Vecteurs de l’espace

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) $\vec u(3;4)$ et $\vec v(4;-3)$. $\vec u\cdot\vec v$ vaut :
a) $0$   b) $24$   c) $-24$   d) $25$

2) Deux vecteurs $\vec u$, $\vec v$ sont colinéaires si et seulement si :
a) $\vec u\cdot\vec v=0$   b) $\det(\vec u,\vec v)=0$   c) $\|\vec u\|=\|\vec v\|$   d) $\vec u\cdot\vec v=1$

3) $\vec u(5;12)$, $\vec v(12;-5)$. Ces deux vecteurs sont :
a) colinéaires   b) orthogonaux   c) ni l'un ni l'autre   d) égaux

4) $\vec u(1;0)$, $\vec v(0;1)$. $\sin(\vec u,\vec v)$ vaut :
a) $0$   b) $-1$   c) $1$   d) $\dfrac12$

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) Soit $A(1;2;-1)$ et $B(3;-1;2)$. Les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$ sont :
a) $(2;-3;3)$   b) $(2;3;3)$   c) $(4;1;1)$   d) $(-2;3;-3)$

2) Une droite $D$ dirigée par $\vec u(2;-1;3)$ et passant par $A(0;1;-2)$ admet pour représentation paramétrique :
a) $\begin{cases}x=2t\\y=1-t\\z=-2+3t\end{cases}$   b) $\begin{cases}x=2t\\y=1+t\\z=-2-3t\end{cases}$   c) $\begin{cases}x=t\\y=1-2t\\z=-2+3t\end{cases}$   d) $\begin{cases}x=2t\\y=-1+t\\z=3-2t\end{cases}$

3) Les vecteurs $\vec u(1;2;0)$, $\vec v(0;1;1)$, $\vec w(1;5;3)$ sont :
a) coplanaires, avec $\vec w=\vec u+3\vec v$   b) coplanaires, avec $\vec w=2\vec u+\vec v$   c) non coplanaires   d) colinéaires deux à deux

4) Le plan $P$ a pour équation $3x-2y+z-5=0$. Le point $M(1;2;4)$ appartient-il à $P$ ?
a) Non, car $3(1)-2(2)+4-5=-2\neq0$   b) Oui   c) Non, car $M$ n'a pas 3 coordonnées   d) Impossible à déterminer

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) Soit $\vec u(1;2;-2)$ et $\vec v(2;-1;0)$. Ces deux vecteurs sont :
a) orthogonaux, car $\vec u\cdot\vec v=0$   b) colinéaires   c) égaux   d) coplanaires seulement

2) Soit $A(1;0;0)$ et $B(4;4;3)$. La distance $AB$ vaut :
a) $\sqrt{34}$   b) $34$   c) $10$   d) $\sqrt{10}$

3) Le plan $P:\ 3x-y+2z-4=0$ a pour vecteur normal :
a) $(3;-1;2)$   b) $(3;1;2)$   c) $(-3;-1;2)$   d) $(3;-1;-2)$

4) Deux plans ont pour vecteurs normaux $\vec n_1(1;2;-1)$ et $\vec n_2(3;-1;1)$. Ces deux plans sont :
a) perpendiculaires, car $\vec n_1\cdot\vec n_2=0$   b) parallèles   c) confondus   d) ni perpendiculaires ni parallèles

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) Soit $\vec u(4;6)$ et $\vec v(2;3)$. $\vec u$ et $\vec v$ sont :
a) colinéaires   b) orthogonaux   c) ni l'un ni l'autre   d) égaux

2) $A(1;2)$, $B(5;8)$. Les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ sont :
a) $(4;6)$   b) $(6;10)$   c) $(4;10)$   d) $(-4;-6)$

3) Soit $A(2;-1)$, $B(6;3)$. Le milieu $I$ de $[AB]$ a pour coordonnées :
a) $(4;1)$   b) $(8;2)$   c) $(2;2)$   d) $(4;2)$

4) Trois points $A,B,C$ sont alignés si et seulement si :
a) $\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=0$   b) $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=0$   c) $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}$   d) $\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=1$

Exercice 2 — Situation d'intégration

Un technicien de télécommunications installe deux antennes directionnelles sur un pylône. Dans un repère orthonormé direct lié au pylône (unité : mètre), les directions de rayonnement des deux antennes sont données par $\vec u(6;8)$ et $\vec v(-8;6)$.

