Première C · Leçon 3
Généralités sur les fonctions
Ce que dit le programme officiel (24 points)
- la définition de la restriction d’une fonction sur une partie non vide
- la définition d’une application
- la définition d’une application injective
- la définition d’une application surjective
- la définition d’une application bijective et de sa réciproque
- la définition d’une fonction supérieure ou inférieure à une autre sur un intervalle donné
- la définition de la somme, du produit et du quotient de deux fonctions
- la définition de la composée de deux fonctions
- les fonctions associées à une fonction 𝑓 : 𝑥 ⟼ 𝑓(𝑥 − 𝑎) ; 𝑥 ⟼ 𝑓(𝑥) + 𝑏 ; 𝑥 ⟼ 𝑓(𝑥 − 𝑎) + 𝑏 ; 𝑥 ⟼ 𝑓(−𝑥) ; 𝑥 ⟼ −𝑓(𝑥) ; 𝑥 ⟼ −𝑓(−𝑥) ; 𝑥 ⟼ |𝑓(𝑥)|
- les propriétés relatives à la représentation graphique de fonctions et translation
- les propriétés relatives à la représentation graphique de fonctions et symétries
- la propriété relative à la représentation graphique d’une fonction bijective et celle de sa réciproque
- reconnaitre l’image d’une représentation graphique d’une fonction par une translation ou par une symétrie
- la représentation graphique d’une fonction bijective
- construire les représentations graphiques des fonctions associées à une fonction 𝑓 : 𝑥 ⟼ 𝑓(𝑥 − 𝑎) ; 𝑥 ⟼ 𝑓(𝑥) + 𝑏 ; 𝑥 ⟼ 𝑓(𝑥 − 𝑎) + 𝑏 ; 𝑥 ⟼ 𝑓(−𝑥) ; 𝑥 ⟼ −𝑓(𝑥) ; 𝑥 ⟼ −𝑓(−𝑥) ; 𝑥 ⟼ |𝑓(𝑥)|
- la courbe représentative de la bijection réciproque d’une bijection 𝑓 dans un repère orthonormé, connaissant la courbe représentative de 𝑓.
- comparer deux fonctions connaissant leurs représentations graphiques
- comparer deux fonctions connaissant leurs formules explicites
- déterminer l’ensemble de définition de la somme ; du produit ; du quotient ou de la composée de deux fonctions.
- la formule explicite de la somme ; du produit ; du quotient ou de la composée de deux fonctions.
- justifier qu’une application est injective, surjective ou bijective
- interpréter graphiquement une inéquation du type 𝑓(𝑥) ≤ g(𝑥) sur un intervalle donné
- résoudre une inéquation du type 𝑓(𝑥) ≤ g(𝑥)
- traiter une situation faisant appel à des fonctions
Source : Programme éducatif Première C, DPFC, version CND 0923
Applications : injection, surjection, bijection
Soit \(f:E\to F\) une application. \(f\) est injective si deux éléments distincts de \(E\) ont toujours des images distinctes. \(f\) est surjective si tout élément de \(F\) admet au moins un antécédent dans \(E\). \(f\) est bijective si elle est à la fois injective et surjective : tout élément de \(F\) admet alors exactement un antécédent, ce qui définit l'application réciproque \(f^{-1}:F\to E\).
Le nombre de solutions de l'équation \(f(x)=\lambda\) est directement lié à la nature de \(f\) : au plus une solution si \(f\) est injective, au moins une si \(f\) est surjective, exactement une si \(f\) est bijective — ce qui se lit aussi bien par le calcul que sur le graphique (nombre de points d'intersection avec la droite horizontale \(y=\lambda\)).
\(f(x)=x^2\) définie sur \(\mathbb R\) n'est ni injective (\(f(-1)=f(1)=1\)) ni surjective sur \(\mathbb R\) (aucun antécédent pour les valeurs négatives). En revanche, restreinte à \([0;+\infty[\) au départ et à l'arrivée, \(f\) devient bijective : sa réciproque est \(f^{-1}(x)=\sqrt x\).
