Seconde C · Leçon 2
Polynômes et fractions rationnelles
Ce que dit le programme officiel (27 points)
- Au lycée Moderne 2 de Gagnoa, deux vendeuses (V1 et V2) sollicitent chacune un espace pour vendre. L’espace proposé sur le site par le COGES de l’établissement a la forme indiquée ci-dessous et vaut 10 m².
- La vendeuse V1 s’inquiète car elle a besoin de 4 m².
- Pour déterminer l’aire accordée à chacune d’elles, le fils de la vendeuse V1 avec l’aide de ses camarades décident d’étudier les polynômes.
- la définition d’un polynôme
- la définition du degré d’un polynôme
- la définition d’une fraction rationnelle
- la définition d’un zéro d’un polynôme
- la propriété relative au produit de polynômes
- la propriété relative à la somme de polynômes
- la propriété relative à l’égalité de deux polynômes
- les produits remarquables
- le théorème fondamental relatif à la factorisation d’un polynôme par 𝑥 − 𝛼
- les différentes écritures d’une fraction rationnelle
- les coefficients d‘un polynôme
- la forme factorisée d’un polynôme
- qu’un nombre réel donné est zéro d’un polynôme
- la somme de deux polynômes
- le produit de deux polynômes
- la forme canonique d’un polynôme du second degré
- un polynôme en utilisant les égalités remarquables
- un polynôme du second degré en utilisant la forme canonique
- par 𝑥 − 𝑎 (𝑎 étant un zéro) et rechercher les zéros en utilisant la méthode coefficients indéterminés
- par 𝑥 − 𝑎 (𝑎 étant un zéro) et rechercher les zéros en utilisant la méthode de la division euclidienne
- le signe d’un polynôme du second degré (en utilisant une expression déjà factorisée)
- les fractions rationnelles par division euclidienne
- les fractions rationnelles par la méthode d’identification
- une situation faisant appel aux polynômes ou aux fractions rationnelles
Source : Programme éducatif Seconde C, DPFC, version CND 0923
Polynômes : degré, racine et factorisation par (x − a)
Réservé aux abonnés Premium et Élève-Classe.
Voir les offresSoit \(P(x)\) un polynôme et \(a\) un nombre réel. On a l'équivalence :
\[ P(a) = 0 \iff \text{il existe un polynôme } Q(x) \text{ tel que } P(x) = (x-a)\,Q(x). \]On dit alors que \(a\) est un zéro (ou une racine) de \(P\). Le polynôme \(Q\) s'obtient par la méthode des coefficients indéterminés.
Réservé aux abonnés Premium et Élève-Classe.
Voir les offresRéservé aux abonnés Premium et Élève-Classe.
Voir les offresFractions rationnelles : décomposition, simplification
Une fraction rationnelle est une expression de la forme « polynôme sur polynôme ». Tu en rencontres dès qu’une inconnue apparaît au dénominateur, par exemple dans des calculs algébriques, des études de signe ou des fonctions homographiques. Savoir la simplifier et la décomposer permet de mieux voir son domaine de définition, ses zéros, son signe et, plus tard, d’étudier plus facilement la fonction qu’elle définit.
Soient deux polynômes A et B, avec B non nul. On appelle fraction rationnelle toute expression de la forme \(\dfrac{A(x)}{B(x)}\). Elle définit une fonction pour toutes les valeurs de \(x\) qui ne rendent pas le dénominateur nul.
Le domaine de définition est donc l’ensemble des réels \(x\) tels que \(B(x)\neq 0\). On le note souvent \(D\) ou \(D_f\). Trouver ce domaine est la première chose à faire, car une valeur qui annule le dénominateur est interdite.
Simplifier une fraction rationnelle, c’est factoriser le numérateur et le dénominateur, puis supprimer un facteur commun non nul. Par exemple, si \(A(x)=C(x)D(x)\) et \(B(x)=C(x)E(x)\), alors, pour les valeurs de \(x\) telles que \(C(x)\neq 0\), on a \(\dfrac{A(x)}{B(x)}=\dfrac{D(x)}{E(x)}\). Il faut donc toujours garder en mémoire les valeurs interdites de l’expression de départ.
