Homothéties

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) L'homothétie de centre $O$ et de rapport $k=-2$ transforme un cercle de rayon $3$ en un cercle de rayon :
a) $6$   b) $-6$   c) $1{,}5$   d) $9$

2) Une homothétie de rapport $k=1$ est :
a) l'identité   b) une symétrie centrale   c) une rotation   d) une translation

3) Une rotation d'angle $180°$ coïncide avec :
a) une symétrie centrale de même centre   b) une symétrie orthogonale   c) une translation   d) l'identité

4) L'image du point $A(2;5)$ par l'homothétie de centre $O(0;0)$ et de rapport $k=3$ est :
a) $(6;15)$   b) $(5;8)$   c) $\left(\dfrac23;\dfrac53\right)$   d) $(-6;-15)$

Exercice 2 — Situation d'intégration

Un artisan sculpteur agrandit un motif décoratif pour une fresque murale, à partir d'un motif original centré en $O(0;0)$ possédant un point caractéristique $A(3;2)$. Il applique une homothétie de centre $O$ et de rapport $k=4$.

Consigne : 1) Calculer les coordonnées du point $A'$, image de $A$. 2) Le motif original tient dans un cercle de rayon $1{,}5$ m centré en $O$ ; quel est le rayon du cercle contenant le motif agrandi ? 3) L'aire du motif original est de $0{,}8$ m² ; quelle est l'aire du motif agrandi (rappel : l'homothétie multiplie les aires par $k^2$) ?

Exercice supplémentaire. Un sculpteur agrandit un motif : le point $A(2;3)$ est l'image du point $A'(1\,;1{,}5)$ par une homothétie de centre $O(0;0)$.

1) Déterminer le rapport $k$ de cette homothétie.
2) Le point $B'(3;-2)$ a pour image $B$ par cette même homothétie : calculer les coordonnées de $B$.
3) Si l'aire du motif initial est $5$ cm², quelle est l'aire du motif agrandi ?

Problème.

Partie A. Soit $O(1;1)$ et l'homothétie de centre $O$, de rapport $k=-\dfrac12$.
1) Calculer l'image $B'$ du point $B(5;3)$.

Partie B. Soit la rotation de centre $O(0;0)$ et d'angle $90°$ (sens direct). On admet que l'image d'un point $M(x;y)$ par cette rotation a pour coordonnées $(-y;x)$.
2) Calculer l'image $C'$ de $C(3;-4)$ par cette rotation.
3) Vérifier que $OC=OC'$ (conservation des distances).

Partie C.
4) Le point $C'$ obtenu en B.2 est-il aussi l'image de $C$ par la symétrie centrale de centre $O$ (qui envoie $M$ sur $-M$) ? Justifier.

Dans un repère orthonormé, on considère les points \(\Omega(1;2)\), \(A(3;1)\) et \(B(2;5)\). On note \(h\) l'homothétie de centre \(\Omega\) et de rapport \(-2\).

1) En utilisant la définition de \(h\), calcule les coordonnées des points \(A'=h(A)\) et \(B'=h(B)\).

2) Démontre par le calcul que \(\overrightarrow{A'B'}=-2\overrightarrow{AB}\). Quelle propriété de l'homothétie retrouves-tu ? Déduis-en la position relative des droites \((AB)\) et \((A'B')\) et la longueur \(A'B'\).

3) Soit \(I\) le milieu de \([AB]\). Calcule les coordonnées de \(h(I)\) et vérifie que ce point est le milieu de \([A'B']\). Quelle propriété de l'homothétie illustre ce résultat ?

4) Soit \((\Gamma)\) le cercle de centre \(A\) passant par \(B\). Détermine l'image \((\Gamma')\) de \((\Gamma)\) par \(h\) (centre et rayon), puis compare les aires des disques délimités par \((\Gamma)\) et \((\Gamma')\).

5) Détermine les coordonnées du point \(M\) dont l'image par \(h\) est le point \(P(5;-4)\), puis justifie que \(\Omega\), \(M\) et \(P\) sont alignés.

Soit \(ABC\) un triangle non rectangle, \(G\) son centre de gravité, \(H\) son orthocentre et \(O\) le centre de son cercle circonscrit. On note \(A'\), \(B'\), \(C'\) les milieux respectifs de \([BC]\), \([CA]\), \([AB]\), et \(h\) l'homothétie de centre \(G\) et de rapport \(-\frac{1}{2}\).

1) Sachant que \(\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AA'}\), démontre que \(\overrightarrow{GA'}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{GA}\). En admettant les égalités analogues pour \(B\) et \(C\), déduis-en les images de \(A\), \(B\) et \(C\) par \(h\).

2) Démontre que l'image par \(h\) de la hauteur issue de \(A\) dans le triangle \(ABC\) est la médiatrice de \([BC]\).

3) Déduis-en que \(h(H)=O\), puis que les points \(O\), \(G\), \(H\) sont alignés avec \(GH=2GO\).

4) Dans un repère orthonormé, on donne \(A(0;6)\), \(B(-3;0)\) et \(C(6;0)\). Calcule les coordonnées de \(G\), vérifie que \(H(0;3)\) est l'orthocentre de \(ABC\), puis déduis de la question 3 les coordonnées de \(O\) et vérifie que \(OA=OB\).

5) Calcule l'aire du triangle \(ABC\) et déduis-en, sans calculer de coordonnées supplémentaires, l'aire du triangle \(A'B'C'\). Vérifie ce résultat avec les coordonnées de \(A'\), \(B'\) et \(C'\).