Figure — \(f(x)=x^2\) et sa réciproque \(f^{-1}(x)=\sqrt x\) sur \([0;+\infty[\)
Les deux courbes sont symétriques par rapport à la droite \(y=x\) (pointillée) : c'est toujours le cas pour une bijection et sa réciproque.
- Pour conclure que \(f\) est bijective, il faut vérifier à la fois l'injectivité et la surjectivité — démontrer l'une sans l'autre ne suffit pas.
- Le nombre de solutions de \(f(x)=\lambda\) se lit graphiquement par le nombre de points d'intersection avec la droite horizontale \(y=\lambda\), pas verticale.
Fonctions réciproques et symétrie des courbes
Quand une fonction associe à chaque nombre de départ un unique nombre d’arrivée, on peut parfois remonter le chemin : à partir de l’image, retrouver l’antécédent. C’est précisément le rôle de la fonction réciproque. Cette notion est très utile pour résoudre des équations du type \(f(x)=y\), et elle possède une traduction graphique remarquable : la courbe de la réciproque s’obtient par symétrie par rapport à la droite d’équation \(y=x\) dans un repère orthonormé.
Soient \(E\) et \(F\) deux ensembles. Une application \(f\) de \(E\) vers \(F\), notée \(f : E \to F\), associe à tout élément \(x\) de \(E\) un unique élément de \(F\), noté \(f(x)\). L’ensemble \(E\) est l’ensemble de départ et \(F\) l’ensemble d’arrivée.
L’application \(f\) est injective si deux éléments différents de \(E\) ont toujours des images différentes. Cela s’écrit : si \(f(x_1)=f(x_2)\), alors \(x_1=x_2\). Autrement dit, un même élément de \(F\) n’a jamais deux antécédents distincts.
L’application \(f\) est surjective si tout élément de \(F\) possède au moins un antécédent dans \(E\). Cela signifie que l’ensemble d’arrivée est entièrement atteint par l’application.
L’application \(f\) est bijective si elle est à la fois injective et surjective. Dans ce cas, chaque élément de \(F\) possède un unique antécédent dans \(E\).
Si \(f : E \to F\) est bijective, on définit sa fonction réciproque ou application réciproque, notée \(f^{-1} : F \to E\), par la règle suivante : pour tout \(y\) de \(F\), \(f^{-1}(y)\) est l’unique élément \(x\) de \(E\) tel que \(f(x)=y\). Le symbole \(f^{-1}\) ne désigne donc pas ici l’inverse multiplicatif, mais la fonction qui « défait » l’action de \(f\).
Dire que \(f^{-1}(y)=x\), c’est exactement dire que \(f(x)=y\). Les rôles de la variable de départ et de l’image sont échangés.
Si \(f : E \to F\) est bijective, alors sa réciproque \(f^{-1} : F \to E\) existe et elle est elle-même bijective. De plus, pour tout \(x\in E\) et pour tout \(y\in F\), on a les deux relations essentielles :
\[f^{-1}(f(x))=x \quad \text{et} \quad f(f^{-1}(y))=y.\]
La première égalité signifie que si tu pars d’un élément \(x\), puis que tu appliques \(f\), puis la réciproque \(f^{-1}\), tu retrouves exactement \(x\). La seconde signifie qu’en partant d’un élément \(y\) de l’ensemble d’arrivée, puis en appliquant la réciproque, puis la fonction initiale, on retrouve \(y\).
Ces deux égalités justifient l’idée que \(f\) et \(f^{-1}\) s’annulent l’une l’autre pour l’enchaînement des calculs. Elles montrent aussi que les ensembles de définition et d’arrivée sont échangés : si \(f : E \to F\), alors \(f^{-1} : F \to E\).
Une conséquence importante est la suivante : pour qu’une fonction admette une réciproque sur un ensemble donné, il faut qu’elle soit bijective sur cet ensemble. Par exemple, la fonction \(x\mapsto x^2\) n’est pas bijective sur \(\mathbb{R}\), car \(1\) et \(-1\) ont la même image. En revanche, si on la considère sur \([0,+\infty[\), elle devient bijective de \([0,+\infty[\) vers \([0,+\infty[\), et sa réciproque est la fonction racine carrée \(x\mapsto \sqrt{x}\).
