Première C · Leçon 8
Suites numériques
Ce que dit le programme officiel (22 points)
- Définition d’une suite numérique
- Définition d’une suite arithmétique
- Définition d’une suite géométrique
- Expression du terme général d’une suite arithmétique en fonction d’un terme quelconque de cette suite
- Expression du terme général d’une suite géométrique en fonction d’un terme quelconque de cette suite
- Somme de n termes consécutifs d’une suite arithmétique
- Somme de n termes consécutifs d’une suite géométrique
- Propriété relative au sens de variation d’une suite numérique
- Reconnaître une suite définie par une formule explicite
- Reconnaître une suite définie par une formule de récurrence
- Calculer des termes d’une suite.
- Calculer une somme de termes consécutifs d’une suite arithmétique
- Calculer une somme de termes consécutifs d’une suite géométrique
- Calculer un terme de rang quelconque d’une suite arithmétique connaissant un terme et la raison
- Calculer un terme de rang quelconque d’une suite géométrique connaissant un terme et la raison
- Représenter graphiquement des termes d’une suite définie par une formule de récurrence
- Déterminer la raison d’une suite arithmétique
- Déterminer la raison d’une suite géométrique
- Justifier qu’une suite est croissante, décroissante, constante
- Justifier qu’une suite est arithmétique
- Justifier qu’une suite est géométrique
- Traiter une situation faisant appel aux suites numériques
Source : Programme éducatif Première C, DPFC, version CND 0923
Suites : définition, modes de génération
Une suite \((u_n)\) associe à chaque indice (ou rang) \(n\in\mathbb N\) un terme \(u_n\). On distingue :
• \(u_n=f(n)\), pour une fonction \(f\) définie sur \(\mathbb N\) ;
• une suite définie par récurrence : \(u_0\) donné, et
\(u_{n+1}=f(u_n)\).
Soit \(u_0=2\) et, pour tout \(n\), \(u_{n+1}=2u_n-1\). Calcul de proche en proche :
\[ u_1=2\times2-1=3,\quad u_2=2\times3-1=5,\quad u_3=2\times5-1=9,\quad u_4=2\times9-1=17. \]On observera au chapitre suivant, par un raisonnement rigoureux, que \(u_n=2^n+1\) pour tout \(n\).
Figure — Nuage de points de la suite \(u_0=2\), \(u_{n+1}=2u_n-1\)
La croissance s'accélère nettement : chaque terme est proche du double du précédent.
- La somme \(S_n=u_0+u_1+\cdots+u_n\) compte \(n+1\) termes, pas \(n\) — une erreur fréquente est d'utiliser \(n\) dans la formule au lieu de \(n+1\).
- Une suite géométrique de raison négative change de signe à chaque terme : elle n'est ni croissante ni décroissante, contrairement à une suite arithmétique de raison négative, qui elle est toujours décroissante.
Suites arithmétiques : terme général et somme
\((u_n)\) est arithmétique de raison \(a\) si \(u_{n+1}=u_n+a\) : \(u_p=u_0+pa\). \((u_n)\) est géométrique de raison \(b\) si \(u_{n+1}=b\,u_n\) : \(u_p=u_0\,b^p\). En notant \(\displaystyle S_n=\sum_{k=0}^nu_k\) (somme des \(n+1\) premiers termes) :
\[ \text{arithmétique : } S_n=(n+1)\dfrac{u_0+u_n}2, \qquad \text{géométrique } (b\neq1) \text{ : } S_n=u_0\dfrac{b^{n+1}-1}{b-1}. \]Cas particuliers (premier terme \(1\)) :
\[ 1+2+\cdots+n=\dfrac{n(n+1)}2, \qquad 1+b+b^2+\cdots+b^n=\dfrac{b^{n+1}-1}{b-1}. \]Arithmétique. \(u_0=4\), \(a=5\) : \(u_{10}=4+50=54\). \(S_{10}=11\times\dfrac{4+54}2=11\times29=319\).
Géométrique. \(u_0=3\), \(b=2\) : \(u_6=3\times64=192\). \(S_6=3\times\dfrac{2^7-1}{2-1}=3\times127=381\).
