Première C · Leçon 12

Géométrie analytique du plan

Ce que dit le programme officiel (6 points)

Vecteur normal à une droite
Vecteurs normaux de deux droites parallèles
Vecteurs normaux de deux droites perpendiculaires
Équation cartésienne de la droite définie par un point et un vecteur normal
Distance d’un point à une droite
Calcul de la distance d’un point à une droite dont une équation cartésienne est donnée

Source : Programme éducatif Première C, DPFC, version CND 0923

Produit scalaire dans le plan : définitions et propriétés

Rappel de Seconde

Définition — Produit scalaire (par projection)

Soit \(\vec u=\overrightarrow{OA}\) et \(\vec v=\overrightarrow{OB}\), et \(H\) le projeté orthogonal de \(B\) sur la droite \((OA)\). Le produit scalaire de \(\vec u\) et \(\vec v\) est le réel :

\[ \vec u \cdot \vec v = \overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OH}. \]

(produit des mesures algébriques si \(\overrightarrow{OA}\) et \(\overrightarrow{OH}\) sont colinéaires — positif si de même sens, négatif sinon).

Formule avec l'angle, caractérisation de l'orthogonalité \[ \vec u \cdot \vec v = \|\vec u\|\,\|\vec v\|\,\cos\theta, \qquad \theta = (\widehat{\vec u,\vec v}). \]

En particulier, \(\vec u \cdot \vec v = 0 \iff \vec u \perp \vec v\) (ou l'un des deux vecteurs est nul) : c'est la caractérisation de l'orthogonalité la plus utilisée en pratique.

Propriétés — Symétrie, linéarité

\(\vec u\cdot\vec v = \vec v\cdot\vec u\) (symétrie). Pour tous réels \(a,b\) : \((a\vec u)\cdot\vec v = a(\vec u\cdot\vec v)\) et \(\vec u\cdot(\vec v+\vec w)=\vec u\cdot\vec v+\vec u\cdot\vec w\) (linéarité). Enfin \(\vec u\cdot\vec u = \|\vec u\|^2\) (noté aussi \(\vec u^{\,2}\)).

Droites : représentation paramétrique, équation cartésienne, parallélisme, orthogonalité

Rappel de Seconde

Définitions — Vecteur directeur, représentation paramétrique

Un vecteur directeur d'une droite \(d\) est un vecteur non nul colinéaire à \(d\). Si \(A(x_A;y_A)\in d\) et \(\vec u(a;b)\) est un vecteur directeur, un point \(M(x;y)\) appartient à \(d\) si et seulement s'il existe \(t\in\mathbb{R}\) tel que :

\[ \begin{cases} x = x_A + ta \\ y = y_A + tb \end{cases} \]

C'est une représentation paramétrique de \(d\).

Équation cartésienne, coefficient directeur

En éliminant \(t\), on obtient une équation cartésienne de la forme \(\alpha x+\beta y+\gamma=0\), avec \(\vec u(-\beta;\alpha)\) vecteur directeur. Si \(\beta\ne0\), on peut écrire \(y=mx+p\) avec \(m=-\alpha/\beta\) le coefficient directeur : \(\vec u(1;m)\) est alors un vecteur directeur.

Méthode — Parallélisme et orthogonalité