Seconde C · Leçon 13
Utilisation des symétries et translations
Ce que dit le programme officiel (7 points)
- Utilisation des symétries et translations
- Propriétés des symétries orthogonales
- Propriétés des symétries centrales
- Propriétés des translations
- Démontrer une propriété en utilisant une symétrie ou une translation
- Construire une figure en utilisant une symétrie ou une translation
- Déterminer un ensemble de points en utilisant une symétrie ou une translation
Source : Programme éducatif Seconde C, DPFC, version CND 0923
Translation, symétrie centrale et symétrie orthogonale
Une translation, une symétrie centrale ou une symétrie orthogonale déplace une figure sans la déformer. Cette idée simple devient un outil de démonstration : pour prouver que deux segments ont la même longueur, que deux droites sont parallèles ou qu'un point est le milieu d'un segment, il suffit souvent de trouver la transformation qui envoie une partie de la figure sur l'autre. Dans un repère, ces transformations se traduisent aussi par des formules très simples sur les coordonnées.
- La translation de vecteur \(\vec u\) envoie \(M\) sur \(M'\) tel que \(\overrightarrow{MM'}=\vec u\). Si \(\vec u(a\,;b)\) et \(M(x\,;y)\), alors \(M'(x+a\,;y+b)\).
- La symétrie centrale de centre \(\Omega\) envoie \(M\) sur \(M'\) tel que \(\Omega\) soit le milieu de \([MM']\). Si \(\Omega(a\,;b)\), alors \(M'(2a-x\,;2b-y)\).
- La symétrie orthogonale d'axe \(\Delta\) envoie \(M\) sur \(M'\) tel que \(\Delta\) soit la médiatrice de \([MM']\) (et \(M'=M\) si \(M\in\Delta\)). Axe \((Ox)\) : \(M'(x\,;-y)\) ; axe \((Oy)\) : \(M'(-x\,;y)\) ; droite d'équation \(y=x\) : \(M'(y\,;x)\).
Ces trois transformations conservent les distances, l'alignement, les milieux, le parallélisme, l'orthogonalité et les angles géométriques. En conséquence :
- l'image d'un segment \([AB]\) est le segment \([A'B']\), de même longueur ;
- l'image d'une droite est une droite ; pour une translation ou une symétrie centrale, cette droite image est parallèle à la droite de départ ;
- l'image d'un cercle de centre \(C\) et de rayon \(r\) est le cercle de centre \(C'\) et de même rayon \(r\) ;
- une droite qui passe par le centre d'une symétrie centrale est sa propre image (droite globalement invariante).
- Repère deux parties de la figure qui « se correspondent » (même forme, même taille).
- Cherche la transformation qui envoie l'une sur l'autre : un milieu commun suggère une symétrie centrale, deux vecteurs égaux une translation, une médiatrice une symétrie orthogonale.
- Justifie l'image de chaque point utile à partir de la définition (milieu, vecteur, médiatrice).
- Conclus avec une propriété de conservation : longueurs égales, droites parallèles, milieu conservé.
Dans un repère, remplace les étapes 2 et 3 par un calcul de coordonnées avec les formules de la définition.
Énoncé : Dans un repère orthonormé, on donne \(A(1\,;2)\), \(B(4\,;3)\) et \(\vec u(-2\,;1)\). Détermine l'image de \(A\) et de \(B\) par la translation de vecteur \(\vec u\), l'image de \(A\) par la symétrie de centre \(\Omega(2\,;0)\), puis l'image de \(B\) par la symétrie d'axe \((Ox)\).
Solution : Par la translation : \(A'(1-2\,;2+1)=(-1\,;3)\) et \(B'(4-2\,;3+1)=(2\,;4)\). On contrôle : \(\overrightarrow{AB}(3\,;1)\) et \(\overrightarrow{A'B'}(3\,;1)\) sont égaux, donc \(A'B'=AB\) et \((A'B')\parallel(AB)\).
Par la symétrie de centre \(\Omega(2\,;0)\) : \(A_1(2\times2-1\,;2\times0-2)=(3\,;-2)\). Contrôle : le milieu de \([AA_1]\) est \(\left(\dfrac{1+3}2\,;\dfrac{2-2}2\right)=(2\,;0)=\Omega\).
Par la symétrie d'axe \((Ox)\) : \(B_2(4\,;-3)\).
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Voir les offresTranslation d’un triangle de vecteur \(\vec u(3\,;1)\)
Chaque point du triangle \(ABC\) est déplacé du même vecteur \(\vec u\) : les trois flèches sont parallèles, de même sens et de même longueur, et le triangle image \(A'B'C'\) est superposable au triangle de départ.
Une translation et une symétrie centrale envoient toute droite sur une droite parallèle. Ce n'est pas vrai pour une symétrie orthogonale : par la symétrie d'axe \((Ox)\), la droite d'équation \(y=x\) a pour image la droite d'équation \(y=-x\), qui lui est perpendiculaire. N'utilise donc jamais « droite image parallèle » avec une symétrie orthogonale.
Deuxième erreur fréquente : écrire \(M'(x-a\,;y-b)\) pour la translation de vecteur \(\vec u(a\,;b)\). On ajoute les coordonnées du vecteur, car \(\overrightarrow{MM'}=\vec u\) donne \(x'-x=a\) et \(y'-y=b\).
Après un calcul d'image, vérifie la définition : pour une translation, recalcule \(\overrightarrow{MM'}\) ; pour une symétrie centrale, calcule le milieu de \([MM']\) ; pour une symétrie orthogonale, vérifie que le milieu de \([MM']\) est sur l'axe et que \((MM')\) est perpendiculaire à l'axe. Ce contrôle prend quelques secondes et évite la plupart des erreurs de signe.
La translation de vecteur \(\vec u\) envoie \(M\) sur \(M'\) tel que \(\overrightarrow{MM'}=\vec u\). La symétrie centrale de centre \(O\) envoie \(M\) sur \(M'\) tel que \(O\) soit le milieu de \([MM']\). La symétrie orthogonale (ou axiale) d'axe \(d\) envoie \(M\) sur \(M'\) tel que \(d\) soit la médiatrice de \([MM']\).