Utilisation des symétries et translations

Dans un repère orthonormé, on donne les points \(A(-1\,;2)\), \(B(3\,;4)\) et \(C(2\,;-1)\). On note \(t\) la translation de vecteur \(\overrightarrow{AB}\).

1) Calcule les coordonnées du vecteur \(\overrightarrow{AB}\).

2) Détermine les coordonnées du point \(C'\), image de \(C\) par \(t\).

3) Quelle est la nature du quadrilatère \(ABC'C\) ? Justifie.

4) Détermine les coordonnées du point \(D\), symétrique de \(A\) par rapport à \(B\).

5) Détermine les coordonnées de l'image de \(C\) par la symétrie d'axe \((Ox)\).

Dans un repère orthonormé, on considère \(M(3\,;-2)\), \(A(1\,;0)\) et \(B(3\,;2)\). On note \(\Delta\) la droite d'équation \(y=x\).

1) Détermine l'image de \(M\) par la symétrie d'axe \((Oy)\).

2) Détermine l'image de \(M\) par la symétrie d'axe \(\Delta\).

3) Détermine les images \(A'\) et \(B'\) de \(A\) et \(B\) par la symétrie d'axe \((Oy)\).

4) Calcule \(AB\) et \(A'B'\). Quelle propriété retrouves-tu ?

\(ABC\) est un triangle et \(I\) est le milieu de \([BC]\). On note \(s\) la symétrie de centre \(I\) et \(D=s(A)\).

1) Justifie que \(s(B)=C\).

2) Déduis-en l'image du segment \([AB]\) par \(s\), puis compare \(AB\) et \(DC\) et la position des droites \((AB)\) et \((DC)\).

3) Démontre que \(ABDC\) est un parallélogramme.

4) Soit \(J\) le milieu de \([AB]\) et \(K=s(J)\). Démontre que \(K\) est le milieu de \([DC]\) et que \(I\) est le milieu de \([JK]\).

Une route rectiligne est représentée par l'axe des abscisses d'un repère orthonormé (unité : le kilomètre). Deux villages sont situés du même côté de la route, en \(A(1\,;2)\) et \(B(7\,;4)\). On veut placer une pompe \(P\) au bord de la route, puis poser un tuyau de \(A\) à \(P\) et de \(P\) à \(B\), de longueur totale \(AP+PB\) la plus petite possible.

1) Détermine les coordonnées de \(A'\), symétrique de \(A\) par rapport à l'axe des abscisses.

2) Justifie que, pour tout point \(P\) de l'axe des abscisses, \(PA=PA'\).

3) Déduis-en que \(AP+PB\ge A'B\), et précise dans quel cas il y a égalité.

4) Détermine une équation de la droite \((A'B)\), puis les coordonnées du point \(P\) où placer la pompe.

5) Calcule la longueur minimale du tuyau, au mètre près.

Dans un repère orthonormé, on note \(\Delta_1\) la droite d'équation \(x=1\), \(\Delta_2\) la droite d'équation \(x=4\), \(s_1\) et \(s_2\) les symétries orthogonales d'axes \(\Delta_1\) et \(\Delta_2\). Soit \(M(x\,;y)\) un point quelconque.

1) Montre que \(s_1(M)\) a pour coordonnées \((2-x\,;y)\), et donne de même les coordonnées de \(s_2(M)\).

2) On pose \(M'=s_1(M)\) et \(M''=s_2(M')\). Calcule les coordonnées de \(M''\).

3) Quelle transformation envoie directement \(M\) sur \(M''\) ? Compare son vecteur à la distance entre les deux axes.

4) Calcule de même l'image de \(M\) quand on applique d'abord \(s_2\) puis \(s_1\). L'ordre compte-t-il ?

5) On donne \(A(1\,;1)\) et \(B(3\,;2)\). Montre que la symétrie de centre \(A\) suivie de la symétrie de centre \(B\) est une translation dont on précisera le vecteur.

Soit \(ABC\) un triangle. On note \(I\) le milieu de \([AB]\) et \(J\) le milieu de \([AC]\). On note \(D\) l'image de \(C\) par la symétrie centrale de centre \(I\), et \(E\) l'image de \(B\) par la symétrie centrale de centre \(J\).

1) Démontre que le quadrilatère \(ACBD\) est un parallélogramme et déduis-en que \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{CB}\).

2) Démontre de même que \(ABCE\) est un parallélogramme et que \(\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{BC}\).

3) Démontre que \(A\) est le milieu du segment \([DE]\), puis que \(DE=2BC\).

