Généralités sur les fonctions

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) On considère $f(x)=x^2-4x+1$ définie sur $\mathbb{R}$. $f(3)$ vaut :
a) $-2$   b) $2$   c) $-8$   d) $10$

2) L'image de l'intervalle $[0;4]$ par $f$ est :
a) $[-3;1]$   b) $[-4;1]$   c) $[-3;4]$   d) $[1;4]$

3) $f(-1)$ et $f(1)$ valent respectivement :
a) $6$ et $-2$   b) $-2$ et $6$   c) $6$ et $6$   d) $-2$ et $-2$

4) $f$ est décroissante sur :
a) $]-\infty;2]$   b) $[2;+\infty[$   c) $[0;4]$   d) $\mathbb{R}$

Exercice 2 — Situation d'intégration

Une coopérative de transformation de karité produit des barres de savon. Le coût de production quotidien $C(x)$ (en milliers de francs CFA), pour $x$ centaines de barres produites ($x\in[0;10]$), est modélisé par $C(x)=x^2-6x+50$.

Consigne : 1) Montrer, en comparant directement $C(a)$ et $C(b)$, que $C$ est décroissante sur $[0;3]$. 2) Calculer le coût minimal, atteint en $x=3$. 3) Déterminer l'image de l'intervalle $[0;6]$ par $C$, et interpréter en termes de coût minimal et maximal sur cette plage de production.

Exercice supplémentaire. Une unité de transformation de riz a un coût de production quotidien (en milliers de FCFA) modélisé par $C(x)=x^2-8x+20$ pour $x\in[0;8]$ ($x$ en tonnes traitées).

1) Montrer, en comparant directement $C(a)$ et $C(b)$, que $C$ est décroissante sur $[0;4]$ puis croissante sur $[4;8]$.
2) Calculer le coût minimal.
3) Déterminer l'image de $[0;8]$ par $C$ et interpréter.

Problème. Lors d'une démonstration scientifique dans un lycée, un professeur modélise la trajectoire d'un jet d'eau lancé par une pompe manuelle par la fonction $h(x)=-x^2+6x-5$, où $x$ est la distance horizontale (en mètres) et $h(x)$ la hauteur du jet (en mètres), pour $x\in[1;5]$.

1) Calculer $h(1)$, $h(3)$ et $h(5)$.
2) Montrer, en comparant directement $h(a)$ et $h(b)$, que $h$ est croissante sur $[1;3]$ puis décroissante sur $[3;5]$.
3) En déduire l'image de l'intervalle $[1;5]$ par $h$, et interpréter en termes de hauteur du jet.
4) Le domaine de définition $[1;5]$ est-il symétrique par rapport à $0$ ? $h$ peut-elle être qualifiée de paire ou impaire sur ce domaine ? Justifier.

On considère la fonction \(f\) définie par \(f(x)=\dfrac{2x-1}{x+1}\). On note \(\mathcal{C}_f\) sa courbe représentative dans un repère du plan.

1) Détermine l'ensemble de définition \(D_f\) de la fonction \(f\).

2) Démontre que pour tout réel \(x\) de \(D_f\), on a \(f(x)=2-\dfrac{3}{x+1}\).

3) Calcule les images de 0 et de 2 par \(f\). Détermine les antécédents éventuels de \(\dfrac{1}{2}\), puis ceux de 2, par \(f\).

4) Soient \(a\) et \(b\) deux éléments de \(D_f\). Démontre que \(f(b)-f(a)=\dfrac{3(b-a)}{(a+1)(b+1)}\). Déduis-en que \(f\) est croissante sur \(]-\infty;-1[\) et sur \(]-1;+\infty[\).

5) Détermine l'image directe de l'intervalle \([0;2]\) par \(f\), puis l'image réciproque de l'intervalle \([0;1]\) par \(f\).

Une compagnie de distribution d'eau facture chaque mois un abonnement fixe de 1 000 F, puis 200 F par mètre cube pour les 10 premiers mètres cubes consommés, et 300 F par mètre cube au-delà de 10 m³. On note \(x\) la consommation mensuelle d'un ménage, en m³, avec \(0\le x\le 30\), et \(F(x)\) le montant de sa facture en francs. On admet que \(F(x)=1000+200x\) si \(0\le x\le 10\) et \(F(x)=300x\) si \(10\le x\le 30\).

1) Justifie l'expression de \(F(x)\) pour \(10\le x\le 30\), puis calcule \(F(6)\), \(F(10)\) et \(F(25)\).

2) Démontre que \(F\) est croissante sur \([0;30]\). Déduis-en le minimum et le maximum de \(F\) sur \([0;30]\) et interprète-les.

3) Un ménage a payé 5 700 F. Détermine sa consommation.

4) Détermine l'image directe de l'intervalle \([5;20]\) par \(F\) et interprète le résultat.

5) Un ménage veut que sa facture ne dépasse pas 4 500 F. Détermine l'image réciproque de l'intervalle \([0;4500]\) par \(F\) et conclus.

Dans un repère orthonormé \((O;I,J)\), on considère les fonctions \(f\) et \(g\) définies sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=2x-4\) et \(g(x)=\dfrac{x+4}{2}\), de courbes respectives \(\mathcal{C}_f\) et \(\mathcal{C}_g\). On note \(\Delta\) la droite d'équation \(y=x\).

1) Démontre que pour tout réel \(x\), \(f(g(x))=x\) et \(g(f(x))=x\). Que peut-on dire des fonctions \(f\) et \(g\) ?

2) Soient \(a\) et \(b\) deux réels. Démontre que le point \(M(a;b)\) appartient à \(\mathcal{C}_f\) si et seulement si le point \(M'(b;a)\) appartient à \(\mathcal{C}_g\).

3) Soit \(P(t;t)\) un point quelconque de \(\Delta\). Démontre que \(PM=PM'\). Déduis-en que \(M\) et \(M'\) sont symétriques par rapport à \(\Delta\) lorsque \(a\neq b\), puis interprète pour les courbes \(\mathcal{C}_f\) et \(\mathcal{C}_g\).

4) Détermine le point d'intersection \(K\) de \(\mathcal{C}_f\) et de \(\Delta\), et justifie que \(K\) appartient aussi à \(\mathcal{C}_g\).

5) Détermine l'image réciproque de l'intervalle \([0;6]\) par \(f\), puis l'image directe de \([0;6]\) par \(g\). Compare et explique le résultat.

On considère la fonction \(h\) définie par \(h(x)=\dfrac{4x}{x^2+1}\) et la fonction \(k\) définie par \(k(x)=\dfrac{4x^3+4x}{x^4+2x^2+1}\). On note \(\mathcal{C}_h\) la courbe de \(h\) dans un repère d'origine \(O\).

1) Justifie que \(h\) est définie sur \(\mathbb{R}\). Démontre que pour tout réel \(x\), \(h(-x)=-h(x)\), puis interprète ce résultat pour la courbe \(\mathcal{C}_h\).

2) Détermine les antécédents de \(\dfrac{8}{5}\) par \(h\).

3) Démontre que pour tout réel \(x\), \(2-h(x)=\dfrac{2(x-1)^2}{x^2+1}\). Déduis-en que 2 est le maximum de \(h\) sur \(\mathbb{R}\) et précise en quel réel il est atteint.

4) En utilisant les questions 1 et 3, démontre que \(-2\) est le minimum de \(h\) sur \(\mathbb{R}\).

5) Démontre que les fonctions \(h\) et \(k\) sont égales sur \(\mathbb{R}\).