Supposons que \(f\) soit une bijection d’un ensemble \(E\) vers un ensemble \(F\), et que sa représentation graphique soit tracée dans un repère orthonormé. Alors la courbe représentative de \(f^{-1}\) est l’image de la courbe représentative de \(f\) par la symétrie d’axe la droite d’équation \(y=x\).
L’idée est simple. Si un point \(M(a,b)\) appartient à la courbe de \(f\), cela signifie que \(b=f(a)\). Comme \(f^{-1}(b)=a\), le point \(N(b,a)\) appartient à la courbe de \(f^{-1}\). Or les points \((a,b)\) et \((b,a)\) sont symétriques par rapport à la droite \(y=x\). On obtient donc toute la courbe de \(f^{-1}\) en échangeant l’abscisse et l’ordonnée de chaque point de la courbe de \(f\).
Cette propriété permet de contrôler graphiquement un résultat algébrique. Si tu trouves une expression pour \(f^{-1}\), tu peux vérifier qu’elle est cohérente en observant si sa courbe semble bien symétrique de celle de \(f\) par rapport à \(y=x\).
Attention : cette symétrie n’a de sens que pour une fonction qui admet réellement une réciproque sur l’ensemble étudié. Si la fonction n’est pas bijective, la « courbe symétrique » obtenue en échangeant les coordonnées peut ne pas représenter une fonction.
Pour déterminer la réciproque d’une fonction bijective, tu peux suivre les étapes suivantes :
- Vérifie d’abord que la fonction est bijective sur l’ensemble considéré. En pratique, il faut s’assurer que chaque image correspond à un unique antécédent et que toutes les valeurs de l’ensemble d’arrivée sont atteintes.
- Écris \(y=f(x)\). Cette égalité traduit la relation entre le nombre de départ \(x\) et son image \(y\).
- Résous cette égalité pour exprimer \(x\) en fonction de \(y\). Il faut isoler \(x\) avec des transformations algébriques correctes.
- Remplace ensuite la lettre \(y\) par \(x\). L’expression obtenue est celle de \(f^{-1}(x)\). Ce changement de lettre est normal : la variable d’une fonction est une lettre muette.
- Vérifie ton résultat à l’aide des compositions : calcule \(f(f^{-1}(x))\) et \(f^{-1}(f(x))\) sur les ensembles adaptés. Tu dois retrouver \(x\).
Pour exploiter la représentation graphique : 1) repère quelques points de la courbe de \(f\) ; 2) échange leurs coordonnées ; 3) place les nouveaux points ; 4) la courbe obtenue est celle de \(f^{-1}\), symétrique de la première par rapport à \(y=x\).
Énoncé : Soit \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) définie par \(f(x)=2x-3\). Montrer que \(f\) est bijective, puis déterminer \(f^{-1}\). Vérifier le résultat par composition.
Solution : La fonction \(f(x)=2x-3\) est une fonction affine de coefficient directeur \(2\), non nul. Quand \(x\) varie, les images varient sans répétition : la fonction est injective. De plus, pour tout réel \(y\), on peut chercher un réel \(x\) tel que \(2x-3=y\), donc la fonction atteint toute valeur réelle : elle est surjective. Elle est donc bijective.
Pour déterminer la réciproque, on pose \(y=2x-3\). On résout cette égalité en \(x\) :
\[y=2x-3\]
\[y+3=2x\]
\[x=\frac{y+3}{2}.\]
On remplace ensuite \(y\) par \(x\). On obtient :
\[f^{-1}(x)=\frac{x+3}{2}.\]
Vérification par composition :
\[f\bigl(f^{-1}(x)\bigr)=2\times \frac{x+3}{2}-3=x+3-3=x.\]
Et aussi :
\[f^{-1}(f(x))=\frac{(2x-3)+3}{2}=\frac{2x}{2}=x.\]
Le résultat est donc correct. Graphiquement, la droite de \(f^{-1}\) est la symétrique de la droite de \(f\) par rapport à \(y=x\). Par exemple, comme le point \((1,-1)\) appartient à la courbe de \(f\) car \(f(1)=2\times1-3=-1\), le point \((-1,1)\) appartient à la courbe de \(f^{-1}\).
