Droites et plans de l'espace

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) Deux droites de l'espace non coplanaires :
a) n'ont aucun point commun et ne sont pas parallèles   b) sont toujours parallèles   c) sont toujours sécantes   d) sont confondues

2) Pour montrer qu'une droite $d$ est parallèle à un plan $\mathcal P$, il suffit de montrer que :
a) $d$ est parallèle à une droite contenue dans $\mathcal P$   b) $d$ est perpendiculaire à $\mathcal P$   c) $d$ ne rencontre aucun point de l'espace   d) $d$ est contenue dans un autre plan

3) Le plan médiateur d'un segment $[AB]$ est l'ensemble des points :
a) équidistants de $A$ et de $B$   b) alignés avec $A$ et $B$   c) situés sur la droite $(AB)$   d) situés au milieu de $[AB]$ uniquement

4) Dans la perspective cavalière, les arêtes cachées sont tracées :
a) en pointillés   b) en trait plein plus épais   c) en couleur   d) elles ne sont pas représentées

Exercice 2 — Situation d'intégration

Une ONG construit un réservoir d'eau en forme de parallélépipède rectangle pour un village. Dimensions intérieures : $4$ m de longueur, $3$ m de largeur, $2{,}5$ m de hauteur.

Consigne : 1) Calculer le volume du réservoir en m³ puis en litres ($1$ m³ $=1000$ L). 2) Une pompe solaire remplit le réservoir à $250$ L/h. Combien de temps (en heures, puis en jours à raison de $10$ h de pompage utile par jour) faut-il pour le remplir ? 3) Un plan horizontal coupe le réservoir parallèlement à la base, à mi-hauteur ($1{,}25$ m). Quelle est la nature de la section, et quelle fraction du volume total se trouve en dessous ?

Exercice supplémentaire. Un ingénieur d'un chantier de forage représente un réservoir cubique $ABCDEFGH$ ($ABCD$ face du dessous, $EFGH$ face du dessus juste au-dessus, avec $E$ au-dessus de $A$, $F$ au-dessus de $B$, $G$ au-dessus de $C$, $H$ au-dessus de $D$).

1) Les droites $(AB)$ et $(EF)$ sont-elles parallèles, sécantes, ou non coplanaires ?
2) Les droites $(AB)$ et $(CG)$ le sont-elles ?
3) Quelle est la position relative du plan $(ABC)$ et de la droite $(EH)$ ?

Problème.

Partie A. Une pyramide de base carrée $ABCD$ a un côté de base $8$ m et une hauteur de $12$ m, sommet $S$.
1) Calculer le volume de la pyramide (rappel : $V=\dfrac13\times\text{aire base}\times\text{hauteur}$).

Partie B. On coupe la pyramide par un plan parallèle à la base, à une distance de $9$ m du sommet $S$.
2) La section est un carré, homothétique de la base par une homothétie de centre $S$. Quel est le rapport $k$ de cette homothétie (distance au sommet de la section / hauteur totale) ?
3) En déduire le côté du carré-section, puis son aire.
4) En déduire le volume de la petite pyramide comprise entre $S$ et le plan de section (rappel : le volume est multiplié par $k^3$).

\(ABCDEFGH\) est un cube d'arête 4 cm : \(ABCD\) est la face du bas, \(EFGH\) la face du haut, et les arêtes \([AE]\), \([BF]\), \([CG]\), \([DH]\) sont verticales. On note \(I\) le milieu de \([AB]\) et \(J\) le milieu de \([BC]\). On cherche la section du cube par le plan \((IJH)\).

1) Justifie que les plans \((IJH)\) et \((ABC)\) sont sécants selon la droite \((IJ)\), puis que \((IJ)\) est parallèle à \((AC)\).

2) La droite \((IJ)\) coupe la droite \((AD)\) en \(P\) et la droite \((CD)\) en \(Q\). Démontre que \(AP=2\) cm et \(CQ=2\) cm.

3) La droite \((PH)\) coupe l'arête \([AE]\) en \(K\). Démontre que \(AK=\frac{4}{3}\) cm.

