Produit scalaire

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) Soit $\vec u(3;-4)$ et $\vec v(2;5)$. $\vec u\cdot\vec v$ vaut :
a) $-14$   b) $6$   c) $26$   d) $-6$

2) $\|\vec u\|$ pour $\vec u(3;-4)$ vaut :
a) $5$   b) $7$   c) $1$   d) $25$

3) Deux vecteurs $\vec u,\vec v$ sont orthogonaux si et seulement si :
a) $\vec u\cdot\vec v=0$   b) $\det(\vec u,\vec v)=0$   c) $\|\vec u\|=\|\vec v\|$   d) $\vec u=-\vec v$

4) Pour $A(2;1)$, $B(6;4)$, la distance $AB$ vaut :
a) $5$   b) $4$   c) $3$   d) $7$

Exercice 2 — Situation d'intégration

Un architecte vérifie que l'angle d'un mur de fondation est bien droit avant la pose des fondations. Les trois coins du mur sont repérés, dans un repère où les distances sont en mètres, par $A(0;0)$, $B(8;0)$, $C(8;6)$.

Consigne : 1) Calculer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{BA}$ et $\overrightarrow{BC}$. 2) Calculer $\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}$ et en déduire si l'angle en $B$ est droit. 3) Calculer les longueurs $AB$, $BC$ et $AC$, et vérifier la cohérence avec le théorème de Pythagore.

Exercice supplémentaire. Un topographe mesure un triangle $ABC$ avec $AB=6$, $AC=8$ et l'angle $\widehat{BAC}=60°$.

1) Calculer le produit scalaire $\vec{AB}\cdot\vec{AC}$.
2) Ce triangle est-il rectangle en $A$ ?
3) Calculer $BC$ à l'aide de $BC^2=AB^2+AC^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot\cos(\widehat{BAC})$.

Problème.

Partie A.
1) Déterminer les coordonnées des points d'intersection du cercle d'équation $x^2+y^2=25$ et de la droite d'équation $y=x-1$.

Partie B. On note $A$ et $B$ les deux points trouvés (avec $A$ d'abscisse positive).
2) Déterminer les coordonnées du barycentre $G$ de $(A,3)$ et $(B,1)$.
3) Vérifier que $G$ appartient à la droite $(AB)$.

Le plan est muni d'un repère orthonormé \((O;\vec{i},\vec{j})\). On considère les points \(A(1;1)\), \(B(5;3)\) et \(C(2;4)\).

1) Calcule les coordonnées des vecteurs \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{BC}\), puis les longueurs \(AB\), \(AC\) et \(BC\).

2) Calcule \(\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}\). Déduis-en, avec la question 1, la nature précise du triangle ABC.

3) Calcule \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\), puis \(\cos\widehat{BAC}\). Déduis-en la mesure de l'angle \(\widehat{BAC}\) et vérifie la cohérence avec la question 2.

4) Démontre qu'un point \(M(x;y)\) appartient au cercle \(\mathcal{C}\) de diamètre \([AB]\) si et seulement si \(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0\). Déduis-en une équation cartésienne de \(\mathcal{C}\), son centre et son rayon, puis justifie par le calcul que \(C\in\mathcal{C}\).

5) On note \(H\) le projeté orthogonal de \(C\) sur la droite \((AB)\). En utilisant \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\), calcule \(AH\) et identifie le point \(H\). Calcule alors \(CH\) et l'aire du triangle ABC de deux façons différentes.

Un agriculteur possède un champ triangulaire ABC. Il a mesuré \(AB=50\) m, \(AC=80\) m et l'angle \(\widehat{BAC}=60^{\circ}\). Un puits est situé au sommet \(A\).

1) Calcule la longueur \(BC\) à l'aide du théorème d'Al Kashi.

2) Calcule \(\cos\widehat{ABC}\) et \(\cos\widehat{ACB}\), puis donne une mesure approchée au dixième de degré de ces deux angles. Vérifie la somme des angles.

3) Calcule \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\). On note \(H\) le projeté orthogonal de \(B\) sur \((AC)\). Justifie que \(AH=25\) m, puis calcule \(BH\) et l'aire exacte du champ.

4) L'agriculteur veut poser une canalisation droite du puits \(A\) jusqu'au milieu \(M\) du côté \([BC]\). Démontre que \(\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\), puis calcule \(AM^2\) et une valeur approchée de \(AM\) au centimètre près.

5) Le mètre de canalisation coûte 2 000 F et on achète un nombre entier de mètres. Quel est le coût de la canalisation ? Interprète.

ABCD est un parallélogramme tel que \(AB=6\), \(AD=4\) et \(\widehat{BAD}=60^{\circ}\).

1) Calcule \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}\).

2) Exprime \(\overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{BD}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AD}\). Déduis-en \(AC^2\) et \(BD^2\), puis les longueurs exactes \(AC\) et \(BD\).

3) Démontre que, dans tout parallélogramme ABCD, \(AC^2+BD^2=2\left(AB^2+AD^2\right)\). Vérifie cette égalité avec les valeurs trouvées.

4) Démontre que \(\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}=AD^2-AB^2\) et calcule sa valeur ici. Justifie qu'un parallélogramme a des diagonales perpendiculaires si et seulement si c'est un losange.

5) Déduis des questions précédentes le cosinus de l'angle \(\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BD}\right)\), puis une mesure approchée au dixième de degré de l'angle aigu formé par les deux diagonales.

Dans un repère orthonormé, on considère les points \(A(-1;2)\) et \(B(5;2)\), et \(I\) le milieu de \([AB]\). Pour un réel \(k\), on note \(E_k\) l'ensemble des points \(M\) du plan tels que \(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=k\).

1) Démontre que, pour tout point \(M\), \(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=MI^2-IA^2\). Calcule les coordonnées de \(I\) et la longueur \(IA\).

2) Déduis-en la nature de \(E_{16}\) et une équation cartésienne de cet ensemble. Pour quelles valeurs de \(k\) l'ensemble \(E_k\) est-il non vide ?

3) Détermine les points d'intersection \(P\) et \(Q\) de \(E_{16}\) avec la droite \(D\) d'équation \(y=-1\) (on notera \(P\) celui d'abscisse positive).

4) Vérifie directement, en calculant \(\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}\), que \(P\) appartient bien à \(E_{16}\).

5) Justifie que la tangente en \(P\) au cercle \(E_{16}\) est l'ensemble des points \(M\) tels que \(\overrightarrow{IP}\cdot\overrightarrow{PM}=0\), puis donne une équation cartésienne de cette tangente.