Angles inscrits

Exercice supplémentaire. Un topographe mesure un triangle $ABC$ avec $AB=6$, $AC=8$ et l'angle $\widehat{BAC}=60°$.

1) Calculer le produit scalaire $\vec{AB}\cdot\vec{AC}$.
2) Ce triangle est-il rectangle en $A$ ?
3) Calculer $BC$ à l'aide de $BC^2=AB^2+AC^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot\cos(\widehat{BAC})$.

\(\mathcal{C}\) est un cercle de centre \(O\). Les points \(A\) et \(B\) sont sur \(\mathcal{C}\) et l'angle au centre \(\widehat{AOB}\) (qui intercepte le petit arc \(\overset{\frown}{AB}\)) mesure \(110°\). \(M\) et \(P\) sont deux points du grand arc \(\overset{\frown}{AB}\), et \(N\) un point du petit arc \(\overset{\frown}{AB}\).

1) Calcule la mesure de l'angle inscrit \(\widehat{AMB}\).

2) Déduis-en la mesure de \(\widehat{APB}\), en justifiant.

3) Calcule la mesure de \(\widehat{ANB}\).

\([AB]\) est un diamètre d'un cercle \(\mathcal{C}\), avec \(AB=10\) cm. \(M\) est un point de \(\mathcal{C}\), distinct de \(A\) et \(B\), tel que \(AM=6\) cm.

1) Démontre que le triangle \(AMB\) est rectangle en \(M\).

2) Calcule la longueur \(MB\).

3) Calcule l'aire du triangle \(AMB\).

4) Déduis-en la distance \(h\) du point \(M\) à la droite \((AB)\).

On admet la propriété suivante : si \(C\) et \(D\) sont deux points situés du même côté de la droite \((AB)\) et si \(\widehat{ACB}=\widehat{ADB}\), alors les points \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) sont cocycliques. On admet aussi qu'un quadrilatère convexe dont deux angles opposés sont supplémentaires est inscriptible dans un cercle.

1) \(ABCD\) est un quadrilatère convexe tel que \(\widehat{DAB}=75°\) et \(\widehat{BCD}=105°\). Les points \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) sont-ils cocycliques ?

2) Dans un triangle \(ABC\), on donne \(\widehat{BAC}=50°\) et \(\widehat{ABC}=70°\). Un point \(D\), du même côté de \((AB)\) que \(C\), vérifie \(\widehat{ADB}=60°\). Calcule \(\widehat{ACB}\) et conclus.

3) \([BH]\) et \([CK]\) sont deux hauteurs d'un triangle \(ABC\) dont les angles sont aigus (\(H\in[AC]\), \(K\in[AB]\)). Démontre que \(B\), \(C\), \(H\), \(K\) sont cocycliques et précise le centre du cercle.

Un architecte place trois lampadaires \(A\), \(B\) et \(C\) sur le bord d'une fontaine circulaire de centre \(O\). Il mesure \(BC=6\) m et, depuis \(A\), il voit le segment \([BC]\) sous un angle \(\widehat{BAC}=30°\) (le point \(A\) étant sur le grand arc \(\overset{\frown}{BC}\)).

1) Détermine la mesure de l'angle au centre \(\widehat{BOC}\).

2) Démontre que le triangle \(BOC\) est équilatéral.

3) Déduis-en le rayon \(R\) de la fontaine.

4) Calcule l'aire du disque formé par la fontaine, puis la longueur de sa bordure, au centième près.

Soit \(\mathcal{C}\) un cercle de centre \(O\) et de rayon 4 cm. Les points \(A\) et \(B\) sont sur \(\mathcal{C}\) avec \(\widehat{AOB}=120^\circ\). On appelle petit arc \(AB\) l'arc de mesure 120° et grand arc \(AB\) l'autre arc. Le point \(M\) est le point de \(\mathcal{C}\) diamétralement opposé à \(B\) ; il est situé sur le grand arc. Le point \(N\) est un point du petit arc, distinct de \(A\) et \(B\). Enfin, \([Ax)\) est la demi-tangente à \(\mathcal{C}\) en \(A\) située dans le demi-plan de frontière \((AB)\) qui ne contient pas \(O\).

1) Détermine la mesure de l'angle inscrit \(\widehat{AMB}\), puis celle de \(\widehat{ANB}\). Justifie.

2) Calcule \(\widehat{OAB}\), puis démontre que l'angle \(\widehat{xAB}\) formé par la corde \([AB]\) et la demi-tangente \([Ax)\) mesure 60°. Compare avec \(\widehat{AOB}\).