Suites monotones, majorées, minorées, bornées
\((u_n)\) est majorée par \(M\) si \(u_n\leqslant M\) pour tout \(n\) ; minorée par \(m\) si \(u_n\geqslant m\) pour tout \(n\). Elle est croissante si \(u_{n+1}\geqslant u_n\), décroissante si \(u_{n+1}\leqslant u_n\), périodique de période \(p\) si \(u_{n+p}=u_n\) pour tout \(n\).
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Voir les offresFigure — \(v_n=\dfrac n{n+1}\), majorée par \(1\)
Les termes se rapprochent de \(1\) sans jamais l'atteindre : \(1\) est un majorant de la suite.
Suites récurrentes uₙ₊₁ = f(uₙ) et point fixe
Un capital placé à la banque, une population qui évolue d'une année sur l'autre, le niveau d'eau d'un réservoir que l'on remplit et vide chaque jour : dans toutes ces situations, on ne connaît pas directement la valeur à une date quelconque, mais on sait passer d'une valeur à la suivante. C'est exactement ce que décrit une suite définie par récurrence.
Soit \(f\) une fonction. Une suite \((u_n)\) est définie par récurrence lorsque l'on donne :
- son premier terme, par exemple \(u_0\) ;
- une relation de récurrence \(u_{n+1}=f(u_n)\), valable pour tout entier naturel \(n\), qui permet de calculer chaque terme à partir du précédent.
Les termes s'obtiennent alors de proche en proche : \(u_1=f(u_0)\), puis \(u_2=f(u_1)\), puis \(u_3=f(u_2)\), et ainsi de suite.
Deux façons de définir une suite, à ne pas confondre. Avec une formule explicite \(u_n=g(n)\), on calcule directement n'importe quel terme à partir de son rang : pour \(u_n=n^2-2\), on a tout de suite \(u_{10}=98\). Avec une relation de récurrence, on applique la fonction au terme précédent, pas au rang : pour obtenir \(u_{10}\), il faut d'abord calculer \(u_1\), \(u_2\), …, \(u_9\).
Des suites déjà connues. Une suite arithmétique de raison \(r\) est définie par \(u_{n+1}=u_n+r\) : c'est une suite récurrente, avec \(f(x)=x+r\). Une suite géométrique de raison \(q\) est définie par \(u_{n+1}=q\,u_n\), avec \(f(x)=qx\).
Calculer les premiers termes. On part du premier terme et l'on applique la relation autant de fois qu'il le faut, en présentant les résultats dans un tableau à deux lignes (le rang \(n\), le terme \(u_n\)). À la calculatrice, on saisit le premier terme, puis on répète le même calcul sur le dernier résultat.
Traduire une situation. On appelle \(u_n\) la quantité étudiée à l'étape \(n\) et l'on écrit ce qui se passe entre l'étape \(n\) et l'étape \(n+1\). Une augmentation de 5 % multiplie par 1,05 ; un ajout fixe s'additionne.
Étudier le sens de variation. On calcule la différence \(u_{n+1}-u_n\) en remplaçant \(u_{n+1}\) par \(f(u_n)\), et l'on étudie son signe. Si elle est positive pour tout \(n\), la suite est croissante ; si elle est négative pour tout \(n\), la suite est décroissante.
Cas d'une suite constante. Si le premier terme \(u_0\) est une solution de l'équation \(f(x)=x\), alors \(u_1=f(u_0)=u_0\), puis \(u_2=u_0\), etc. : tous les termes sont égaux à \(u_0\).
Énoncé. a) La suite \((u_n)\) est définie par \(u_0=1\) et \(u_{n+1}=2u_n+3\). Calculer \(u_1\) à \(u_5\), puis étudier le sens de variation de la suite. b) On place 100 000 francs sur un compte qui rapporte 5 % par an, et l'on y ajoute 20 000 francs à la fin de chaque année. On note \(c_n\) le capital après \(n\) années. Écrire la relation de récurrence et calculer \(c_3\).
Solution : a) \(u_1=2\times 1+3=5\) ; \(u_2=2\times 5+3=13\) ; \(u_3=2\times 13+3=29\) ; \(u_4=2\times 29+3=61\) ; \(u_5=2\times 61+3=125\).
