Rotations

Dans un repère orthonormé d'origine \(O\), on admet que le quart de tour direct de centre \(O\) (rotation de centre \(O\) et d'angle \(90°\) dans le sens direct) envoie le point \(M(x\,;y)\) sur le point \(M'(-y\,;x)\). On donne \(A(3\,;1)\) et \(B(1\,;4)\).

1) Détermine les coordonnées des images \(A'\) et \(B'\) de \(A\) et \(B\).

2) Calcule \(OA\) et \(OA'\).

3) Calcule \(AA'^2\) et montre que le triangle \(AOA'\) est rectangle en \(O\).

4) Calcule \(AB\) et \(A'B'\). Quelle propriété de la rotation retrouves-tu ?

\(ABCD\) est un carré de centre \(O\), ses sommets étant nommés dans le sens direct. On note \(r\) la rotation de centre \(O\) et d'angle \(90°\) (sens direct) qui envoie \(A\) sur \(B\).

1) Détermine les images de \(B\), \(C\) et \(D\) par \(r\), en justifiant.

2) Détermine l'image du segment \([AC]\). Déduis-en que \(AC=BD\) et que les droites \((AC)\) et \((BD)\) sont perpendiculaires.

3) \(I\) est le milieu de \([AB]\) et \(J\) celui de \([BC]\). Détermine \(r(I)\) et déduis-en la nature du triangle \(IOJ\).

\(ABC\) est un triangle. À l'extérieur de ce triangle, on construit les triangles équilatéraux \(ABD\) et \(ACE\).

1) Justifie qu'il existe une rotation \(r\) de centre \(A\) et d'angle \(60°\) qui envoie \(D\) sur \(B\).

2) Justifie que, pour la même rotation \(r\), l'image de \(C\) est \(E\).

3) Déduis-en l'image du segment \([DC]\) et démontre que \(DC=BE\).

Dans un repère orthonormé, on considère le point \(\Omega(1\,;2)\) et la rotation \(r\) de centre \(\Omega\) et d'angle \(90°\) dans le sens direct. On admet que le quart de tour direct transforme un vecteur de coordonnées \((a\,;b)\) en un vecteur de coordonnées \((-b\,;a)\).

1) Montre que l'image \(M'(x'\,;y')\) de \(M(x\,;y)\) vérifie \(x'=1-(y-2)\) et \(y'=2+(x-1)\).

2) Calcule les coordonnées des images \(A'\) et \(B'\) de \(A(4\,;2)\) et \(B(3\,;5)\).

3) Vérifie que \(\Omega B'=\Omega B\), puis que \(A'B'=AB\).

4) Détermine les coordonnées du point \(C\) dont l'image par \(r\) est l'origine \(O(0\,;0)\).

Dans un repère orthonormé direct, on donne \(A(1;0)\), \(B(2;4)\), \(A'(4;-1)\) et \(B'(0;0)\). On admet que l'image d'un vecteur \(\overrightarrow{w}(a;b)\) par un quart de tour direct est le vecteur \((-b;a)\), et qu'il existe une unique rotation \(r\) d'angle \(\frac{\pi}{2}\) telle que \(r(A)=A'\) et \(r(B)=B'\).

1) Calcule les coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\) et de \(\overrightarrow{A'B'}\). Démontre que \(A'B'=AB\) et que \(\overrightarrow{A'B'}\) est l'image de \(\overrightarrow{AB}\) par un quart de tour direct.

2) Justifie que le centre \(\Omega\) de \(r\) vérifie \(\Omega A=\Omega A'\) et \(\Omega B=\Omega B'\). En traduisant ces égalités par des équations, détermine les coordonnées de \(\Omega\).

3) Vérifie que \(\overrightarrow{\Omega A'}\) est l'image de \(\overrightarrow{\Omega A}\) par un quart de tour direct, puis que \(\overrightarrow{\Omega A}\cdot\overrightarrow{\Omega A'}=0\).

4) Donne les éléments caractéristiques de la rotation réciproque \(r^{-1}\). Calcule les coordonnées du point \(D\) tel que \(r(D)=C\), avec \(C(5;4)\).

5) Détermine la nature de la transformation \(r\circ r\). Calcule l'image de \(A\) par \(r\circ r\) de deux façons différentes et interprète.