3) En appliquant le théorème des sinus dans le triangle \(AMB\), calcule la longueur \(AB\).

4) Justifie que le triangle \(AMB\) est rectangle en \(A\). Calcule \(MA\), puis l'aire du triangle \(AMB\) de deux façons différentes.

5) Justifie que tout point \(P\) du grand arc \(AB\), distinct de \(A\) et \(B\), vérifie \(\widehat{APB}=60^\circ\). Décris l'ensemble de tous les points \(P\) du plan tels que \(\widehat{APB}=60^\circ\).

Des géomètres veulent connaître la largeur d'un fleuve. Sur une rive rectiligne, ils plantent deux jalons \(A\) et \(B\) distants de 100 m. Sur l'autre rive, ils visent un grand arbre \(C\). Ils mesurent \(\widehat{CAB}=30^\circ\) et \(\widehat{ABC}=120^\circ\). On rappelle que \(\sin 120^\circ=\sin 60^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\).

1) Calcule la mesure de l'angle \(\widehat{ACB}\). Déduis-en la nature du triangle \(ABC\) et la distance \(BC\).

2) À l'aide du théorème des sinus, calcule la distance \(AC\) (valeur exacte, puis arrondi au dixième).

3) Calcule l'aire du triangle \(ABC\).

4) La largeur du fleuve est la distance \(h\) du point \(C\) à la droite \((AB)\). Démontre que \(h=50\sqrt{3}\) m et donne un arrondi au mètre.

5) On note \(\Gamma\) le cercle circonscrit au triangle \(ABC\), de centre \(O\) et de rayon \(R\). Calcule \(R\) par le théorème des sinus. Retrouve ce résultat en calculant l'angle au centre \(\widehat{AOB}\) et en étudiant le triangle \(AOB\).

Soit \(ABC\) un triangle tel que \(\widehat{BAC}=60^\circ\), \(\widehat{ABC}=70^\circ\), \(\widehat{ACB}=50^\circ\) et \(BC=6\) cm. Ses trois angles étant aigus, les pieds des hauteurs sont sur les côtés : on note \(B'\) le pied de la hauteur issue de \(B\) (sur \([AC]\)), \(C'\) le pied de la hauteur issue de \(C\) (sur \([AB]\)) et \(H\) l'orthocentre du triangle.

1) Démontre que les points \(B\), \(C\), \(B'\) et \(C'\) sont sur un même cercle \(\Gamma\) dont tu préciseras le centre et le rayon.

2) Calcule \(\widehat{C'CB}\), puis justifie que \(\widehat{C'B'B}=20^\circ\).

3) Démontre que \(\widehat{AB'C'}=\widehat{ABC}\).

4) Démontre que les points \(A\), \(C'\), \(H\) et \(B'\) sont cocycliques, puis calcule la mesure de l'angle \(\widehat{C'HB'}\).

5) Calcule \(\widehat{ABB'}\). En appliquant le théorème des sinus dans le triangle \(BB'C'\) inscrit dans \(\Gamma\), calcule la longueur \(B'C'\). Calcule aussi le rayon du cercle circonscrit au triangle \(ABC\).

Soit \(ABC\) un triangle tel que \(AB=8\) cm, \(AC=5\) cm et \(\widehat{BAC}=60^\circ\). On note \(\Gamma\) son cercle circonscrit, de centre \(O\) et de rayon \(R\). La bissectrice de l'angle \(\widehat{BAC}\) recoupe \(\Gamma\) en un point \(D\).

1) En utilisant le produit scalaire, calcule \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\). En écrivant \(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\), démontre que \(BC^2=AB^2+AC^2-2\,\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\) et déduis-en \(BC\).

2) Calcule l'aire \(\mathcal{A}\) du triangle \(ABC\), puis la distance du point \(A\) à la droite \((BC)\).

3) Calcule le rayon \(R\) du cercle \(\Gamma\).

4) Calcule \(\sin\widehat{ABC}\) et \(\sin\widehat{ACB}\), puis vérifie la valeur de l'aire trouvée à la question 2 à l'aide de \(\sin\widehat{ABC}\).

5) Justifie que \(D\) est le milieu de l'arc \(BC\) qui ne contient pas \(A\), c'est-à-dire que \(DB=DC\). Calcule \(\widehat{BDC}\), puis \(DB\), et compare \(DB\) à \(R\).