Décomposer une fraction rationnelle, c’est la réécrire sous une forme plus simple à utiliser. Selon les cas, on peut la décomposer en une somme, en une différence, ou en une partie entière plus une fraction plus simple. Par exemple, \(\dfrac{x+3}{x-1}=1+\dfrac{4}{x-1}\), car \(x+3=(x-1)+4\). Cette nouvelle écriture donne la même valeur que l’ancienne pour tout \(x\neq 1\), mais elle est souvent plus pratique pour calculer, comparer ou étudier le signe.
1) Condition de définition. Pour une fraction rationnelle \(\dfrac{A(x)}{B(x)}\), seules les valeurs qui vérifient \(B(x)\neq 0\) sont autorisées. Si le dénominateur se factorise, les valeurs interdites se lisent directement sur les facteurs. Par exemple, pour \(\dfrac{2x+1}{(x-3)(x+2)}\), on doit avoir \(x\neq 3\) et \(x\neq -2\).
2) Simplification par facteur commun. On peut simplifier seulement des facteurs, jamais des termes d’une somme. Ainsi, \(\dfrac{(x-2)(x+5)}{(x-2)(x+1)}=\dfrac{x+5}{x+1}\) pour \(x\neq 2\) et \(x\neq -1\). En revanche, \(\dfrac{x+2}{x}\) ne se simplifie pas, car \(x+2\) n’est pas un facteur de \(x\).
3) Décomposition en une partie simple. Quand le numérateur ressemble au dénominateur, on peut écrire le numérateur comme « dénominateur + reste ». Par exemple, \(2x+3=2(x-1)+5\), donc \(\dfrac{2x+3}{x-1}=2+\dfrac{5}{x-1}\), pour \(x\neq 1\). Cette écriture est très utile pour des calculs mentaux et pour reconnaître une fonction homographique.
Pour simplifier une fraction rationnelle :
- Détermine d’abord les valeurs interdites en résolvant \(B(x)=0\).
- Factorise complètement le numérateur et le dénominateur dès que c’est possible : identité remarquable, mise en facteur, trinôme, etc.
- Repère les facteurs communs et simplifie seulement ces facteurs.
- Réécris le résultat sous forme simple, mais conserve les valeurs interdites de l’expression de départ.
Pour décomposer une fraction rationnelle simple :
- Si le numérateur peut s’écrire « multiple du dénominateur + reste », fais-le. Exemple : \(3x+7=3(x-2)+13\).
- Sépare ensuite la fraction en deux : \(\dfrac{3x+7}{x-2}=\dfrac{3(x-2)}{x-2}+\dfrac{13}{x-2}=3+\dfrac{13}{x-2}\), pour \(x\neq 2\).
- Vérifie en remettant au même dénominateur : \(3(x-2)+13=3x+7\).
Dans tous les cas, commence toujours par le domaine de définition : c’est une habitude indispensable.
Énoncé : Simplifie \(\dfrac{x^2-5x+6}{x^2-3x+2}\) et précise les valeurs interdites.
Solution : On commence par le domaine de définition. Le dénominateur vaut \(x^2-3x+2\). On le factorise :
\[x^2-3x+2=(x-1)(x-2).\]
Donc l’expression n’est définie que pour \(x\neq 1\) et \(x\neq 2\).
On factorise ensuite le numérateur :
\[x^2-5x+6=(x-2)(x-3).\]
La fraction devient alors
\[\frac{x^2-5x+6}{x^2-3x+2}=\frac{(x-2)(x-3)}{(x-1)(x-2)}.\]
On simplifie par le facteur commun \((x-2)\), ce qui est autorisé seulement si \(x\neq 2\), ce qui fait déjà partie des valeurs interdites :
\[\frac{(x-2)(x-3)}{(x-1)(x-2)}=\frac{x-3}{x-1}.\]
Finalement,
\[\frac{x^2-5x+6}{x^2-3x+2}=\frac{x-3}{x-1}\quad \text{pour } x\neq 1 \text{ et } x\neq 2.\]
Attention : la forme simplifiée ne doit pas faire oublier que \(x=2\) reste interdit. En effet, dans l’expression de départ, si \(x=2\), le dénominateur vaut \(0\), donc la fraction n’existe pas.