4) La droite \((QH)\) coupe l'arête \([CG]\) en \(L\). Détermine \(CL\), puis décris la section du cube par le plan \((IJH)\) en justifiant ses côtés.

5) Démontre que les droites \((KL)\) et \((IJ)\) sont parallèles et calcule les longueurs \(IJ\) et \(KL\).

Le toit d'un grenier à grains a la forme d'une pyramide régulière \(SABCD\) : sa base \(ABCD\) est un carré de côté 6 m de centre \(O\), et sa hauteur est \(SO=4\) m. On admet que la droite \((SO)\) est perpendiculaire à toute droite du plan \((ABC)\) passant par \(O\). On veut poser un plancher horizontal dans le plan \(\mathcal{P}\) parallèle à \((ABC)\) passant par le milieu \(I\) de l'arête \([SA]\).

1) Calcule \(OA\), puis la longueur \(SA\) d'une arête latérale.

2) Justifie que le plan \(\mathcal{P}\) coupe la face \(SAB\) selon une droite parallèle à \((AB)\), et que cette droite coupe \([SB]\) en son milieu \(J\).

3) On note de même \(K\) et \(L\) les milieux de \([SC]\) et \([SD]\). Démontre que la section \(IJKL\) est un carré, calcule l'aire du plancher, puis la hauteur à laquelle il est posé.

4) Démontre que l'intersection des plans \((SAB)\) et \((SCD)\) est la droite \(\Delta\) passant par \(S\) et parallèle à \((AB)\).

5) Le volume d'une pyramide est \(\frac{1}{3}\times\text{aire de la base}\times\text{hauteur}\). Calcule le volume du toit, puis celui de l'espace situé au-dessus du plancher, et compare-les.

\(ABCD\) est un tétraèdre. On note \(I\) le milieu de \([AB]\), \(J\) le milieu de \([AC]\) et \(K\) le point de \([AD]\) tel que \(\overrightarrow{AK}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}\). On note enfin \(L\) le symétrique de \(D\) par rapport à \(B\).

1) Démontre que la droite \((IJ)\) est parallèle au plan \((BCD)\).

2) Exprime \(\overrightarrow{AL}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AD}\), puis démontre que \(\overrightarrow{LK}=\frac{4}{3}\overrightarrow{LI}\). Qu'en déduis-tu pour les points \(L\), \(I\), \(K\) ?

3) Démontre que l'intersection des plans \((IJK)\) et \((BCD)\) est la droite \(\Delta\) passant par \(L\) et parallèle à \((BC)\).

4) La droite \(\Delta\) coupe la droite \((CD)\) en \(M\). Démontre que \(C\) est le milieu de \([DM]\), puis que \(M\) appartient à la droite \((JK)\).

5) Détermine la section du tétraèdre par le plan \((IJK)\), en justifiant que ce plan ne coupe pas la face \(BCD\).

Un entrepôt a la forme d'un pavé droit \(ABCDEFGH\) : le sol est le rectangle \(ABCD\) avec \(AB=8\) m et \(AD=6\) m, le plafond est \(EFGH\), et les arêtes \([AE]\), \([BF]\), \([CG]\), \([DH]\) sont verticales de longueur 7,5 m. On note \(I\) le milieu de \([AD]\).

1) Donne, en justifiant, la position relative des droites \((AB)\) et \((HG)\), puis des droites \((AB)\) et \((CG)\), puis de la droite \((EG)\) et du plan \((ABC)\).

2) Calcule \(AC\). On admet que \((CG)\) est perpendiculaire à \((AC)\) : calcule la longueur \(AG\) d'un câble tendu entre les coins \(A\) et \(G\).

3) Justifie que la section de l'entrepôt par le plan \((ACG)\) est le rectangle \(ACGE\) et calcule son aire.

4) Une cloison est posée dans le plan \(\mathcal{P}\) passant par \(I\) et parallèle au plan \((ABF)\). Décris la section de l'entrepôt par \(\mathcal{P}\) et calcule l'aire de la cloison.

5) Démontre que les plans \(\mathcal{P}\) et \((ACG)\) se coupent selon la droite verticale passant par le milieu \(N\) de \([AC]\), et calcule la longueur de la partie de cette droite située dans l'entrepôt.