Première C · Leçon 16
Orthogonalité dans l’espace
Ce que dit le programme officiel (25 points)
- la définition de deux droites orthogonales
- la définition de l’orthogonalité d’une droite et un plan
- la définition de la projection orthogonale sur une droite, sur un plan
- la définition d’une distance d’un point à un plan
- la définition de deux plans perpendiculaires
- les propriétés de deux droites orthogonales
- les propriétés de deux droites parallèles
- la propriété de l’orthogonalité d’une droite et un plan
- la propriété de deux plans perpendiculaires
- les propriétés caractéristiques de deux plans perpendiculaires
- la propriété d’une distance d’un point à un plan
- la propriété relative au projeté orthogonal du milieu d’un segment
- reconnaître sur une figure donnée que deux droites sont orthogonales
- reconnaître sur une figure donnée qu’une droite et un plan sont orthogonaux
- reconnaître sur une figure donnée que deux plans sont perpendiculaires
- le projeté orthogonal d’un point ; d’une droite ou d’un segment
- l’image du milieu d’un segment par la projection orthogonale sur un plan
- déterminer l’image d’un point ; d’une droite ou d’un segment par une projection orthogonale sur un plan
- démontrer que deux droites sont parallèles
- démontrer que deux droites sont orthogonales
- démontrer qu’une droite est parallèle à un plan
- démontrer qu’une droite est orthogonale à un plan
- démontrer que deux plans sont perpendiculaires
- démontrer que deux plans sont parallèles
- démontrer qu’un point est milieu d’un segment
Source : Programme éducatif Première C, DPFC, version CND 0923
Espace : incidence, parallélisme et orthogonalité (géométrie de position)
Une droite est parallèle à un plan si elle est parallèle à une droite de ce plan. Deux plans sont parallèles s'ils ne se coupent pas (ou sont confondus). Une droite est orthogonale à un plan si elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan — elle est alors orthogonale à toute droite de ce plan.
Pour démontrer qu'une droite est orthogonale à un plan, il suffit de trouver deux droites sécantes de ce plan, chacune orthogonale à la droite étudiée — inutile de vérifier toutes les droites du plan une à une. Ces propriétés serviront directement pour la sphère (XXIV.2) et les sections de polyèdres (XXV).
Distance d'un point à un plan, projeté orthogonal
Réservé aux abonnés Premium et Élève-Classe.
Voir les offresRéservé aux abonnés Premium et Élève-Classe.
Voir les offresUne surface de niveau est l'ensemble des points \(M\) vérifiant une condition donnée. Trois exemples classiques, pour \(\vec u\) vecteur non nul donné et \(a,b,c\) réels donnés :
• \(\overrightarrow{AM}\cdot\vec u=a\) : un plan orthogonal à
\(\vec u\) ;
• \(MA^2+MB^2=b\) : une sphère de centre le milieu de
\([AB]\) (à condition que \(b\) soit assez grand) ;
• \(MA^2-MB^2=c\) : un plan orthogonal à \((AB)\).
Réservé aux abonnés Premium et Élève-Classe.
Voir les offresRéservé aux abonnés Premium et Élève-Classe.
Voir les offresRésumé
Orthogonale à deux droites sécantes du plan ⟹ orthogonale au plan entier.
\(d<R\) : cercle de rayon \(r=\sqrt{R^2-d^2}\).
\(d=R\) : un seul point, plan orthogonal au rayon en ce point.
\(d>R\) : aucune intersection.
Sujet type devoir
Question 1. Sphère de centre \(O\) et de rayon \(R=13\). Un plan \(P_1\) est à distance \(d_1=5\) de \(O\). Quelle est la nature de la section ? Donner son rayon.
\(d_1=5<13=R\) : plan sécant. Rayon \(r=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12\).
Question 2. Un plan \(P_2\) est à distance \(d_2=13\) de \(O\). Quelle est la nature de la section ?
\(d_2=13=R\) : plan tangent à la sphère en un unique point.
Question 3. Un plan \(P_3\) est à distance \(d_3=15\) de \(O\). Quelle est la nature de la section ?
\(d_3=15>13=R\) : plan extérieur à la sphère, aucune intersection.