Pour tout \(n\), \(u_{n+1}-u_n=2u_n+3-u_n=u_n+3\). Or tous les termes sont positifs : le premier l'est, et chaque terme s'obtient à partir du précédent en le multipliant par 2 et en ajoutant 3. Donc \(u_{n+1}-u_n\gt 0\) : la suite est croissante.
b) Chaque année, le capital est multiplié par 1,05, puis augmenté de 20 000 : \(c_0=100\,000\) et \(c_{n+1}=1{,}05\,c_n+20\,000\). On calcule \(c_1=125\,000\), \(c_2=1{,}05\times 125\,000+20\,000=151\,250\), puis \(c_3=1{,}05\times 151\,250+20\,000=178\,812{,}5\). Après trois ans, le capital est de 178 812,5 francs.
Première représentation : les points \((n\,;u_n)\). On place dans un repère les points d'abscisse le rang et d'ordonnée le terme. On ne les relie pas : une suite n'est définie que pour les entiers.
Seconde représentation : la construction « en escalier ». Elle place les termes sur l'axe des abscisses sans aucun calcul. On trace la courbe \(\mathcal C\) de la fonction \(f\) et la droite \(\Delta\) d'équation \(y=x\).
- On place \(u_0\) sur l'axe des abscisses.
- On monte (ou l'on descend) verticalement jusqu'à la courbe \(\mathcal C\) : le point atteint a pour ordonnée \(f(u_0)=u_1\).
- On se déplace horizontalement jusqu'à la droite \(\Delta\) : le point atteint a pour abscisse \(u_1\). On reporte \(u_1\) sur l'axe des abscisses.
- On recommence à partir de \(u_1\) pour obtenir \(u_2\), et ainsi de suite.
La droite \(\Delta\) sert à « rabattre » une ordonnée sur l'axe des abscisses. Les abscisses des points où \(\mathcal C\) coupe \(\Delta\) sont les solutions de \(f(x)=x\) : ce sont les valeurs de \(u_0\) pour lesquelles la suite est constante.
Figure — La construction en escalier pour u₀ = 1 et f(x) = 0,5x + 2
En bleu marine, la droite d'équation y = 0,5x + 2 (courbe de f) ; en or, la droite d'équation y = x. Le trajet bleu part de 1 sur l'axe des abscisses, monte jusqu'à la courbe, rejoint horizontalement la droite dorée, et recommence. Les traits verticaux en pointillés reportent sur l'axe les termes 1 ; 2,5 ; 3,25 ; 3,625. Les marches se resserrent près du point d'intersection des deux droites, d'abscisse 4.
Énoncé. La suite \((u_n)\) est définie par \(u_0=1\) et \(u_{n+1}=0{,}5\,u_n+2\). a) Calculer \(u_1\) à \(u_5\). b) Que suggère la construction en escalier de la figure ci-dessus ? c) Que devient la suite si l'on prend \(u_0=4\) ? et \(u_0=6\) ?
Solution : a) \(u_1=0{,}5\times 1+2=2{,}5\) ; \(u_2=0{,}5\times 2{,}5+2=3{,}25\) ; \(u_3=3{,}625\) ; \(u_4=3{,}8125\) ; \(u_5=3{,}90625\).
b) Les termes reportés sur l'axe des abscisses avancent vers la droite : la suite semble croissante. Les marches sont de plus en plus petites et les termes s'approchent de 4, abscisse du point d'intersection des deux droites, sans le dépasser. Le calcul du a) va dans le même sens. Ce sont des observations : le graphique ne constitue pas une démonstration.
c) L'équation \(f(x)=x\) s'écrit \(0{,}5x+2=x\), soit \(x=4\). Avec \(u_0=4\), on trouve \(u_1=0{,}5\times 4+2=4\), puis \(u_2=4\)… : la suite est constante. Avec \(u_0=6\), on obtient \(u_1=5\), \(u_2=4{,}5\), \(u_3=4{,}25\) : cette fois les termes diminuent en s'approchant de 4. Le premier terme change le comportement de la suite.
Figure — Les points (n ; uₙ) de la même suite
Les six premiers termes de la suite de l'exemple 2, représentés par les points de coordonnées (0 ; 1), (1 ; 2,5), (2 ; 3,25), (3 ; 3,625), (4 ; 3,8125) et (5 ; 3,90625). Les points montent de moins en moins vite et se rapprochent de la droite en pointillés d'équation y = 4. On ne relie pas les points.
