Première C · Leçon 5
Extension de la notion de limites
Ce que dit le programme officiel (19 points)
- la limite infinie d’une fonction en un point
- la notion d’asymptote verticale
- la limite à l’infini d’une fonction
- la notion d’asymptote horizontale
- la limite à l’infini des fonctions de référence : 𝑥 ⟼ 𝑐 ; 𝑥 ⟼ 𝑥 ; 𝑥 ⟼ 𝑥² ; 𝑥 ⟼ 𝑥³ ; 𝑥 ⟼ √𝑥 ; 𝑥 ⟼ 1/𝑥
- la limite à l’infini des fonctions 𝑥 ⟼ 𝑥ⁿ ; 𝑥 ⟼ 1/𝑥ⁿ (𝑛 ∈ ℕ∗)
- la limite à gauche ou à droite en un point 𝑎 de : 𝑥 ⟼ 1/(𝑥 − 𝑎)
- la limite à gauche ou à droite en un point 𝑎 de : 𝑥 ⟼ 1/(𝑥 − 𝑎)ⁿ (𝑛 ∈ ℕ∗ ∖ {1})
- les propriétés relatives aux opérations sur les limites à l’infini
- la propriété relative à la limite à l’infini d’une fonction polynôme
- la propriété relative à la limite à l’infini d’une fonction rationnelle
- interpréter graphiquement une limite infinie d’une fonction en un point (asymptote verticale)
- graphiquement une limite finie d’une fonction à l’infini (asymptote horizontale)
- calculer les limites à l’infini des fonctions polynômes et des fonctions rationnelles
- les limites aux bornes de l’ensemble de définition d’une fonction
- la limite à droite (respectivement à gauche) en un point 𝑎 d’une fonction rationnelle non définie en 𝑎.
- justifier qu’une droite d’équation 𝑥 = 𝑎 est asymptote verticale à la représentation graphique d’une fonction donnée
- justifier qu’une droite d’équation 𝑦 = 𝑏 est asymptote horizontale à la représentation graphique d’une fonction donnée
- traiter une situation faisant appel à l’extension de la notion de limite
Source : Programme éducatif Première C, DPFC, version CND 0923
Opérations sur les limites et formes indéterminées
Si \(\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\ell\) (fini), \(y=\ell\) est asymptote horizontale. Si \(f\) admet une limite infinie en un réel \(a\), \(x=a\) est asymptote verticale.
Soit \(m(x)=\dfrac{3x-1}{x-2}\), définie sur \(\mathbb R\setminus\{2\}\). En écrivant \(3x-1=3(x-2)+5\) :
\[ m(x)=3+\dfrac5{x-2}. \]Quand \(x\to\pm\infty\), \(m(x)\to3\) (asymptote \(y=3\)). Quand \(x\to2^+\), \(m(x)\to+\infty\) ; quand \(x\to2^-\), \(m(x)\to-\infty\) (asymptote \(x=2\)).
Figure — Courbe de \(m(x)=\dfrac{3x-1}{x-2}\) et ses deux asymptotes
Asymptote verticale \(x=2\) et asymptote horizontale \(y=3\), toutes deux en pointillés.
Les limites d'une somme, d'un produit, d'un inverse, d'un quotient se combinent. Théorème de comparaison : si \(f(x)\geqslant u(x)\) au voisinage de \(+\infty\) et \(\displaystyle\lim u(x)=+\infty\), alors \(\displaystyle\lim f(x)=+\infty\) ; si \(|f(x)|\leqslant u(x)\) au voisinage d'un point et \(\displaystyle\lim u(x)=0\), alors \(\displaystyle\lim f(x)=0\).
Exemple. Pour \(x>0\), \(\left|\dfrac{2+\cos x}x\right|\leqslant\dfrac3x\) (car \(1\leqslant2+\cos x\leqslant3\)), et \(\dfrac3x\to0\), donc par comparaison \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{2+\cos x}x=0\).
Résumé
\(\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\ell\) fini \(\Rightarrow y=\ell\).
Limite infinie en \(a\) \(\Rightarrow x=a\).
\(|f-\ell|\leqslant u\) et \(u\to0\) \(\Rightarrow f\to\ell\).
Même sens ⟹ croissante ; sens opposés ⟹ décroissante.
Sujet type devoir
Question 1. Soit \(s(x)=\dfrac{4x-1}{x+3}\). Écrire \(s(x)\) sous la forme \(4+\dfrac c{x+3}\), puis déterminer ses limites en \(\pm\infty\).
\(4x-1=4(x+3)-13\), donc \(s(x)=4-\dfrac{13}{x+3}\). Limites en \(\pm\infty\) : \(4\) (asymptote \(y=4\)).
Question 2. Déterminer les limites de \(s\) en \((-3)^-\) et \((-3)^+\).
Quand \(x\to(-3)^+\), \(\dfrac{13}{x+3}\to+\infty\), donc \(s(x)\to-\infty\). Quand \(x\to(-3)^-\), \(s(x)\to+\infty\). Asymptote \(x=-3\).
Question 3. Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{3+\sin x}x\).
\(2\leqslant3+\sin x\leqslant4\), donc \(\left|\dfrac{3+\sin x}x\right|\leqslant\dfrac4x\) pour \(x>0\). Comme \(\dfrac4x\to0\), la limite vaut \(0\) par comparaison.