Équations et inéquations dans ℝ

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) Les solutions de $|x-4|=6$ sont :
a) $10$ et $-2$   b) $10$ et $2$   c) $-10$ et $2$   d) $6$ et $-6$

2) L'ensemble des solutions de $|2x+1|\le9$ est :
a) $[-5;4]$   b) $[-4;5]$   c) $[-9;9]$   d) $[-10;8]$

3) Sachant $3{,}1\le\sqrt{10}\le3{,}2$ et $1{,}4\le\sqrt2\le1{,}5$, un encadrement de $\sqrt{20}$ est :
a) $[4{,}34;4{,}8]$   b) $[4{,}3;4{,}7]$   c) $[3{,}1;3{,}2]$   d) $[1{,}4;1{,}5]$

4) L'ensemble des solutions de $|x-3|>5$ est :
a) $\,]-\infty;-2[\,\cup\,]8;+\infty[$   b) $[-2;8]$   c) $\,]8;+\infty[$   d) $\,]-\infty;-2[$

Exercice 2 — Situation d'intégration

Un menuisier fabrique des portes de largeur nominale $90$ cm, avec une tolérance de fabrication de $\pm1{,}5$ cm : une porte de largeur $x$ (en cm) est acceptée si et seulement si $|x-90|\le1{,}5$. Il mesure deux portes en fin de journée : la première a une largeur de $91{,}2$ cm, la seconde de $88{,}3$ cm.

Consigne : Écrire l'inéquation traduisant la tolérance de fabrication. Vérifier, en calculant $|x-90|$ pour chaque porte, laquelle des deux portes est acceptée et laquelle doit être refusée. Conclure.

Exercice supplémentaire. Un pisciculteur doit maintenir la température de son bassin à $26°C$ à $\pm1{,}5°C$ près.

1) Écrire cette contrainte avec une valeur absolue, $x$ désignant la température.
2) Résoudre cette inéquation et donner l'intervalle des températures acceptables.
3) Si de plus le taux d'oxygène $y$ vérifie $5\le y\le8$ (mg/L), encadrer $x+y$.

Exercice 2 — Situation d'intégration

Une coopérative agricole achète de l'engrais NPK et de l'urée. Un premier lot de $5$ sacs de NPK et $3$ sacs d'urée coûte $116\,000$ F. Un second lot de $3$ sacs de NPK et $6$ sacs d'urée coûte $120\,000$ F.

Consigne : En notant $x$ le prix d'un sac de NPK et $y$ le prix d'un sac d'urée, écrire le système traduisant la situation, puis le résoudre par combinaison linéaire pour déterminer le prix de chaque type de sac.

Problème. On considère $Q(x)=2x^2-x-6$.

Partie A. 1) Vérifier que $2$ est racine de $Q$, puis factoriser $Q(x)$.

Partie B. 2) Résoudre l'inéquation $Q(x)\le0$.

Partie C. 3) Donner la forme canonique de $Q$ et en déduire son minimum, ainsi que la valeur de $x$ pour laquelle il est atteint.

Problème. Une association organise le transport pour une cérémonie, avec des motos-taxis ($3$ places, $4\,000$ F chacune) et des taxis ($4$ places, $7\,000$ F chacun). Elle dispose d'au plus $6$ motos-taxis et $4$ taxis, doit transporter au moins $30$ personnes, avec un budget maximal de $50\,000$ F. On note $x$ le nombre de motos-taxis et $y$ le nombre de taxis utilisés.

Partie A. 1) Écrire le système de contraintes traduisant la situation.

Partie B. 2) Le couple $(x,y)=(2,4)$ convient-il ? Justifier précisément.

Partie C. 3) Le couple $(x,y)=(6,3)$ convient-il ? Justifier, et calculer le coût total dans ce cas.

On considère le polynôme \(P(x)=x^3-2x^2-5x+6\). On veut résoudre plusieurs équations et inéquations construites à partir de \(P\).

1) Vérifie que \(1\) est une racine de \(P\).

2) Détermine les réels \(a\), \(b\), \(c\) tels que \(P(x)=(x-1)(ax^2+bx+c)\) pour tout réel \(x\).

3) En écrivant \(x^2-x-6\) sous la forme \(\left(x-\frac{1}{2}\right)^2-k\), factorise complètement \(P(x)\), puis résous l'équation \(P(x)=0\).

4) Dresse le tableau de signes de \(P(x)\) et résous l'inéquation \(P(x)\le 0\).

5) On pose \(R(x)=\frac{P(x)}{x^2-9}\). Donne l'ensemble de validité de l'inéquation \(R(x)\le 0\), démontre que sur cet ensemble \(R(x)=\frac{(x-1)(x+2)}{x+3}\), puis résous l'inéquation \(R(x)\le 0\).

Sur une droite graduée, on place les points \(A\) d'abscisse \(1\) et \(B\) d'abscisse \(-3\). Pour tout réel \(x\), on note \(M\) le point d'abscisse \(x\) et on pose \(f(x)=|x-1|+|x+3|\).

1) Interprète \(f(x)\) en termes de distances entre les points \(M\), \(A\) et \(B\). Que vaut la distance \(AB\) ?

2) Écris \(f(x)\) sans le symbole de valeur absolue sur chacun des intervalles \(]-\infty;-3]\), \([-3;1]\) et \([1;+\infty[\).

3) Résous l'équation \(f(x)=6\) et interprète les solutions sur la droite graduée.

4) Résous l'inéquation \(f(x)\le 6\).

5) Démontre que \(f(x)\ge 4\) pour tout réel \(x\) et précise pour quels réels l'égalité a lieu. Que peux-tu en déduire pour l'équation \(f(x)=3\) ?

On considère l'expression \(F(x)=\frac{2x^2+x-1}{x^2-1}\).

1) Détermine l'ensemble de validité \(D\) de \(F(x)\).

2) Factorise le numérateur et le dénominateur, puis simplifie \(F(x)\) pour \(x\in D\).

3) Démontre que pour tout \(x\in D\), \(F(x)=2+\frac{1}{x-1}\).

4) Résous dans \(\mathbb{R}\) l'équation \(F(x)=3\), puis l'équation \(F(x)=\frac{3}{2}\). Explique pourquoi la seconde n'a pas de solution.

5) Résous dans \(\mathbb{R}\) l'inéquation \(F(x)\le 3\).

Les \(n\) élèves d'un club scientifique décident de se partager à parts égales l'achat d'un vidéoprojecteur à 180 000 F. Au moment de payer, 3 élèves se retirent : chacun des élèves restants doit alors verser 2 000 F de plus que prévu.

1) Justifie que \(n\) vérifie l'équation \(\frac{180\,000}{n-3}-\frac{180\,000}{n}=2\,000\) et précise son ensemble de validité.

2) Démontre que, sur cet ensemble, l'équation est équivalente à \(n^2-3n-270=0\).

3) Vérifie que \(18\) est racine du polynôme \(n^2-3n-270\), factorise-le par \((n-18)\) et déduis-en \(n\).

4) Calcule la part initialement prévue et la part réellement payée par chaque élève.

5) Le club achète aussi un écran dont le prix \(p\) (en F) vérifie \(|p-37\,500|\le 7\,500\). Donne l'intervalle auquel appartient \(p\), puis démontre que la contribution totale de chacun des élèves restants (vidéoprojecteur et écran) est comprise entre 14 000 F et 15 000 F.