Énoncé. On reprend la suite définie par \(u_0=1\) et \(u_{n+1}=0{,}5\,u_n+2\). Pour tout entier naturel \(n\), on pose \(v_n=u_n-4\). a) Montrer que la suite \((v_n)\) est géométrique. b) En déduire l'expression de \(u_n\) en fonction de \(n\), puis calculer \(u_{10}\).
Solution : a) Pour tout \(n\), \(v_{n+1}=u_{n+1}-4=0{,}5\,u_n+2-4=0{,}5\,u_n-2=0{,}5\,(u_n-4)=0{,}5\,v_n\). La suite \((v_n)\) est donc géométrique de raison 0,5 ; son premier terme est \(v_0=u_0-4=-3\).
b) On en déduit \(v_n=-3\times 0{,}5^{\,n}\), puis \(u_n=v_n+4\), c'est-à-dire
\[u_n=4-3\times 0{,}5^{\,n}.\]Vérification : pour \(n=1\), la formule donne \(4-1{,}5=2{,}5\), valeur trouvée à l'exemple 2. Enfin \(u_{10}=4-\dfrac{3}{1024}\approx 3{,}997\). On a obtenu \(u_{10}\) sans calculer les neuf termes qui le précèdent : c'est tout l'intérêt d'une formule explicite. Le nombre 4 retranché n'est pas choisi au hasard : c'est la solution de \(f(x)=x\).
Appliquer la fonction au rang. Pour \(u_0=3\) et \(u_{n+1}=u_n^{\,2}-2\), on a \(u_1=3^2-2=7\) et \(u_2=7^2-2=47\). Écrire \(u_2=2^2-2=2\) revient à utiliser la formule explicite \(u_n=n^2-2\), qui définit une autre suite.
Confondre \(u_{n+1}\) et \(u_n+1\). \(u_{n+1}\) est le terme qui suit \(u_n\) ; \(u_n+1\) est le terme \(u_n\) augmenté de 1. Pour la suite de l'exemple 1, \(u_1=5\) alors que \(u_0+1=2\).
Oublier le premier terme. La relation de récurrence seule ne définit pas la suite : avec la même relation, \(u_0=1\), \(u_0=4\) et \(u_0=6\) donnent trois suites différentes (exemple 2).
Prendre une lecture graphique pour une preuve. Le graphique permet de conjecturer le sens de variation ; pour le démontrer, on étudie le signe de \(u_{n+1}-u_n\).
Résumé
Un premier terme et une relation \(u_{n+1}=f(u_n)\) : chaque terme se calcule à partir du précédent.
De proche en proche : \(u_1=f(u_0)\), \(u_2=f(u_1)\)… On ne remplace pas \(n\) dans \(f\).
On étudie le signe de \(u_{n+1}-u_n=f(u_n)-u_n\).
Courbe de \(f\) et droite \(y=x\) : verticale jusqu'à la courbe, horizontale jusqu'à la droite.
Si \(f(u_0)=u_0\), tous les termes sont égaux à \(u_0\).
\(u_n=f(n)\), ou récurrence \(u_0\) + \(u_{n+1}=f(u_n)\).
\(u_p=u_0+pa\) ; \(S_n=(n+1)\dfrac{u_0+u_n}2\).
\(u_p=u_0b^p\) ; \(S_n=u_0\dfrac{b^{n+1}-1}{b-1}\).
\(1+\cdots+n=\dfrac{n(n+1)}2\) ; \(1+b+\cdots+b^n=\dfrac{b^{n+1}-1}{b-1}\).
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Question 1. Soit \(f(x)=2x+3\) et \(u_n=f(n)\). Calculer \(u_0\), \(u_1\), \(u_4\).
\(u_0=3\), \(u_1=5\), \(u_4=11\).
Question 2. Une suite arithmétique a pour premier terme \(u_0=7\) et pour raison \(a=-2\). Calculer \(u_{15}\) et \(S_{15}\).
\(u_{15}=7-30=-23\). \(S_{15}=16\times\dfrac{7+(-23)}2=16\times(-8)=-128\).
Question 3. Une suite géométrique a pour premier terme \(u_0=5\) et pour raison \(b=3\). Calculer \(u_4\) et \(S_4\).
\(u_4=5\times81=405\). \(S_4=5\times\dfrac{3^5-1}{3-1}=5\times121=605\).
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