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Voir les offresUne erreur très fréquente consiste à croire que toute fonction possède une réciproque. C’est faux. Pour qu’une réciproque existe comme fonction, il faut que la fonction de départ soit bijective sur l’ensemble étudié. Par exemple, la fonction \(f(x)=x^2\) sur \(\mathbb{R}\) n’est pas injective, car \(f(2)=4\) et \(f(-2)=4\). Le nombre \(4\) a donc deux antécédents. On ne peut pas définir une fonction réciproque sur tout \(\mathbb{R}\), car il faudrait décider si l’image réciproque de \(4\) vaut \(2\) ou \(-2\).
Un autre piège est d’écrire sans précaution \(\sqrt{x^2}=x\) pour tout réel \(x\). En réalité, on a
\[\sqrt{x^2}=|x|.\]
Contre-exemple : si \(x=-3\), alors \(\sqrt{x^2}=\sqrt{9}=3\), qui n’est pas égal à \(-3\). Cette confusion conduit à de fausses vérifications de réciproque.
Enfin, il ne faut pas confondre \(f^{-1}(x)\) et \(\dfrac{1}{f(x)}\). Par exemple, si \(f(x)=2x-3\), alors \(f^{-1}(x)=\dfrac{x+3}{2}\), tandis que \(\dfrac{1}{f(x)}=\dfrac{1}{2x-3}\). Ce sont deux expressions totalement différentes.
Quand tu connais quelques points simples de la courbe d’une bijection, pense immédiatement à permuter les coordonnées. Si \((a,b)\) est sur la courbe de \(f\), alors \((b,a)\) est sur celle de \(f^{-1}\). C’est souvent le moyen le plus rapide pour tracer l’allure de la courbe réciproque sans refaire toute l’étude.
Tu peux aussi garder en mémoire ce réflexe algébrique : « image puis réciproque, ou réciproque puis image, redonne le nombre de départ ». Autrement dit, dès que tu trouves une expression de \(f^{-1}\), vérifie systématiquement les deux compositions. Cette habitude évite la plupart des erreurs de signe, de domaine ou de résolution.
Opérations sur les fonctions, composée de fonctions monotones
Pour \(f\), \(g\) définies sur un même ensemble et \(\lambda\) réel : \(\lambda f\), \(f+g\), \(fg\), \(\dfrac1f\), \(\dfrac fg\), et la composée \(g\circ f\) (\((g\circ f)(x)=g(f(x))\)). On compare \(f\leqslant g\) numériquement ou graphiquement.
Si \(u\) est monotone sur \(I\) et \(v\) monotone sur un intervalle contenant \(u(I)\), \(v\circ u\) est monotone sur \(I\) — croissante si \(u,v\) ont même sens de variation, décroissante sinon.
- Une asymptote verticale en \(x=a\) demande d'étudier séparément la limite à gauche (\(x\to a^-\)) et à droite (\(x\to a^+\)) : la fonction peut tendre vers \(+\infty\) d'un côté et \(-\infty\) de l'autre, comme dans l'exemple ci-dessus.
- Une limite finie en \(+\infty\) ne dit rien du comportement en \(-\infty\) : il faut étudier les deux séparément avant de conclure à une asymptote horizontale commune.
Composition d'applications et de fonctions
Si \(f:E\to F\) et \(g:F\to G\), la composée \(g\circ f:E\to G\) est définie par \((g\circ f)(x)=g\bigl(f(x)\bigr)\). En général, \(g\circ f\neq f\circ g\).
Soit \(f(x)=3x-1\) et \(g(x)=x^2+2\).
\[ (g\circ f)(x)=g(3x-1)=(3x-1)^2+2=9x^2-6x+3, \] \[ (f\circ g)(x)=f(x^2+2)=3(x^2+2)-1=3x^2+5. \]On vérifie bien que \(g\circ f\neq f\circ g\).
Fonctions associées : changement d'origine, d'échelle, |f|
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Voir les offresFigure — Courbes de \(q(x)=x^2-6x+5\) et de \(|q(x)|\)
La portion dorée entre \(x=1\) et \(x=5\) est le repli vers le haut de la portion négative de \(q\) (pointillés navy).