Dans un champ, une rampe d'irrigation de 60 m tourne autour d'un pivot \(O\), dans le sens direct, en balayant un angle de \(\frac{\pi}{3}\) radian par heure. Dans un repère orthonormé d'origine \(O\) (unité : le mètre), l'extrémité de la rampe est au départ en \(A(60;0)\). On note \(r\) la rotation de centre \(O\) et d'angle \(\frac{\pi}{3}\), \(A_1=r(A)\) la position de l'extrémité après une heure, \(A_2=r(A_1)\) après deux heures, \(A_3=r(A_2)\) après trois heures.

1) Calcule les coordonnées de \(A_1\) et démontre que le triangle \(OAA_1\) est équilatéral.

2) Justifie que \(A_2\) est l'image de \(A\) par une rotation dont tu préciseras l'angle, puis calcule les coordonnées de \(A_2\) et de \(A_3\). Quelle transformation fait passer de \(A\) à \(A_3\) ?

3) Un manguier est planté au point \(T(-20\sqrt{3};-20)\). Démontre qu'il est sous la rampe et détermine au bout de combien de temps la rampe passe pour la première fois au-dessus de lui.

4) Calcule l'aire de la portion de champ balayée par la rampe en une heure, puis l'aire totale arrosée en un tour complet (valeurs exactes et arrondies au m²).

5) En fin de deuxième heure, l'extrémité est en \(A_2\). Pour ranger la rampe, on veut la ramener en \(A\) en la faisant tourner en sens inverse. Exprime cette transformation à l'aide de la réciproque de \(r\), donne son angle et vérifie qu'elle transforme bien \(A_2\) en \(A\).

Soient \(ABCD\) et \(AEFG\) deux carrés directs de sommet commun \(A\) (c'est-à-dire \(\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}\right)=\frac{\pi}{2}\) et \(\left(\overrightarrow{AE},\overrightarrow{AG}\right)=\frac{\pi}{2}\)). On note \(r\) la rotation de centre \(A\) et d'angle \(\frac{\pi}{2}\).

1) Démontre que \(r(B)=D\) et \(r(E)=G\).

2) Déduis-en que \(BE=DG\) et que les droites \((BE)\) et \((DG)\) sont perpendiculaires.

3) Dans un repère orthonormé direct, \(A(0;0)\), \(B(4;0)\), \(D(0;4)\) et \(E(2;3)\). Calcule les coordonnées de \(C\), \(G\) et \(F\), puis vérifie par le calcul les résultats de la question 2.

4) Détermine la nature de \(r\circ r\), puis l'image de \(E\) par \(r\circ r\) de deux manières.

5) On note \(I\) le point d'intersection des droites \((BE)\) et \((DG)\). Démontre que \(I\) appartient au cercle circonscrit au carré \(ABCD\).

Dans un repère orthonormé direct d'origine \(A\), on considère le cercle \((\mathcal{C})\) de centre \(O(4;0)\) et de rayon 2. À tout point \(M\) de \((\mathcal{C})\), on associe le point \(N\) tel que le triangle \(AMN\) soit équilatéral direct, c'est-à-dire \(AN=AM\) et \(\left(\overrightarrow{AM},\overrightarrow{AN}\right)=\frac{\pi}{3}\). On note \(r\) la rotation de centre \(A\) et d'angle \(\frac{\pi}{3}\).

1) Justifie que \(N=r(M)\).

2) Démontre que, lorsque \(M\) décrit \((\mathcal{C})\), le point \(N\) décrit un cercle \((\mathcal{C}')\) dont tu préciseras le rayon et le centre \(O'\) (coordonnées exactes).

3) Démontre que le triangle \(AOO'\) est équilatéral et calcule \(OO'\). Déduis-en que les cercles \((\mathcal{C})\) et \((\mathcal{C}')\) ont un seul point commun \(K\), dont tu donneras les coordonnées.

4) En utilisant la rotation réciproque \(r^{-1}\), détermine le point \(M_0\) de \((\mathcal{C})\) pour lequel \(N=K\). Vérifie que \(M_0\) est bien sur \((\mathcal{C})\) et interprète la position des points \(M_0\) et \(K\).

5) Détermine les valeurs minimale et maximale de \(AM\) lorsque \(M\) décrit \((\mathcal{C})\), puis encadre l'aire du triangle \(AMN\).