine de définition est donc l’ensemble des réels \(x\) tels que \(B(x)\neq 0\). On le note souvent \(D\) ou \(D_f\). Trouver ce domaine est la première chose à faire, car une valeur qui annule le dénominateur est interdite.
Simplifier une fraction rationnelle, c’est factoriser le numérateur et le dénominateur, puis supprimer un facteur commun non nul. Par exemple, si \(A(x)=C(x)D(x)\) et \(B(x)=C(x)E(x)\), alors, pour les valeurs de \(x\) telles que \(C(x)\neq 0\), on a \(\dfrac{A(x)}{B(x)}=\dfrac{D(x)}{E(x)}\). Il faut donc toujours garder en mémoire les valeurs interdites de l’expression de départ.
Décomposer une fraction rationnelle, c’est la réécrire sous une forme plus simple à utiliser. Selon les cas, on peut la décomposer en une somme, en une différence, ou en une partie entière plus une fraction plus simple. Par exemple, \(\dfrac{x+3}{x-1}=1+\dfrac{4}{x-1}\), car \(x+3=(x-1)+4\). Cette nouvelle écriture donne la même valeur que l’ancienne pour tout \(x\neq 1\), mais elle est souvent plus pratique pour calculer, comparer ou étudier le signe.
1) Condition de définition. Pour une fraction rationnelle \(\dfrac{A(x)}{B(x)}\), seules les valeurs qui vérifient \(B(x)\neq 0\) sont autorisées. Si le dénominateur se factorise, les valeurs interdites se lisent directement sur les facteurs. Par exemple, pour \(\dfrac{2x+1}{(x-3)(x+2)}\), on doit avoir \(x\neq 3\) et \(x\neq -2\).
2) Simplification par facteur commun. On peut simplifier seulement des facteurs, jamais des termes d’une somme. Ainsi, \(\dfrac{(x-2)(x+5)}{(x-2)(x+1)}=\dfrac{x+5}{x+1}\) pour \(x\neq 2\) et \(x\neq -1\). En revanche, \(\dfrac{x+2}{x}\) ne se simplifie pas, car \(x+2\) n’est pas un facteur de \(x\).
3) Décomposition en une partie simple. Quand le numérateur ressemble au dénominateur, on peut écrire le numérateur comme « dénominateur + reste ». Par exemple, \(2x+3=2(x-1)+5\), donc \(\dfrac{2x+3}{x-1}=2+\dfrac{5}{x-1}\), pour \(x\neq 1\). Cette écriture est très utile pour des calculs mentaux et pour reconnaître une fonction homographique.
Pour simplifier une fraction rationnelle :
- Détermine d’abord les valeurs interdites en résolvant \(B(x)=0\).
- Factorise complètement le numérateur et le dénominateur dès que c’est possible : identité remarquable, mise en facteur, trinôme, etc.
- Repère les facteurs communs et simplifie seulement ces facteurs.
- Réécris le résultat sous forme simple, mais conserve les valeurs interdites de l’expression de départ.
Pour décomposer une fraction rationnelle simple :
- Si le numérateur peut s’écrire « multiple du dénominateur + reste », fais-le. Exemple : \(3x+7=3(x-2)+13\).
- Sépare ensuite la fraction en deux : \(\dfrac{3x+7}{x-2}=\dfrac{3(x-2)}{x-2}+\dfrac{13}{x-2}=3+\dfrac{13}{x-2}\), pour \(x\neq 2\).
- Vérifie en remettant au même dénominateur : \(3(x-2)+13=3x+7\).
Dans tous les cas, commence toujours par le domaine de définition : c’est une habitude indispensable.
Énoncé : Simplifie \(\dfrac{x^2-5x+6}{x^2-3x+2}\) et précise les valeurs interdites.
Solution : On commence par le domaine de définition. Le dénominateur vaut \(x^2-3x+2\). On le factorise :
\[x^2-3x+2=(x-1)(x-2).\]
Donc l’expression n’est définie que pour \(x\neq 1\) et \(x\neq 2\).
On factorise ensuite le numérateur :
\[x^2-5x+6=(x-2)(x-3).\]
La fraction devient alors
\[\frac{x^2-5x+6}{x^2-3x+2}=\frac{(x-2)(x-3)}{(x-1)(x-2)}.\]
On simplifie par le facteur commun \((x-2)\), ce qui est autorisé seulement si \(x\neq 2\), ce qui fait déjà partie des valeurs interdites :
\[\frac{(x-2)(x-3)}{(x-1)(x-2)}=\frac{x-3}{x-1}.\]
Finalement,
\[\frac{x^2-5x+6}{x^2-3x+2}=\frac{x-3}{x-1}\quad \text{pour } x\neq 1 \text{ et } x\neq 2.\]
Attention : la forme simplifiée ne doit pas faire oublier que \(x=2\) reste interdit. En effet, dans l’expression de départ, si \(x=2\), le dénominateur vaut \(0\), donc la fraction n’existe pas.
