Polynômes et fractions rationnelles

Exercice 2 — Situation d'intégration

Une menuisière découpe, dans une planche, un tableau rectangulaire de largeur $x$ cm et de longueur $(2x-4)$ cm, avec $x>2$ pour que la longueur reste positive. Elle souhaite que l'aire du tableau soit d'au moins $96$ cm².

Consigne : Exprimer l'aire du tableau en fonction de $x$, écrire l'inéquation traduisant la contrainte, la résoudre, et donner l'ensemble des valeurs de $x$ compatibles avec la contrainte $x>2$.

Problème. On considère $Q(x)=2x^2-x-6$.

Partie A. 1) Vérifier que $2$ est racine de $Q$, puis factoriser $Q(x)$.

Partie B. 2) Résoudre l'inéquation $Q(x)\le0$.

Partie C. 3) Donner la forme canonique de $Q$ et en déduire son minimum, ainsi que la valeur de $x$ pour laquelle il est atteint.

Soit \(F(x)=\dfrac{x^2-9}{x^2+x-6}\).

1) Factorise le numérateur et le dénominateur.

2) Déduis-en l'ensemble \(D\) des réels pour lesquels \(F(x)\) existe.

3) Simplifie \(F(x)\) pour \(x\in D\).

4) Résous l'équation \(F(x)=2\).

5) Résous l'inéquation \(F(x)\ge0\).

Soit \(F(x)=\dfrac{2x^2+3x-1}{x+2}\), définie pour \(x\neq-2\).

1) Détermine les réels \(a\), \(b\), \(c\) tels que, pour tout \(x\neq-2\), \(F(x)=ax+b+\dfrac c{x+2}\).

2) Contrôle ta réponse en calculant \(F(0)\) de deux façons.

3) Déduis-en que, pour tout \(x\gt -2\), \(F(x)\gt 2x-1\).

Soit \(P(x)=x^4-5x^2+4\).

1) Calcule \(P(1)\) et \(P(2)\).

2) En posant \(X=x^2\), écris \(P(x)\) comme un polynôme du second degré en \(X\), puis factorise-le.

3) Déduis-en la factorisation de \(P(x)\) en un produit de quatre facteurs du premier degré.

4) Dresse le tableau de signes de \(P(x)\) et résous l'inéquation \(P(x)\le0\).

On considère le polynôme \(P(x)=x^3-2x^2-5x+6\).

1) Vérifie que 1 est un zéro de \(P\). Que peut-on en déduire pour la factorisation de \(P(x)\) ?

2) Détermine, par la méthode des coefficients indéterminés, les réels \(a\), \(b\) et \(c\) tels que \(P(x)=(x-1)(ax^2+bx+c)\) pour tout réel \(x\).

3) On pose \(Q(x)=x^2-x-6\). Écris \(Q(x)\) sous forme canonique, puis factorise \(Q(x)\). Déduis-en une factorisation de \(P(x)\) en produit de trois facteurs du premier degré.

4) Étudie le signe de \(P(x)\) à l'aide d'un tableau de signes, puis résous l'inéquation \(P(x)\le 0\).

5) On considère la fraction rationnelle \(F(x)=\frac{P(x)}{x^2-9}\). Donne son ensemble de définition, puis simplifie \(F(x)\).

6) Par division euclidienne, écris la forme simplifiée de \(F(x)\) sous la forme \(x+\alpha+\frac{\beta}{x+3}\), où \(\alpha\) et \(\beta\) sont des réels à déterminer.

Un artisan dispose d'une tôle carrée de 12 dm de côté. Il découpe à chaque coin un carré de côté \(x\) dm, puis relève les bords pour obtenir une boîte sans couvercle, de base carrée.

1) Justifie que \(x\) appartient à \(]0;6[\) et que le volume de la boîte, en dm³, est \(V(x)=x(12-2x)^2\). Développe \(V(x)\) et donne son degré.

2) Calcule \(V(2)\).

3) Démontre que \(V(x)-128=4\left(x^3-12x^2+36x-32\right)\), puis, à l'aide d'une division euclidienne par \(x-2\), factorise \(x^3-12x^2+36x-32\).

4) Écris \(x^2-10x+16\) sous forme canonique et factorise-le. Déduis-en que \(V(x)-128=4(x-2)^2(x-8)\).

5) Étudie le signe de \(V(x)-128\) sur \(]0;6[\). Démontre que 128 dm³ est le plus grand volume possible et précise pour quelle découpe il est obtenu.

On considère la fraction rationnelle \(F(x)=\frac{2x^2+5x+1}{x+2}\).

1) Donne l'ensemble de définition de \(F\), puis calcule \(F(0)\) et \(F(-1)\).

2) Détermine par identification les réels \(a\), \(b\) et \(c\) tels que, pour tout \(x\neq -2\), \(F(x)=ax+b+\frac{c}{x+2}\). Contrôle ton résultat avec la valeur \(F(0)\).

3) Compare \(F(x)\) et \(2x+1\) selon les valeurs de \(x\), en étudiant le signe de leur différence.

4) Résous l'inéquation \(|F(x)-(2x+1)|\le\frac{1}{100}\), en utilisant les propriétés de la valeur absolue. Interprète.

5) On suppose \(0\le x\le 2\). En encadrant séparément \(2x+1\) et \(\frac{1}{x+2}\), démontre que \(\frac{1}{2}\le F(x)\le\frac{19}{4}\). Cet encadrement peut-il être amélioré ? Justifie.

Dans la cour d'un lycée, on réserve à une vendeuse un espace rectangulaire dont la largeur mesure \(x\) mètres et la longueur \(x+3\) mètres, avec \(x\gt 0\). On note \(A(x)\) son aire en m².

1) Exprime \(A(x)\) en fonction de \(x\), puis écris \(A(x)\) sous forme canonique.

2) La vendeuse demande exactement 10 m². À l'aide de la forme canonique, détermine \(x\) et les dimensions de l'espace.

3) En utilisant la forme canonique, factorise \(A(x)-10\) et \(A(x)-28\).

4) Le règlement impose une aire comprise entre 10 m² et 28 m². Détermine, à l'aide de tableaux de signes, l'ensemble des valeurs de \(x\) possibles.

5) Pour ne pas gêner le passage, le périmètre de l'espace ne doit pas dépasser 20 m. Détermine alors les valeurs de \(x\) qui respectent les deux conditions, puis donne l'aire maximale que la vendeuse peut obtenir. Justifie.