Statistique à une variable

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

Une coopérative a relevé l'âge de $20$ de ses membres :

1) L'effectif total de cette série est :
a) $20$   b) $5$   c) $150$   d) $8$

2) Le mode de cette série est :
a) $30$   b) $8$   c) $35$   d) $20$

3) La moyenne de cette série vaut (arrondie) :
a) $29{,}5$   b) $30$   c) $28$   d) $32$

4) La médiane de cette série est :
a) $30$   b) $29{,}5$   c) $25$   d) $27{,}5$

Exercice 2 — Situation d'intégration

Le président d'une association de producteurs de mil dans la région du Sahel a relevé les rendements (en kg par are) de $15$ parcelles pilotes : $40, 45, 45, 50, 50, 50, 55, 55, 55, 55, 60, 60, 65, 70, 75$.

Consigne : 1) Construire le tableau des effectifs et l'effectif cumulé croissant. 2) Calculer le rendement moyen des $15$ parcelles. 3) Déterminer la médiane de cette série. 4) Le président qualifie de "bon rendement" toute parcelle au-dessus de la moyenne. Combien de parcelles sont dans ce cas ?

Exercice supplémentaire. Un vétérinaire relève le nombre de vaccins administrés par jour sur $20$ jours : $3$ jours à $2$ vaccins, $5$ jours à $4$ vaccins, $8$ jours à $5$ vaccins, $4$ jours à $8$ vaccins.

1) Vérifier que l'effectif total est bien $20$.
2) Calculer la moyenne.
3) Déterminer la médiane de cette série.

Problème. Un enseignant de mathématiques d'un lycée a noté sur $20$ les résultats de $22$ élèves à une interrogation : $6, 8, 8, 9, 10, 10, 10, 11, 12, 12, 12, 12, 13, 13, 14, 14, 15, 15, 16, 17, 18, 19$.

Partie A.
1) Quel est le mode de cette série ?
2) Calculer la moyenne de la classe (arrondir au dixième).

Partie B.
3) Déterminer la médiane de cette série ($22$ valeurs : moyenne des $11^e$ et $12^e$ valeurs triées).
4) L'enseignant attribue une mention "Très bien" aux notes strictement supérieures à $15$. Combien d'élèves l'obtiennent, et quel pourcentage de la classe cela représente-t-il (arrondi à l'entier) ?

On a relevé la durée \(t\) (en minutes) du trajet domicile-lycée de 50 élèves. Les résultats sont regroupés dans le tableau ci-dessous.

1) Dresse le tableau des centres des classes, des effectifs cumulés croissants (ECC) et des effectifs cumulés décroissants (ECD).

2) Détermine la classe modale et calcule la durée moyenne \(\overline{t}\).

3) Calcule la médiane \(Me\) par interpolation linéaire sur le polygone des ECC. Justifie ensuite que les polygones des ECC et des ECD se coupent au point d'abscisse \(Me\) et d'ordonnée 25.

4) Calcule l'écart moyen, la variance et l'écart-type de cette série.

5) Dans un autre lycée, la durée moyenne est aussi de 25 min, avec un écart-type de 4 min. Compare les deux séries et interprète.

On a demandé à 20 élèves d'une classe combien d'heures ils consacrent à leurs révisions chaque semaine. Deux effectifs, notés \(x\) et \(y\), ont été effacés du tableau.

On sait que la moyenne de la série est égale à 12 heures.

1) Démontre que \(x\) et \(y\) vérifient le système \(x+y=8\) et \(5x+7y=46\), puis détermine \(x\) et \(y\).

2) Détermine le mode et la médiane de la série.

3) Calcule la variance et l'écart-type de la série.

4) Calcule l'écart moyen, puis le pourcentage d'élèves dont le nombre d'heures appartient à l'intervalle \([\overline{x}-\sigma;\overline{x}+\sigma]\).

5) Au trimestre suivant, chaque élève révise 2 heures de plus par semaine. Démontre que la moyenne augmente de 2 heures et que l'écart-type ne change pas.

On considère la série statistique formée des cinq valeurs 5, 7, 8, 9 et \(x\), où \(x\) est un nombre réel. On note \(m(x)\) sa moyenne et \(V(x)\) sa variance.

1) Exprime \(m(x)\) en fonction de \(x\). Détermine \(x\) pour que la moyenne soit égale à 8 et vérifie que la médiane vaut alors aussi 8.

2) Dans le cas de la question 1, calcule l'écart moyen, la variance et l'écart-type de la série.

3) En utilisant la formule \(V=\dfrac{1}{N}\sum x_i^2-\overline{x}^2\), démontre que pour tout réel \(x\), \(V(x)=\dfrac{4x^2-58x+254}{25}\).

4) Démontre que \(4x^2-58x+254=4\left(x-\dfrac{29}{4}\right)^2+\dfrac{175}{4}\). Déduis-en la valeur de \(x\) pour laquelle la variance est minimale et la valeur de ce minimum.

5) Interprète la valeur de \(x\) trouvée en la comparant à la moyenne des quatre autres valeurs, puis vérifie le minimum en calculant directement la variance de la série obtenue.

Une coopérative agricole compte 40 parcelles, classées selon leur superficie en hectares dans les classes \([0;2[\), \([2;4[\), \([4;6[\) et \([6;8[\). Sur le diagramme circulaire de cette série, les secteurs des classes \([0;2[\), \([4;6[\) et \([6;8[\) mesurent respectivement 54°, 162° et 18°.

1) Détermine l'effectif de chaque classe ainsi que la mesure du secteur de la classe \([2;4[\).

2) Calcule les fréquences (en pourcentage) et les fréquences cumulées croissantes. Donne la classe modale.

3) Justifie que les classes ont la même amplitude et explique comment construire l'histogramme. Détermine ensuite la médiane de la série et interprète-la.

4) Calcule la superficie moyenne \(\overline{x}\), la variance et l'écart-type de la série.

5) Estime la superficie totale cultivée par la coopérative. Une seconde coopérative a la même superficie moyenne, mais un écart-type de 0,9 ha. Compare les deux coopératives.