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Voir les offresPiège 1 : simplifier des termes au lieu de simplifier des facteurs. Par exemple, certains écrivent à tort \(\dfrac{x+2}{x}=2\). C’est faux. On ne peut pas « barrer » le \(x\) dans une somme. La bonne écriture est \(\dfrac{x+2}{x}=\dfrac{x}{x}+\dfrac{2}{x}=1+\dfrac{2}{x}\), pour \(x\neq 0\). Vérification avec \(x=2\) : à gauche, \(\dfrac{2+2}{2}=\dfrac{4}{2}=2\), tandis que si on avait simplifié abusivement on obtiendrait toujours \(2\), ce qui ne marche plus pour \(x=4\), car \(\dfrac{4+2}{4}=\dfrac{6}{4}=\dfrac{3}{2}\neq 2\).
Piège 2 : oublier les valeurs interdites après simplification. On a \(\dfrac{x^2-1}{x-1}=\dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1\), mais seulement pour \(x\neq 1\). Il serait faux d’affirmer que la fraction vaut \(2\) pour \(x=1\), car l’expression de départ n’existe pas en \(x=1\). La simplification donne une écriture équivalente sur le domaine initial, elle ne crée pas de nouvelle valeur autorisée.
Pour décomposer une fraction du type \(\dfrac{ax+b}{x-c}\), fais apparaître le dénominateur dans le numérateur : \(ax+b=a(x-c)+(b+ac)\). Par exemple, \(4x+1=4(x-3)+13\), donc \(\dfrac{4x+1}{x-3}=4+\dfrac{13}{x-3}\) pour \(x\neq 3\). Autre bon réflexe : écris dès la première ligne les valeurs interdites. Ainsi, même si tu simplifies ensuite la fraction, tu ne perdras pas les conditions de définition. Ce réflexe évite une grande partie des erreurs dans les exercices de fonctions rationnelles.
Intervalles, valeur absolue et distance
La valeur absolue permet de mesurer un écart entre deux nombres sans se soucier de l'ordre dans lequel ils sont pris : c'est l'outil naturel pour parler de distance sur la droite numérique.
Pour \(x \in \mathbb{R}\), la valeur absolue de \(x\), notée \(|x|\), vaut \(x\) si \(x \ge 0\) et \(-x\) si \(x < 0\). Pour deux réels \(a\) et \(b\), la distance entre \(a\) et \(b\) sur la droite numérique est \(|b - a|\).
Pour \(a \in \mathbb{R}\) et \(r > 0\), l'inégalité \(|x - a| < r\) est équivalente à \(a - r < x < a + r\), c'est-à-dire \(x \in\ ]a-r\,;\,a+r[\) : l'ensemble des réels situés à une distance de \(a\) strictement inférieure à \(r\) est exactement l'intervalle centré en \(a\) de rayon \(r\).
Valeur absolue d'un produit et d'un quotient : \(|xy| = |x|\cdot|y|\) et, pour \(y \ne 0\), \(\left|\dfrac{x}{y}\right| = \dfrac{|x|}{|y|}\).
Inégalité triangulaire : pour tous réels \(x\) et \(y\),
\[ |x + y| \le |x| + |y|. \]Facile. La distance entre \(-3\) et \(5\) est \(|5-(-3)| = |8| = 8\).
Intermédiaire. Traduire par un intervalle l'ensemble des solutions de \(|x - 2| < 3\). D'après la propriété, cela équivaut à \(2 - 3 < x < 2+3\), soit \(x \in\ ]-1\,;\,5[\).
Majoration simple. Sachant \(|x| \le 2\) et \(|y| \le 5\), majorer \(|3x - y|\). Par l'inégalité triangulaire (avec le facteur \(3\) devant \(x\)) : \(|3x - y| \le |3x| + |{-y}| = 3|x| + |y| \le 3\times 2 + 5 = 11\).
Figure interactive — Intervalle centré \(]a-r\,;\,a+r[\)
Déplacez \(x\) : le point devient vert si \(|x-a|<r\) (donc \(x\) dans l'intervalle), rouge sinon.
Mise en équations d'un problème (systèmes)
Une inéquation \(ax+by \le e\) (avec \(b>0\)) partage le plan en deux demi-plans, séparés par la droite \(ax+by=e\) : les points qui vérifient l'inéquation forment l'un des deux demi-plans (frontière incluse).
Résoudre un système d'inéquations, c'est trouver l'intersection de tous les demi-plans correspondants — une région du plan.
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