Angles orientés et trigonométrie

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) $\cos\!\left(\dfrac\pi3\right)$ vaut :
a) $\dfrac12$   b) $\dfrac{\sqrt3}2$   c) $\dfrac{\sqrt2}2$   d) $1$

2) $\sin\!\left(-\dfrac\pi6\right)$ vaut :
a) $\dfrac12$   b) $-\dfrac12$   c) $\dfrac{\sqrt3}2$   d) $-\dfrac{\sqrt3}2$

3) $\cos(\pi-x)$ est égal à :
a) $\cos x$   b) $-\cos x$   c) $\sin x$   d) $-\sin x$

4) L'ensemble des solutions de $\cos x=\dfrac12$ est :
a) $x=\dfrac\pi3+2k\pi$ ou $x=-\dfrac\pi3+2k\pi,\ k\in\mathbb{Z}$   b) $x=\dfrac\pi3+2k\pi$ seulement   c) $x=\dfrac\pi6+2k\pi$ ou $x=-\dfrac\pi6+2k\pi$   d) $x=\dfrac\pi2+2k\pi$

Exercice 2 — Situation d'intégration

Un ingénieur agricole installe un pivot d'irrigation circulaire dans un champ. Le bras d'arrosage tourne autour d'un centre $O$ et arrose un cercle de rayon $50$ m. La position du bout du bras, repérée par l'angle $x$ (en radians) parcouru depuis la direction $(1;0)$, a pour coordonnées $(50\cos x\,;\,50\sin x)$.

Consigne : 1) Calculer les coordonnées du bout du bras lorsque $x=\dfrac\pi3$. 2) Après un quart de tour supplémentaire (angle total $x=\dfrac{5\pi}6$), calculer les nouvelles coordonnées en utilisant une relation d'angles associés. 3) Une zone sensible se trouve au point $(50;0)$. Pour quel(s) angle(s) $x\in[0;2\pi[$ le bras passe-t-il par ce point ?

Exercice supplémentaire. Un artisan fabrique une roue décorative à 12 rayons régulièrement espacés (angle de $30°$ entre deux rayons consécutifs).

1) Convertir $30°$ en radians.
2) Calculer $\cos(150°)$ et $\sin(150°)$ à l'aide des angles associés ($150°=180°-30°$).
3) Un rayon fait un angle de $240°$ avec l'horizontale : donner les coordonnées de son extrémité sur le cercle trigonométrique.

Problème. Un artisan fabrique une horloge décorative circulaire, dont les repères sont positionnés sur un cercle trigonométrique de rayon $1$ (à l'échelle).

Partie A.
1) Calculer $\cos\!\left(\dfrac{2\pi}3\right)$ et $\sin\!\left(\dfrac{2\pi}3\right)$ en justifiant avec les angles associés ($\frac{2\pi}3=\pi-\frac\pi3$).
2) Calculer $\cos\!\left(\dfrac{7\pi}6\right)$ et $\sin\!\left(\dfrac{7\pi}6\right)$ sachant que $\frac{7\pi}6=\pi+\frac\pi6$.

Partie B.
3) Résoudre $\sin x=\dfrac{\sqrt3}2$ sur $[0;2\pi[$.
4) Résoudre $\cos x=-1$ sur $[0;2\pi[$ et interpréter géométriquement.

Le plan est muni d'un repère orthonormé direct \((O;\vec{i},\vec{j})\). On note \(\mathcal{C}\) le cercle trigonométrique de centre \(O\), \(A\) le point image du réel \(\frac{47\pi}{6}\) et \(B\) le point image du réel \(-\frac{29\pi}{3}\).

1) Détermine la mesure principale de chacun des réels \(\frac{47\pi}{6}\) et \(-\frac{29\pi}{3}\).

2) Déduis-en les coordonnées des points \(A\) et \(B\), puis la valeur exacte de \(\tan\frac{47\pi}{6}\).

3) Détermine une mesure de l'angle orienté \((\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB})\), puis vérifie par un calcul de produit scalaire que les droites \((OA)\) et \((OB)\) sont perpendiculaires.

4) On note \(C\) le symétrique de \(A\) par rapport à \(O\). Donne la mesure principale d'un réel dont \(C\) est le point image, les coordonnées de \(C\), puis démontre que le triangle \(ABC\) est rectangle en \(B\).

5) Calcule les longueurs \(AB\) et \(BC\), puis l'aire du triangle \(ABC\).

Un manège circulaire de rayon 4 m tourne dans le sens direct à vitesse constante et fait un tour complet en 24 secondes. Dans un repère orthonormé d'unité 1 m, son centre est \(O(0;0)\) et la nacelle d'un enfant part, à l'instant \(t=0\), du point \(A(4;0)\). Au bout de \(t\) secondes, la nacelle a tourné d'un angle \(\theta\) (en radians) et se trouve au point \(M(4\cos\theta;4\sin\theta)\). Le parent de l'enfant se tient immobile au point \(P(0;-6)\).

1) Exprime \(\theta\) en fonction de \(t\). Calcule l'angle parcouru au bout de 10 s, en radians puis en degrés.

2) Détermine les coordonnées exactes de la nacelle au bout de 10 s.

3) Au bout de 100 s, combien de tours complets la nacelle a-t-elle effectués ? Détermine la mesure principale de l'angle parcouru et la position de la nacelle.

4) Démontre que \(PM^2=52+48\sin\theta\). Déduis-en la distance maximale et la distance minimale entre le parent et la nacelle, ainsi que les instants du premier tour où elles sont atteintes.

5) Pendant le premier tour (\(0\le t\lt 24\)), détermine les instants où la distance \(PM\) est égale à \(2\sqrt{19}\) m.

Soit \(x\) un réel de l'intervalle \(\left]-\frac{\pi}{2};0\right[\) tel que \(\cos x=\frac{1}{3}\). On note \(M\) son point image sur le cercle trigonométrique.

1) Justifie que \(\sin x\lt 0\), puis calcule la valeur exacte de \(\sin x\).

2) Calcule la valeur exacte de \(\tan x\).

3) Déduis-en les valeurs exactes de \(\cos(\pi-x)\), \(\sin(\pi+x)\) et \(\sin(-x)\), en précisant à chaque fois quelle symétrie du cercle trigonométrique transforme \(M\) en le point image correspondant.

4) Démontre que pour tout réel \(a\), \((\cos a+\sin a)^2=1+2\sin a\cos a\). Déduis-en la valeur exacte de \((\cos x+\sin x)^2\).

5) Démontre que pour tout réel \(a\) tel que \(\cos a\neq 0\), \(1+\tan^2 a=\frac{1}{\cos^2 a}\), puis vérifie cette égalité avec les valeurs trouvées pour \(x\).