Seconde C · Leçon 5
Généralités sur les fonctions
Ce que dit le programme officiel (24 points)
- la définition d’une fonction
- les diverses déterminations d’une fonction
- la définition de l’ensemble de définition d’une fonction
- la définition de l’image directe d’un ensemble
- la définition de l’image réciproque d’un ensemble
- la définition du maximum d’une fonction sur un intervalle
- la définition du minimum d’une fonction sur un intervalle
- la définition du sens de variation d’une fonction
- la définition de deux fonctions égales sur un intervalle
- la définition de la représentation graphique d’une fonction
- une fonction
- qu’une courbe peut être la représentation graphique d’une fonction
- graphiquement sur un intervalle qu’une fonction admet un maximum, un minimum
- graphiquement qu’une fonction est croissante sur un intervalle
- graphiquement qu’une fonction est décroissante sur un intervalle
- graphiquement qu’une fonction est constante sur un intervalle
- graphiquement l’image d’un nombre réel par une fonction
- graphiquement les antécédents, l’image directe puis l’image réciproque d’un intervalle
- l’ensemble de définition d’une fonction
- graphiquement l’image directe puis l’image réciproque d’un intervalle par une fonction
- Calculer algébriquement l’image puis les antécédents d’un nombre réel par une fonction
- que deux fonctions sont égales sur un sous-ensemble de ℝ
- algébriquement qu’un nombre donné est maximum ou minimum d’une fonction
- Traiter une situation faisant appel aux fonctions
Source : Programme éducatif Seconde C, DPFC, version CND 0923
Fonction : image, antécédent, ensemble de définition, courbe
Une fonction peut être définie de plusieurs façons : tracé graphique, tableau de données numériques, formule explicite, ou même touches d'une calculatrice. Savoir passer d'une représentation à l'autre est l'objectif central de ce chapitre.
Une fonction \(f\) associe à chaque réel \(x\) d'un ensemble \(D_f\) (l'ensemble de définition) au plus un réel noté \(f(x)\), l'image de \(x\) par \(f\). Un réel \(x\) tel que \(f(x)=y\) est un antécédent de \(y\).
La courbe représentative de \(f\), notée \(\mathcal{C}_f\), est l'ensemble des points \(M(x\,;\,f(x))\) pour \(x \in D_f\).
Pour lire l'image de \(a\) : tracer la verticale \(x=a\), lire l'ordonnée du point d'intersection avec \(\mathcal{C}_f\). Pour lire les antécédents de \(b\) : tracer l'horizontale \(y=b\), lire les abscisses des points d'intersection — il peut y en avoir zéro, un, ou plusieurs.
L'image d'un intervalle \(I \subset D_f\) est l'ensemble \(f(I) = \{f(x)\ /\ x \in I\}\) : l'ensemble des ordonnées atteintes quand \(x\) parcourt \(I\). L'image réciproque d'un intervalle \(J\) est l'ensemble des \(x\) tels que \(f(x) \in J\) : l'ensemble des abscisses dont l'image tombe dans \(J\).
Facile. Pour \(f(x)=x^2\), l'image de \(3\) est \(f(3)=9\). Les antécédents de \(9\) sont \(3\) et \(-3\) (deux antécédents).
Intermédiaire. Pour \(f(x)=x^2\) sur \(D_f=\mathbb{R}\), l'image de l'intervalle \(I=[-2;3]\) est \(f(I)=[0;9]\) (le minimum \(0\) est atteint en \(0 \in I\), le maximum \(9\) en \(x=3\), car \(3^2=9 > (-2)^2=4\)).
Image réciproque. Toujours pour \(f(x)=x^2\), l'image réciproque de \(J=[4;9]\) est l'ensemble des \(x\) tels que \(4 \le x^2 \le 9\), soit \(x \in [-3;-2]\cup[2;3]\).
Sens de variation, maximum et minimum d'une fonction
\(f\) admet un maximum \(M\) sur \(D_f\) s'il existe \(x_0\) tel que \(f(x_0)=M\) et \(f(x)\le M\) pour tout \(x \in D_f\) (de même pour un minimum, avec \(\ge\)).
\(f\) est croissante sur un intervalle \(I\) si, pour tous \(a,b \in I\), \(a \le b \implies f(a) \le f(b)\) (l'ordre est conservé). \(f\) est décroissante sur \(I\) si \(a \le b \implies f(a)\ge f(b)\) (l'ordre est inversé).
Au programme de Seconde, on étudie le sens de variation directement (en comparant \(f(a)\) et \(f(b)\) par le calcul), sans passer par la notion de limite (hors programme à ce niveau).
Exemple. Montrer que \(f(x)=x^2\) est décroissante sur \(]-\infty;0]\). Soit \(a \le b \le 0\). Alors \(f(a)-f(b)=a^2-b^2=(a-b)(a+b)\). Or \(a-b \le 0\) (car \(a \le b\)) et \(a+b \le 0\) (car \(a,b \le 0\)), donc \(f(a)-f(b) = (a-b)(a+b) \ge 0\) (produit de deux négatifs), soit \(f(a) \ge f(b)\) : \(f\) est bien décroissante sur \(]-\infty;0]\).
Remarque propre au programme du Burkina Faso : vérifie ce point dans ton programme.
Résumé
Un \(x\) a une seule image \(f(x)\) ; un \(y\) peut avoir 0, 1 ou plusieurs antécédents. Lecture graphique : verticale pour l'image, horizontale pour les antécédents.
Comparer \(f(a)\) et \(f(b)\) directement par le calcul, sans notion de limite (hors programme en Seconde).
Paire : \(f(-x)=f(x)\), symétrie / axe des ordonnées. Impaire : \(f(-x)=-f(x)\), symétrie / origine. Un seul contre-exemple suffit à réfuter.
\(f(x+T)=f(x)\) : le motif se répète tous les \(T\). Utile pour les fonctions circulaires (chapitre VI).
Remarque propre au programme du Burkina Faso : vérifie ce point dans ton programme.
Sujet type devoir
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=2x^2-8x+3\).
Question 1. Calculer \(f(0)\), \(f(2)\) et \(f(4)\).
\(f(0)=3\) ; \(f(2)=8-16+3=-5\) ; \(f(4)=32-32+3=3\).
Question 2. \(f\) est-elle paire ? Justifier.
Non : on a trouvé \(f(0)=3\) et \(f(4)=3\), mais \(f(-4)=32+32+3=67 \ne f(4)=3\). Comme \(f(-4)\ne f(4)\), \(f\) n'est pas paire (et le test suffit ici, un seul contre-exemple invalide la parité).
Question 3. Montrer que \(f\) est décroissante sur \([0\,;\,2]\) en comparant \(f(a)\) et \(f(b)\) pour \(0\le a\le b\le2\).
\(f(a)-f(b) = 2a^2-8a-(2b^2-8b) = 2(a^2-b^2) - 8(a-b) = 2(a-b)(a+b) - 8(a-b) = (a-b)\big(2(a+b)-8\big)\).
Pour \(0\le a\le b\le2\) : \(a-b\le0\). Et \(a+b\le4\), donc \(2(a+b)-8\le0\). Un produit de deux facteurs négatifs (ou nuls) est positif : \(f(a)-f(b)\ge0\), soit \(f(a)\ge f(b)\). \(f\) est bien décroissante sur \([0;2]\).