Réservé aux abonnés Premium et Élève-Classe.
Voir les offresRéservé aux abonnés Premium et Élève-Classe.
Voir les offresPiège 1 : simplifier des termes au lieu de simplifier des facteurs. Par exemple, certains écrivent à tort \(\dfrac{x+2}{x}=2\). C’est faux. On ne peut pas « barrer » le \(x\) dans une somme. La bonne écriture est \(\dfrac{x+2}{x}=\dfrac{x}{x}+\dfrac{2}{x}=1+\dfrac{2}{x}\), pour \(x\neq 0\). Vérification avec \(x=2\) : à gauche, \(\dfrac{2+2}{2}=\dfrac{4}{2}=2\), tandis que si on avait simplifié abusivement on obtiendrait toujours \(2\), ce qui ne marche plus pour \(x=4\), car \(\dfrac{4+2}{4}=\dfrac{6}{4}=\dfrac{3}{2}\neq 2\).
Piège 2 : oublier les valeurs interdites après simplification. On a \(\dfrac{x^2-1}{x-1}=\dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1\), mais seulement pour \(x\neq 1\). Il serait faux d’affirmer que la fraction vaut \(2\) pour \(x=1\), car l’expression de départ n’existe pas en \(x=1\). La simplification donne une écriture équivalente sur le domaine initial, elle ne crée pas de nouvelle valeur autorisée.
Pour décomposer une fraction du type \(\dfrac{ax+b}{x-c}\), fais apparaître le dénominateur dans le numérateur : \(ax+b=a(x-c)+(b+ac)\). Par exemple, \(4x+1=4(x-3)+13\), donc \(\dfrac{4x+1}{x-3}=4+\dfrac{13}{x-3}\) pour \(x\neq 3\). Autre bon réflexe : écris dès la première ligne les valeurs interdites. Ainsi, même si tu simplifies ensuite la fraction, tu ne perdras pas les conditions de définition. Ce réflexe évite une grande partie des erreurs dans les exercices de fonctions rationnelles.
Calcul littéral : développement, factorisation, identités remarquables
Les identités du troisième degré ne sont pas au programme.
Remarque propre au programme du Burkina Faso : vérifie ce point dans ton programme.
Soit \(P(x)\) un polynôme et \(a\) un réel. On admet :
\[ P(a)=0 \iff \text{il existe un polynôme } Q(x) \text{ tel que } P(x)=(x-a)Q(x). \]Réservé aux abonnés Premium et Élève-Classe.
Voir les offresTrinôme du second degré : forme canonique
Un polynôme du second degré s'écrit \(P(x) = ax^2+bx+c\) avec \(a, b, c \in \mathbb{R}\) et \(a \ne 0\). Sa forme canonique est :
\[ P(x) = a\left(x-\alpha\right)^2 + \beta, \qquad \alpha = -\dfrac{b}{2a},\quad \beta = P(\alpha). \]Réservé aux abonnés Premium et Élève-Classe.
Voir les offresDivision euclidienne des polynômes
Diviser 47 par 5, c'est écrire \(47=5\times 9+2\) : un quotient, et un reste plus petit que le diviseur. Les polynômes se divisent exactement de la même façon, à ceci près que « plus petit » se lit sur les degrés. Cette technique sert à factoriser un polynôme dont on connaît une racine et à récrire une fraction rationnelle sous une forme plus simple.
Théorème (admis). Soit \(A\) et \(B\) deux polynômes, \(B\) n'étant pas le polynôme nul. Il existe un unique couple de polynômes \((Q,R)\) tel que
\[A(x)=B(x)\,Q(x)+R(x)\qquad\text{avec}\qquad R=0\ \text{ou}\ \deg R\lt \deg B.\]\(Q\) est le quotient et \(R\) le reste de la division euclidienne de \(A\) par \(B\). Lorsque le reste est nul, on dit que \(A\) est divisible par \(B\) : \(A(x)=B(x)\,Q(x)\), et \(A\) est factorisé.
Si le degré de \(A\) est strictement inférieur à celui de \(B\), il n'y a rien à faire : le quotient est nul et le reste est \(A\) lui-même. Sinon, le degré du quotient est \(\deg A-\deg B\).
