Étude de fonctions élémentaires

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Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) La fonction $x\mapsto\dfrac1x$ est :
a) paire   b) impaire   c) ni paire ni impaire   d) périodique

2) Le domaine de définition de $x\mapsto\sqrt x$ est :
a) $\mathbb{R}$   b) $[0;+\infty[$   c) $\mathbb{R}^*$   d) $]-\infty;0]$

3) La fonction $x\mapsto x^3$ est :
a) décroissante sur $\mathbb{R}$   b) croissante sur $\mathbb{R}$   c) décroissante sur $\mathbb{R}^+$ seulement   d) ni croissante ni décroissante

4) Soit $f(x)=\sqrt{x-5}$. $f$ se ramène à la fonction racine carrée par :
a) une translation de $5$ vers la droite   b) une translation de $5$ vers la gauche   c) une dilatation de rapport $5$   d) une symétrie

Exercice 2 — Situation d'intégration

Un commerçant de tissus achète du tissu en gros. Le prix unitaire $p(x)$ (en FCFA par mètre), en fonction de la quantité $x$ (en dizaines de mètres) achetée, est modélisé par $p(x)=\dfrac{4500}{x}$ pour $x\in[1;15]$ : plus la quantité achetée est grande, plus le prix au mètre est faible.

Consigne : 1) Calculer $p(3)$ et $p(9)$, et interpréter chaque résultat. 2) À quelle fonction de référence $p$ se ramène-t-elle ? En déduire son sens de variation, et vérifier la cohérence avec les deux valeurs de la question 1. 3) Le commerçant veut un prix unitaire de $300$ FCFA/m. Quelle quantité (en mètres) doit-il acheter ?

Exercice supplémentaire. Un maraîcher compare deux formules d'arrosage. Le volume d'eau (en m³) déversé après $x$ heures ($x\ge0$) suit soit $V_1(x)=x$ (débit constant), soit $V_2(x)=\sqrt{x}$ (débit dégressif).

1) Étudier le signe de $V_1(x)-V_2(x)=\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)$ pour $x\in]0;1[$ puis pour $x>1$.
2) En déduire quelle formule utilise le moins d'eau sur la première heure, puis au-delà.
3) Calculer $V_1(4)$ et $V_2(4)$.

Problème.

Partie A. Soit $f(x)=\sqrt{x+4}-1$, définie pour $x\ge-4$.
1) Calculer $f(0)$, $f(5)$ et $f(12)$.
2) Montrer que $f$ se ramène à la fonction racine carrée, et donner son sens de variation.

Partie B. Soit $g(x)=\dfrac{1}{x-2}$, définie pour $x\ne2$.
3) Calculer $g(3)$ et $g(-3)$.
4) $g$ est-elle décroissante sur $\mathbb{R}\setminus\{2\}$ tout entier ? Justifier à l'aide des deux valeurs précédentes.

Partie C. Soit $h(x)=(x-1)^3+2$.
5) Calculer $h(0)$ et $h(2)$.
6) Quel est le sens de variation de $h$ sur $\mathbb{R}$ ? Justifier en la reliant à une fonction de référence.

Un parking de motos fait payer 100 F à l'entrée, puis 150 F pour chaque heure complète écoulée. Une moto ne peut pas y rester 4 heures ou plus. Pour une durée de stationnement \(x\) (en heures) avec \(0\le x\lt 4\), le prix payé en francs est \(P(x)=100+150\,E(x)\), où \(E(x)\) désigne la partie entière de \(x\).

1) Calcule \(P(0{,}5)\), \(P(2)\) et \(P(3{,}75)\).

2) Écris \(P(x)\) sans partie entière sur chacun des intervalles \([0;1[\), \([1;2[\), \([2;3[\) et \([3;4[\). Justifie que \(P\) est une fonction affine par intervalles et décris sa représentation graphique.

3) Justifie que \(P\) est croissante sur \([0;4[\) mais qu'elle n'est pas strictement croissante.

4) Détermine l'ensemble des antécédents de 400 par \(P\). Le nombre 300 a-t-il des antécédents ? Interprète.

5) Un second parking fait payer \(Q(x)=150x\) francs pour \(x\) heures. Résous l'inéquation \(Q(x)\le P(x)\) sur \([0;4[\) et interprète le résultat.

On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=|2x-4|+|x+1|\). On note \(\mathcal{C}\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

1) Écris \(f(x)\) sans le symbole valeur absolue sur chacun des intervalles \(]-\infty;-1]\), \([-1;2]\) et \([2;+\infty[\). Justifie que \(f\) est une fonction affine par intervalles.

2) Étudie le sens de variation de \(f\) sur chacun de ces intervalles et dresse le tableau de variation de \(f\).

3) Démontre que \(f\) admet un minimum sur \(\mathbb{R}\) ; précise sa valeur et en quel réel il est atteint.

4) Résous dans \(\mathbb{R}\) l'équation \(f(x)=6\).

5) Déduis-en l'ensemble des solutions de l'inéquation \(f(x)\le 6\) et interprète graphiquement à l'aide de la droite d'équation \(y=6\).

Un car de transport doit parcourir 120 km entre deux villes à une vitesse moyenne \(v\) (en km/h) comprise entre 40 et 120. La durée du trajet, en heures, est \(t(v)=\dfrac{120}{v}\). Par ailleurs, on estime la distance de freinage du car, en mètres, par \(d(v)=\dfrac{v^2}{200}\).

1) Calcule \(t(60)\), \(t(80)\) et \(t(120)\), puis exprime \(t(80)\) en heures et minutes.

2) Démontre que la fonction \(t\) est décroissante sur \([40;120]\). Déduis-en son maximum et son minimum et interprète-les.

3) Le chauffeur veut que le trajet dure au plus 1,5 h. Détermine l'ensemble des vitesses possibles.

4) Démontre que la fonction \(d\) est croissante sur \([40;120]\), puis calcule \(d(80)\) et \(d(100)\).

5) Pour des raisons de sécurité, la distance de freinage ne doit pas dépasser 50 m. Détermine l'ensemble des vitesses qui respectent à la fois cette consigne et celle de la question 3, puis interprète.

Dans un repère orthonormé, on considère les courbes \(\mathcal{C}_1\) de la fonction cube \(x\mapsto x^3\), \(\mathcal{C}_2\) de la fonction racine carrée \(x\mapsto\sqrt{x}\) et la droite \(\Delta\) d'équation \(y=x\).

1) Démontre que pour tout réel \(x\), \(x^3-x=x(x-1)(x+1)\). Étudie le signe de \(x^3-x\) et déduis-en la position de \(\mathcal{C}_1\) par rapport à \(\Delta\).

2) Soient \(a\) et \(b\) deux réels distincts. Démontre que \(b^3-a^3=(b-a)(a^2+ab+b^2)\) et que \(a^2+ab+b^2=\left(a+\dfrac{b}{2}\right)^2+\dfrac{3b^2}{4}\). Déduis-en que la fonction cube est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).

3) En utilisant la question 2, résous dans \(\mathbb{R}\) l'équation \(x^3=8\) puis l'inéquation \(x^3\le -27\).

4) Démontre que pour tout réel \(x\ge 0\), \(x-\sqrt{x}=\sqrt{x}\,(\sqrt{x}-1)\). Déduis-en la position de \(\mathcal{C}_2\) par rapport à \(\Delta\).

5) Déduis des questions précédentes que pour tout \(x\) de \([0;1]\), \(x^3\le x\le\sqrt{x}\), puis range dans l'ordre croissant les nombres \(0{,}8^3\), \(0{,}8\) et \(\sqrt{0{,}8}\).