Translation, symétrie centrale et symétrie orthogonale
Rappel de SecondeUne translation, une symétrie centrale ou une symétrie orthogonale déplace une figure sans la déformer. Cette idée simple devient un outil de démonstration : pour prouver que deux segments ont la même longueur, que deux droites sont parallèles ou qu'un point est le milieu d'un segment, il suffit souvent de trouver la transformation qui envoie une partie de la figure sur l'autre. Dans un repère, ces transformations se traduisent aussi par des formules très simples sur les coordonnées.
- La translation de vecteur \(\vec u\) envoie \(M\) sur \(M'\) tel que \(\overrightarrow{MM'}=\vec u\). Si \(\vec u(a\,;b)\) et \(M(x\,;y)\), alors \(M'(x+a\,;y+b)\).
- La symétrie centrale de centre \(\Omega\) envoie \(M\) sur \(M'\) tel que \(\Omega\) soit le milieu de \([MM']\). Si \(\Omega(a\,;b)\), alors \(M'(2a-x\,;2b-y)\).
- La symétrie orthogonale d'axe \(\Delta\) envoie \(M\) sur \(M'\) tel que \(\Delta\) soit la médiatrice de \([MM']\) (et \(M'=M\) si \(M\in\Delta\)). Axe \((Ox)\) : \(M'(x\,;-y)\) ; axe \((Oy)\) : \(M'(-x\,;y)\) ; droite d'équation \(y=x\) : \(M'(y\,;x)\).
Ces trois transformations conservent les distances, l'alignement, les milieux, le parallélisme, l'orthogonalité et les angles géométriques. En conséquence :
- l'image d'un segment \([AB]\) est le segment \([A'B']\), de même longueur ;
- l'image d'une droite est une droite ; pour une translation ou une symétrie centrale, cette droite image est parallèle à la droite de départ ;
- l'image d'un cercle de centre \(C\) et de rayon \(r\) est le cercle de centre \(C'\) et de même rayon \(r\) ;
- une droite qui passe par le centre d'une symétrie centrale est sa propre image (droite globalement invariante).
- Repère deux parties de la figure qui « se correspondent » (même forme, même taille).
- Cherche la transformation qui envoie l'une sur l'autre : un milieu commun suggère une symétrie centrale, deux vecteurs égaux une translation, une médiatrice une symétrie orthogonale.
- Justifie l'image de chaque point utile à partir de la définition (milieu, vecteur, médiatrice).
- Conclus avec une propriété de conservation : longueurs égales, droites parallèles, milieu conservé.
Dans un repère, remplace les étapes 2 et 3 par un calcul de coordonnées avec les formules de la définition.
Énoncé : Dans un repère orthonormé, on donne \(A(1\,;2)\), \(B(4\,;3)\) et \(\vec u(-2\,;1)\). Détermine l'image de \(A\) et de \(B\) par la translation de vecteur \(\vec u\), l'image de \(A\) par la symétrie de centre \(\Omega(2\,;0)\), puis l'image de \(B\) par la symétrie d'axe \((Ox)\).
Solution : Par la translation : \(A'(1-2\,;2+1)=(-1\,;3)\) et \(B'(4-2\,;3+1)=(2\,;4)\). On contrôle : \(\overrightarrow{AB}(3\,;1)\) et \(\overrightarrow{A'B'}(3\,;1)\) sont égaux, donc \(A'B'=AB\) et \((A'B')\parallel(AB)\).
Par la symétrie de centre \(\Omega(2\,;0)\) : \(A_1(2\times2-1\,;2\times0-2)=(3\,;-2)\). Contrôle : le milieu de \([AA_1]\) est \(\left(\dfrac{1+3}2\,;\dfrac{2-2}2\right)=(2\,;0)=\Omega\).
Par la symétrie d'axe \((Ox)\) : \(B_2(4\,;-3)\).
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Voir les offresTranslation d’un triangle de vecteur \(\vec u(3\,;1)\)
Chaque point du triangle \(ABC\) est déplacé du même vecteur \(\vec u\) : les trois flèches sont parallèles, de même sens et de même longueur, et le triangle image \(A'B'C'\) est superposable au triangle de départ.