On écrit les deux polynômes suivant les puissances décroissantes de \(x\), en laissant une place (ou en écrivant \(0x^k\)) pour chaque puissance absente. Puis on répète trois gestes :
- diviser le terme de plus haut degré du dividende par le terme de plus haut degré du diviseur : on obtient un terme du quotient ;
- multiplier le diviseur tout entier par ce terme ;
- soustraire le résultat du dividende : le terme de plus haut degré disparaît.
On recommence avec le polynôme obtenu, et l'on s'arrête dès que son degré est strictement inférieur à celui du diviseur : ce dernier polynôme est le reste.
Contrôle. On vérifie toujours le résultat, soit en développant \(B(x)\,Q(x)+R(x)\), soit en remplaçant \(x\) par un nombre simple dans l'égalité.
Énoncé. Soit \(A(x)=2x^3-3x^2-11x+6\). a) Vérifier que 3 est un zéro de \(A\). b) Effectuer la division euclidienne de \(A(x)\) par \(x-3\). c) Factoriser \(A(x)\) en un produit de trois facteurs du premier degré.
Solution : a) \(A(3)=2\times 27-3\times 9-11\times 3+6=54-27-33+6=0\).
b) Première étape : \(2x^3\div x=2x^2\) ; \(2x^2(x-3)=2x^3-6x^2\) ; on soustrait, il reste \(3x^2-11x+6\). Deuxième étape : \(3x^2\div x=3x\) ; \(3x(x-3)=3x^2-9x\) ; il reste \(-2x+6\). Troisième étape : \(-2x\div x=-2\) ; \(-2(x-3)=-2x+6\) ; il reste 0. Donc
\[A(x)=(x-3)(2x^2+3x-2).\]c) Le trinôme \(2x^2+3x-2\) a pour discriminant \(9+16=25\) ; ses racines sont \(\dfrac{-3+5}{4}=\dfrac12\) et \(\dfrac{-3-5}{4}=-2\), d'où \(2x^2+3x-2=2\left(x-\dfrac12\right)(x+2)=(2x-1)(x+2)\). Finalement \(A(x)=(x-3)(2x-1)(x+2)\).
Figure — La division de l'exemple 1, posée
À gauche, le dividende et les restes successifs ; à droite, le diviseur x − 3 et, sous le trait, le quotient qui se construit terme par terme. Chaque ligne en or est le produit du diviseur par le dernier terme du quotient : on la soustrait de la ligne du dessus. Le dernier reste est 0.
Propriété. Le reste de la division euclidienne d'un polynôme \(A(x)\) par \(x-a\) est le nombre \(A(a)\).
Démonstration. Le diviseur est de degré 1 : le reste est une constante \(r\), et \(A(x)=(x-a)\,Q(x)+r\). En remplaçant \(x\) par \(a\), on obtient \(A(a)=0\times Q(a)+r=r\).
Conséquence. Le polynôme \(A(x)\) est divisible par \(x-a\) si et seulement si \(A(a)=0\), c'est-à-dire si et seulement si \(a\) est un zéro de \(A\). La division donne alors la factorisation \(A(x)=(x-a)\,Q(x)\), où \(Q\) a un degré de moins que \(A\).
On dispose ainsi d'un contrôle rapide : avant de diviser par \(x-a\), on calcule \(A(a)\) ; c'est le reste que l'on doit trouver.
Énoncé. Effectuer la division euclidienne de \(A(x)=x^3+2x^2-5x+1\) par \(B(x)=x^2-x+2\).
Solution : Première étape : \(x^3\div x^2=x\) ; \(x(x^2-x+2)=x^3-x^2+2x\) ; on soustrait : \((x^3+2x^2-5x+1)-(x^3-x^2+2x)=3x^2-7x+1\).
Deuxième étape : \(3x^2\div x^2=3\) ; \(3(x^2-x+2)=3x^2-3x+6\) ; on soustrait : \((3x^2-7x+1)-(3x^2-3x+6)=-4x-5\). Ce polynôme est de degré 1, strictement inférieur au degré de \(B\) : on s'arrête.