4) Dans un repère orthonormé, on donne \(A(1;2)\), \(B(5;0)\) et \(C(3;6)\). Calcule les coordonnées de \(I\), \(J\), \(D\) et \(E\), puis vérifie par le calcul les résultats de la question 3.

5) Démontre que la translation de vecteur \(\overrightarrow{BC}\) transforme \(D\) en \(A\) et \(A\) en \(E\). Interprète ce résultat pour la position de la droite \((DE)\) par rapport à la droite \((BC)\).

Une rivière aux rives rectilignes et parallèles sépare deux villages. Dans un repère orthonormé où l'unité représente 100 m, la rive nord est la droite d'équation \(y=2\), la rive sud est l'axe des abscisses, le village \(A(1;6)\) est au nord et le village \(B(9;-4)\) est au sud. On veut construire un pont \([PQ]\) perpendiculaire aux rives, avec \(P(x;2)\) sur la rive nord et \(Q(x;0)\) sur la rive sud. Un habitant de \(A\) va à \(B\) en suivant le trajet \(A\to P\to Q\to B\) en ligne droite sur chaque portion.

1) Justifie que, quelle que soit la position du pont, \(\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{v}\) avec \(\overrightarrow{v}(0;-2)\). On note \(A'\) l'image de \(A\) par la translation de vecteur \(\overrightarrow{v}\) : calcule les coordonnées de \(A'\).

2) Démontre que \(APQA'\) est un parallélogramme et déduis-en que la longueur du trajet est \(L=A'Q+QB+2\).

3) Justifie que \(L\geq A'B+2\) et précise à quelle condition sur le point \(Q\) il y a égalité.

4) En utilisant la colinéarité des vecteurs \(\overrightarrow{A'Q}\) et \(\overrightarrow{A'B}\), détermine la position du pont qui rend le trajet le plus court.

5) Calcule la longueur minimale du trajet en mètres (arrondie au mètre), puis compare-la avec celle du trajet obtenu si le pont est construit juste en face du village \(A\), c'est-à-dire pour \(x=1\).

Dans un repère orthonormé, on considère les points \(E(1;0)\), \(F(4;6)\) et \(M(8;-1)\). On note \(\Delta\) la droite \((EF)\), \(s\) la symétrie orthogonale d'axe \(\Delta\) et \(M'\) l'image de \(M\) par \(s\). On pose \(\overrightarrow{u}(1;2)\).

1) Démontre que \(\overrightarrow{u}\) est un vecteur directeur de \(\Delta\). Que peux-tu dire des images de \(E\) et de \(F\) par \(s\) ? Justifie.

2) Soit \(H(2;2)\). Démontre que \(H\) appartient à \(\Delta\) et que les vecteurs \(\overrightarrow{HM}\) et \(\overrightarrow{u}\) sont orthogonaux. Déduis-en que \(H\) est le milieu de \([MM']\).

3) Calcule les coordonnées du point \(M'\).

4) Calcule les distances \(EM\), \(EM'\), \(FM\) et \(FM'\). Explique pourquoi ces égalités étaient prévisibles.

5) À l'aide du produit scalaire, calcule \(\cos\widehat{MEH}\) et \(\cos\widehat{M'EH}\). Interprète le résultat pour la droite \(\Delta\) et l'angle \(\widehat{MEM'}\).

Soit \([AB]\) un segment de longueur 4 cm, \(O\) son milieu et \((\mathcal{C})\) le cercle de diamètre \([AB]\). On note \(t\) la translation de vecteur \(\overrightarrow{AB}\) et \(B'=t(B)\). À tout point \(M\) de \((\mathcal{C})\), distinct de \(A\) et de \(B\), on associe le point \(N=t(M)\).

1) Démontre que le quadrilatère \(ABNM\) est un parallélogramme et que \(\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{AM}\).

2) Détermine l'ensemble \((\mathcal{C}')\) décrit par le point \(N\) lorsque \(M\) décrit \((\mathcal{C})\) privé de \(A\) et \(B\) : précise son centre, son rayon, et démontre que \([BB']\) en est un diamètre.

3) Justifie que les droites \((MA)\) et \((MB)\) sont perpendiculaires, puis démontre que \((NB)\) est perpendiculaire à \((MB)\).

4) Dans cette question, \(AM=2\) cm. Calcule \(MB\), \(BN\) et \(MN\), vérifie que le triangle \(MBN\) est rectangle en \(B\) et calcule son aire.

5) Toujours avec \(AM=2\) cm, calcule \(\cos\widehat{MAB}\) et déduis-en la mesure de l'angle \(\widehat{MAB}\). Démontre que le triangle \(BNB'\) est l'image du triangle \(AMB\) par \(t\) et déduis-en la mesure de l'angle \(\widehat{NBB'}\).