Une translation et une symétrie centrale envoient toute droite sur une droite parallèle. Ce n'est pas vrai pour une symétrie orthogonale : par la symétrie d'axe \((Ox)\), la droite d'équation \(y=x\) a pour image la droite d'équation \(y=-x\), qui lui est perpendiculaire. N'utilise donc jamais « droite image parallèle » avec une symétrie orthogonale.
Deuxième erreur fréquente : écrire \(M'(x-a\,;y-b)\) pour la translation de vecteur \(\vec u(a\,;b)\). On ajoute les coordonnées du vecteur, car \(\overrightarrow{MM'}=\vec u\) donne \(x'-x=a\) et \(y'-y=b\).
Après un calcul d'image, vérifie la définition : pour une translation, recalcule \(\overrightarrow{MM'}\) ; pour une symétrie centrale, calcule le milieu de \([MM']\) ; pour une symétrie orthogonale, vérifie que le milieu de \([MM']\) est sur l'axe et que \((MM')\) est perpendiculaire à l'axe. Ce contrôle prend quelques secondes et évite la plupart des erreurs de signe.
La translation de vecteur \(\vec u\) envoie \(M\) sur \(M'\) tel que \(\overrightarrow{MM'}=\vec u\). La symétrie centrale de centre \(O\) envoie \(M\) sur \(M'\) tel que \(O\) soit le milieu de \([MM']\). La symétrie orthogonale (ou axiale) d'axe \(d\) envoie \(M\) sur \(M'\) tel que \(d\) soit la médiatrice de \([MM']\).
Équations et inéquations du premier degré
Rappel de SecondeL'ordre est conservé par addition d'un même réel, et par multiplication par un réel strictement positif. Il est inversé par multiplication par un réel strictement négatif. Toute virtuosité technique au-delà de ces règles élémentaires est exclue du programme.
Remarque propre au programme du Burkina Faso : vérifie ce point dans ton programme.
Résoudre \(-2x+5 \le 11\).
\(-2x \le 6\), puis on divise par \(-2\) (négatif : l'inégalité s'inverse) : \(x \ge -3\). Solution : \(x \in [-3\,;+\infty[\).
Facile. \(3x-1 > 8 \iff 3x > 9 \iff x > 3\), soit \(x \in\ ]3\,;+\infty[\).
Intervalle. \(x \in [-2\,;5[\) signifie \(-2 \le x < 5\) : borne de gauche incluse, borne de droite exclue.
Figure interactive — Fonction de proportionnalité
La droite \(y=ax\) passe toujours par l'origine, quel que soit \(a\).
Résumé
Éléments distincts ⟹ images distinctes.
Tout élément de l'arrivée a au moins un antécédent.
Injective et surjective ⟹ réciproque \(f^{-1}\) définie.
\((g\circ f)(x)=g(f(x))\), en général \(\neq f\circ g\).
Sujet type devoir
Question 1. Soit \(f:\mathbb R\to\mathbb R\), \(f(x)=x^2-4\). \(f\) est-elle injective ? surjective ? Justifier.
Non injective : \(f(-1)=f(1)=-3\). Non surjective sur \(\mathbb R\) : \(f\) admet un minimum \(-4\), donc aucune valeur inférieure à \(-4\) n'a d'antécédent.
Question 2. Soit \(f(x)=2x-3\) sur \(\mathbb R\). Montrer que \(f\) est bijective et déterminer sa réciproque.
\(f\) est affine de coefficient directeur non nul : elle est bijective de \(\mathbb R\) sur \(\mathbb R\). En posant \(y=2x-3\), on obtient \(x=\dfrac{y+3}2\), donc \(f^{-1}(x)=\dfrac{x+3}2\).
Question 3. Soit \(f(x)=x+1\) et \(g(x)=2x^2\). Calculer \((g\circ f)(x)\) et \((f\circ g)(x)\).
\((g\circ f)(x)=2(x+1)^2=2x^2+4x+2\). \((f\circ g)(x)=2x^2+1\).