Le quotient est \(Q(x)=x+3\) et le reste \(R(x)=-4x-5\) :
\[x^3+2x^2-5x+1=(x^2-x+2)(x+3)-4x-5.\]Contrôle en \(x=1\) : à gauche \(1+2-5+1=-1\) ; à droite \((1-1+2)\times 4-4-5=8-9=-1\).
Énoncé. Pour \(x\neq -2\), on pose \(F(x)=\dfrac{2x^2+3x-1}{x+2}\). Écrire \(F(x)\) sous la forme \(Q(x)+\dfrac{R(x)}{x+2}\), où \(R\) est de degré strictement inférieur à celui de \(x+2\).
Solution : On divise \(2x^2+3x-1\) par \(x+2\). \(2x^2\div x=2x\) ; \(2x(x+2)=2x^2+4x\) ; il reste \(-x-1\). Puis \(-x\div x=-1\) ; \(-(x+2)=-x-2\) ; il reste \((-x-1)-(-x-2)=1\). Donc \(2x^2+3x-1=(x+2)(2x-1)+1\).
En divisant les deux membres par \(x+2\), qui n'est pas nul :
\[F(x)=2x-1+\frac{1}{x+2}.\]Contrôle en \(x=0\) : \(F(0)=-\dfrac12\) et \(-1+\dfrac12=-\dfrac12\). Le reste 1 est bien la valeur du numérateur en \(-2\) : \(2\times 4-6-1=1\). Sous cette forme, on voit que \(F(x)\) est très proche de \(2x-1\) dès que \(x\) est grand.
Oublier une puissance absente. Pour diviser \(x^3-2x^2-x+5\) par \(x-2\), on trouve d'abord \(x^2\), et le reste \(-x+5\) n'a pas de terme en \(x^2\) : le terme suivant du quotient est \(-1\), non \(-x\). Le quotient est \(x^2-1\) et le reste 3 (c'est bien la valeur en 2 : \(8-8-2+5=3\)).
Se tromper de signe en soustrayant. Soustraire \(2x^3-6x^2\) change le signe des deux termes : \(-3x^2-(-6x^2)=+3x^2\). C'est la source d'erreur la plus fréquente.
S'arrêter trop tôt ou trop tard. On continue tant que le degré du reste est supérieur ou égal à celui du diviseur, et l'on s'arrête dès qu'il est strictement inférieur.
Oublier la condition dans une fraction. L'écriture \(F(x)=2x-1+\dfrac{1}{x+2}\) n'a de sens que pour \(x\neq -2\), comme la fraction de départ.
Signe du trinôme et inéquations du second degré
Si \(\Delta > 0\) (racines \(x_1<x_2\)) : \(P(x)\) est du signe de \(a\) à l'extérieur de \([x_1;x_2]\), du signe de \(-a\) entre les racines.
Si \(\Delta = 0\) : \(P(x)\) est du signe de \(a\) partout, sauf en \(x_0\) où il s'annule.
Si \(\Delta < 0\) : \(P(x)\) est du signe de \(a\) pour tout réel \(x\) (jamais nul).
Règle mnémotechnique du Bac : « signe de \(a\), sauf entre les racines ».
Réservé aux abonnés Premium et Élève-Classe.
Voir les offresRéservé aux abonnés Premium et Élève-Classe.
Voir les offresFigure interactive — Parabole \(y=ax^2+bx+c\)
Observez comment le signe du discriminant détermine le nombre de points d'intersection avec l'axe des abscisses.
Résumé
\(A=BQ+R\) avec \(R=0\) ou \(\deg R\lt \deg B\) ; \(Q\) et \(R\) sont uniques.
Diviser les termes de plus haut degré, multiplier le diviseur, soustraire, recommencer.
Le reste est \(A(a)\) ; \(A\) est divisible par \(x-a\) si et seulement si \(A(a)=0\).
\(\dfrac{A(x)}{B(x)}=Q(x)+\dfrac{R(x)}{B(x)}\) là où \(B(x)\neq 0\).
Réservé aux abonnés Premium et Élève-Classe.
Voir les offresRéservé aux abonnés Premium et Élève-Classe.
Voir les offresSujet type devoir
Réservé aux abonnés Premium et Élève-Classe.
Voir les offresRéservé aux abonnés Premium et Élève-Classe.
Voir les offres