Consigne : Calculer $\vec u\cdot\vec v$ et $\det(\vec u,\vec v)$, en déduire $\cos\theta$ et $\sin\theta$ où $\theta=(\vec u,\vec v)$, puis déterminer si les deux antennes rayonnent dans des directions orthogonales, comme l'exige le cahier des charges du fournisseur pour éviter les interférences.

Exercice 2 — Situation d'intégration

Un ingénieur installe un pylône de télécommunication, modélisé par une droite $D$ de l'espace. Le pied du pylône est au point $A(0;0;0)$ (au sol) et le pylône est dirigé par le vecteur $\vec u(1;2;12)$ (la troisième coordonnée représente l'altitude en mètres).

Consigne :

1) Donner une représentation paramétrique de $D$.

2) Un technicien doit fixer un hauban au point du pylône situé à $24$ m d'altitude ($z=24$). Déterminer les coordonnées $x$ et $y$ de ce point.

3) Un second pylône identique est installé au point $B(10;0;0)$, dirigé par le même vecteur $\vec u$. Les droites représentant les deux pylônes sont-elles parallèles ? Sécantes ? Justifier.

Exercice 2 — Situation d'intégration

Un géomètre vérifie l'alignement de trois bornes délimitant un terrain agricole avant la construction d'une clôture rectiligne. Dans un repère où les distances sont en mètres : $A(2;3)$, $B(14;11)$, $C(20;15)$.

Consigne : 1) Calculer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$. 2) Les trois bornes sont-elles alignées ? Justifier par le calcul du déterminant. 3) Une quatrième borne $D$ doit être placée telle que $\overrightarrow{BD}=\dfrac32\overrightarrow{BA}$. Calculer les coordonnées de $D$.

Problème — Dans le plan muni d'un repère orthonormé direct, on donne $A(0;0)$, $B(6;2)$, $C(1;7)$.

Partie A. 1) Calculer les coordonnées des vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$. 2) Calculer $\vec{AB}\cdot\vec{AC}$ et $\det(\vec{AB},\vec{AC})$. 3) En déduire $\cos(\widehat{BAC})$ et $\sin(\widehat{BAC})$, puis une valeur approchée de l'angle $\widehat{BAC}$ en degrés (arrondie à l'unité).

Partie B. 1) Le triangle $ABC$ est-il rectangle en $A$ ? Justifier à l'aide du produit scalaire. 2) Le couple $(\vec{AB},\vec{AC})$ forme-t-il une base directe ou indirecte du plan ? Justifier à partir du signe du déterminant.

Partie A. Soit $A(2;-1;3)$, $B(0;1;1)$, $C(3;1;4)$.

1) Calculer la distance $AB$.

2) Calculer $\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB}$. Le triangle $ABC$ est-il rectangle en $A$ ?

Partie B. Soit $P:\ x-2y+2z-3=0$ et $Q:\ 2x+y-z+1=0$.

3) Déterminer les vecteurs normaux de $P$ et de $Q$.

4) Les plans $P$ et $Q$ sont-ils perpendiculaires ?

\(ABCDEFGH\) est un cube d'arête 1 : \(ABCD\) et \(EFGH\) sont deux faces opposées et \([AE]\), \([BF]\), \([CG]\), \([DH]\) sont des arêtes. L'espace est muni du repère orthonormé \(\left(A\,;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE}\right)\). On note \(I\) le milieu de \([EF]\), \(J\) le milieu de \([BC]\) et \(K\) le milieu de \([DH]\).

1) Donne les coordonnées des huit sommets du cube, puis celles des points \(I\), \(J\) et \(K\).

2) Démontre que le triangle \(IJK\) est équilatéral et donne la longueur de son côté.

3) On note \(L\) le centre de gravité du triangle \(IJK\) ; on rappelle que \(\overrightarrow{AL}=\dfrac{1}{3}\left(\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{AJ}+\overrightarrow{AK}\right)\). Calcule les coordonnées de \(L\), puis démontre que \(L\) est le milieu du segment \([AG]\).

4) Démontre que le vecteur \(\overrightarrow{AG}\) est orthogonal aux vecteurs \(\overrightarrow{IJ}\) et \(\overrightarrow{IK}\). Déduis-en, sans utiliser les coordonnées de \(\overrightarrow{JK}\), qu'il est aussi orthogonal à \(\overrightarrow{JK}\).

5) Calcule le produit scalaire \(\overrightarrow{IJ}\cdot\overrightarrow{IK}\) de deux façons : avec les coordonnées, puis avec les longueurs et l'angle du triangle \(IJK\).

6) Démontre que le triangle \(ALI\) est rectangle en \(L\), puis calcule la distance \(AI\) de deux façons.

