Inéquations dans ℝ × ℝ

Exercice 2 — Situation d'intégration

Une coopérative agricole achète de l'engrais NPK et de l'urée. Un premier lot de $5$ sacs de NPK et $3$ sacs d'urée coûte $116\,000$ F. Un second lot de $3$ sacs de NPK et $6$ sacs d'urée coûte $120\,000$ F.

Consigne : En notant $x$ le prix d'un sac de NPK et $y$ le prix d'un sac d'urée, écrire le système traduisant la situation, puis le résoudre par combinaison linéaire pour déterminer le prix de chaque type de sac.

Problème. Une association organise le transport pour une cérémonie, avec des motos-taxis ($3$ places, $4\,000$ F chacune) et des taxis ($4$ places, $7\,000$ F chacun). Elle dispose d'au plus $6$ motos-taxis et $4$ taxis, doit transporter au moins $30$ personnes, avec un budget maximal de $50\,000$ F. On note $x$ le nombre de motos-taxis et $y$ le nombre de taxis utilisés.

Partie A. 1) Écrire le système de contraintes traduisant la situation.

Partie B. 2) Le couple $(x,y)=(2,4)$ convient-il ? Justifier précisément.

Partie C. 3) Le couple $(x,y)=(6,3)$ convient-il ? Justifier, et calculer le coût total dans ce cas.

Dans un repère orthonormé, on considère la région \(\mathcal{R}\) des points \(M(x\,;y)\) vérifiant le système \(x\ge0\), \(y\ge0\), \(x+2y\le8\) et \(3x+y\le9\).

1) Les points \(A(1\,;2)\) et \(B(3\,;3)\) appartiennent-ils à \(\mathcal{R}\) ?

2) Donne, pour chacune des droites \(x+2y=8\) et \(3x+y=9\), deux points permettant de la tracer.

3) Détermine les coordonnées des sommets de la région \(\mathcal{R}\).

4) Parmi les sommets, lequel donne la plus grande valeur de \(x+y\) ?

Au marché, Awa paie \(2\,550\) F pour \(3\) kg de riz et \(2\) kg de sucre. Son voisin paie \(3\,900\) F pour \(2\) kg de riz et \(5\) kg de sucre, aux mêmes prix. On note \(r\) le prix d'un kilogramme de riz et \(s\) celui d'un kilogramme de sucre, en francs.

1) Traduis l'énoncé par un système de deux équations.

2) Résous ce système par combinaison.

3) Vérifie ta solution dans les deux équations.

4) Awa dispose de \(5\,000\) F et veut acheter autant de kilogrammes de riz que de sucre. Combien de kilogrammes entiers de chaque peut-elle acheter au maximum ?

Un menuisier fabrique des tables et des chaises. Une table demande \(2\) heures de travail et \(3\) planches ; une chaise demande \(1\) heure et \(1\) planche. Chaque semaine, il dispose d'au plus \(16\) heures de travail et de \(21\) planches. Il gagne \(6\,000\) F par table et \(2\,500\) F par chaise. On note \(x\) le nombre de tables et \(y\) le nombre de chaises fabriquées dans la semaine.

1) Écris le système d'inéquations vérifié par \(x\) et \(y\).

2) Représente la région des solutions et détermine ses sommets.

3) Exprime le bénéfice \(B\) en fonction de \(x\) et \(y\), puis calcule-le en chaque sommet.

4) On admet que le bénéfice maximal est atteint en un sommet de la région. Quelle production doit-il choisir ?

Le plan est muni d'un repère orthonormé \((O;I,J)\). On considère le système \((S)\) : \(x+y\le 6\), \(2x-y\ge 0\) et \(y\ge 1\). On note \((D_1)\), \((D_2)\), \((D_3)\) les droites d'équations \(x+y=6\), \(2x-y=0\) et \(y=1\).

1) Les couples \((2;3)\) et \((1;4)\) sont-ils solutions de \((S)\) ? Justifie.

2) Pour chacune des trois inéquations, justifie à l'aide d'un point test quel demi-plan fermé de frontière \((D_1)\), \((D_2)\) ou \((D_3)\) la représente.

3) Démontre que l'ensemble des points solutions est un triangle dont tu calculeras les coordonnées des trois sommets.

4) Calcule l'aire de ce triangle, l'unité d'aire étant celle du repère.

5) On admet que, sur ce triangle, l'expression \(E=x+2y\) atteint sa plus grande valeur en un sommet. Détermine cette plus grande valeur et le point où elle est atteinte.

Une agricultrice dispose de 10 hectares. Elle cultive \(x\) hectares de maïs et \(y\) hectares d'arachide. Un hectare de maïs demande 20 jours de travail et 30 000 F de semences et d'engrais ; un hectare d'arachide demande 40 jours de travail et 15 000 F. Elle dispose d'au plus 320 jours de travail et d'un budget d'au plus 240 000 F. Un hectare rapporte un bénéfice de 100 000 F en maïs et de 120 000 F en arachide.

1) Démontre que les contraintes se traduisent par le système : \(x\ge 0\), \(y\ge 0\), \(x+y\le 10\), \(x+2y\le 16\), \(2x+y\le 16\).

2) Le partage 5 ha de maïs et 5 ha d'arachide est-il possible ? Et 3 ha de maïs et 7 ha d'arachide ? Justifie.

3) Détermine les coordonnées des sommets du polygone des contraintes.

4) Exprime le bénéfice \(B\) en fonction de \(x\) et \(y\), puis, en admettant que le maximum est atteint en un sommet, détermine le partage le plus rentable et le bénéfice correspondant.

5) Pour ce partage, quelles ressources sont entièrement utilisées ? Combien reste-t-il du budget ? Interprète.

Le plan est muni d'un repère orthonormé. On étudie l'ensemble \(\mathcal{E}\) des points \(M(x;y)\) tels que \(|x-1|\le 2\), \(y\ge 0\) et \(y\le x+1\).

1) Démontre que \(|x-1|\le 2\) équivaut à \(-1\le x\le 3\) et interprète cette condition en termes de distance.

2) Démontre que \(\mathcal{E}\) est un triangle dont tu donneras les sommets, puis calcule son aire.

3) On ajoute la contrainte \(x+y\le 5\). Détermine les sommets du nouveau domaine \(\mathcal{F}\).

4) Calcule l'aire de \(\mathcal{F}\).

5) Combien de points à coordonnées entières appartiennent à \(\mathcal{F}\) (bords compris) ? Justifie ton décompte.

Un éleveur mélange deux aliments pour ses poulets. Un kilogramme d'aliment A apporte 3 unités de protéines et 1 unité de minéraux et coûte 400 F ; un kilogramme d'aliment B apporte 1 unité de protéines et 2 unités de minéraux et coûte 300 F. Chaque jour, l'élevage a besoin d'au moins 12 unités de protéines et 9 unités de minéraux. On note \(x\) et \(y\) les masses (en kg) d'aliments A et B utilisées par jour.

1) Traduis les contraintes par un système d'inéquations et exprime le coût journalier \(C\).

2) Les mélanges \((2;6)\) et \((4;2)\) conviennent-ils ? Calcule le coût de celui qui convient.

3) Représente le domaine des solutions et détermine ses sommets.

4) Calcule le coût en chacun des sommets et propose le mélange le moins cher.

5) Vérifie que \(C=100(3x+y)+100(x+2y)\) et démontre que, pour tout mélange qui convient, \(C\ge 2\,100\). Interprète.