L'espace est muni d'un repère \(\left(O\,;\vec{i},\vec{j},\vec{k}\right)\). On considère les points \(A(1\,;2\,;-1)\), \(B(3\,;1\,;2)\), \(C(0\,;4\,;1)\) et \(E(7\,;-1\,;8)\).

1) Calcule les coordonnées des vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\), puis démontre que les points \(A\), \(B\) et \(C\) ne sont pas alignés.

2) Démontre que le point \(E\) appartient à la droite \((AB)\).

3) Soit \(t\) un réel et \(D\) le point de coordonnées \((9\,;-5\,;t)\). Détermine la valeur de \(t\) pour laquelle il existe deux réels \(a\) et \(b\) tels que \(\overrightarrow{AD}=a\,\overrightarrow{AB}+b\,\overrightarrow{AC}\) ; précise \(a\) et \(b\). Que peux-tu dire alors des points \(A\), \(B\), \(C\) et \(D\) ?

4) Dans cette question, \(t\) a la valeur trouvée à la question 3. Démontre, à partir de l'égalité vectorielle obtenue, que \(\overrightarrow{BD}=2\,\overrightarrow{CB}\), puis contrôle ce résultat avec les coordonnées. Que peux-tu en conclure pour les points \(B\), \(C\) et \(D\) ?

5) Le point \(F(2\,;3\,;5)\) est-il dans le même plan que \(A\), \(B\) et \(C\) ? Justifie, puis détermine la cote \(z\) pour laquelle le point de coordonnées \((2\,;3\,;z)\) est dans ce plan.

Pour abriter la cour d'un centre de formation, on tend une toile entre quatre points d'attache \(A\), \(B\), \(C\) et \(D\). L'espace est muni d'un repère orthonormé \(\left(O\,;\vec{i},\vec{j},\vec{k}\right)\) d'unité le mètre ; le sol est l'ensemble des points de cote 0 et le vecteur \(\vec{k}\) est vertical, dirigé vers le haut. Les points d'attache sont \(A(0\,;0\,;6)\), \(B(4\,;0\,;3)\), \(C(4\,;5\,;3)\) et \(D(0\,;5\,;6)\).

1) Calcule les coordonnées des vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{DC}\). Déduis-en que les quatre points sont dans un même plan et précise la nature du quadrilatère \(ABCD\).

2) Démontre que \(ABCD\) est un carré, puis calcule l'aire de la toile.

3) On note \(M\) le centre de ce carré. Calcule ses coordonnées. Un poteau vertical planté dans le sol soutient la toile au point \(M\) : quelle est sa hauteur ?

4) Un câble fixé en \(B\) prolonge le côté \([AB]\) jusqu'à un point \(T\) du sol : \(T\) est sur la droite \((AB)\) et sa cote est nulle. Détermine les coordonnées de \(T\), puis la longueur \(BT\) du câble.

5) Un projecteur est installé au point \(P(-1\,;2{,}5\,;0{,}5)\) et dirigé vers \(M\). Démontre que le vecteur \(\overrightarrow{MP}\) est orthogonal aux vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AD}\), puis à \(\overrightarrow{AC}\). Calcule la distance \(MP\) et interprète ces résultats.

L'espace est muni d'un repère orthonormé \(\left(O\,;\vec{i},\vec{j},\vec{k}\right)\). On considère les points \(A(1\,;-1\,;2)\), \(B(7\,;5\,;-1)\) et \(C(4\,;-1\,;-1)\).

1) Calcule les coordonnées des vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\), le produit scalaire \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\) et les distances \(AB\) et \(AC\).

2) Déduis-en la valeur exacte du cosinus de l'angle géométrique \(\widehat{BAC}\), puis la mesure de cet angle.

3) Soit \(t\) un réel et \(M\) le point de la droite \((AB)\) défini par \(\overrightarrow{AM}=t\,\overrightarrow{AB}\). Exprime les coordonnées de \(M\) en fonction de \(t\), puis démontre que \(\overrightarrow{CM}\cdot\overrightarrow{AB}=81t-27\).

4) Déduis-en les coordonnées du point \(H\) de la droite \((AB)\) tel que les droites \((CH)\) et \((AB)\) soient perpendiculaires, puis calcule la distance \(CH\).

5) Démontre que, pour tout réel \(t\), \(CM^2=81\left(t-\dfrac{1}{3}\right)^2+9\). Justifie que \(H\) est le point de la droite \((AB)\) le plus proche de \(C\).

6) Calcule l'aire du triangle \(ABC\).