Première C · Leçon 7
Étude et représentation graphique d’une fonction
Ce que dit le programme officiel (14 points)
- la définition d’une fonction paire
- la définition d’une fonction impaire
- la définition d’une fonction périodique
- la propriété relative à la représentation graphique d’une fonction paire, d’une fonction impaire, d’une fonction périodique
- les propriétés relatives à l’axe de symétrie de la représentation graphique d’une fonction
- les propriétés relatives au centre de symétrie de la représentation graphique d’une fonction
- la définition d’une fonction homographique
- la définition d’une fonction polynôme de degré inférieur ou égal à 3
- la définition d’une fonction de type 𝑥 ⟼ 𝑎𝑥 + 𝑏 + 𝑐/𝑑𝑥 + 𝑒
- la définition d’une fonction circulaire : 𝑥 ⟼ 𝑐𝑜𝑠(𝑥) ; 𝑥 ⟼ 𝑠𝑖𝑛(𝑥) ; 𝑥 ⟼ 𝑡𝑎𝑛(𝑥) ; 𝑥 ⟼ 𝑠𝑖𝑛(𝑎𝑥 + 𝑏) ; 𝑥 ⟼ 𝑐𝑜𝑠(𝑎𝑥 + 𝑏)
- la représentation graphique d’une fonction polynôme de degré inférieur ou égal à 3
- la représentation graphique d’une fonction homographique
- la représentation graphique de chacune des fonctions circulaires : 𝑥 ⟼ 𝑐𝑜𝑠(𝑥) ; 𝑥 ⟼ 𝑠𝑖𝑛(𝑥) ; 𝑥 ⟼ 𝑡𝑎𝑛(𝑥) ; 𝑥 ⟼ 𝑠𝑖𝑛(𝑎𝑥 + 𝑏) ; 𝑥 ⟼ 𝑐𝑜𝑠(𝑎𝑥 + 𝑏)
- la représentation graphique d’une fonction paire, périodique ou impaire sur son ensemble de définition, connaissant son ensemble d’étude
Source : Programme éducatif Première C, DPFC, version CND 0923
Parité et périodicité
Rappel de SecondeSoit \(f\) définie sur un ensemble \(D_f\) symétrique par rapport à \(0\) (\(x \in D_f \implies -x \in D_f\)). \(f\) est paire si \(f(-x)=f(x)\) pour tout \(x \in D_f\) ; sa courbe est alors symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. \(f\) est impaire si \(f(-x)=-f(x)\) ; sa courbe est symétrique par rapport à l'origine \(O\).
\(f\) est périodique de période \(T>0\) si \(f(x+T)=f(x)\) pour tout \(x \in D_f\) : le motif de la courbe se répète tous les \(T\).
On vérifie d'abord que \(D_f\) est symétrique par rapport à \(0\), puis on calcule \(f(-x)\) et on compare à \(f(x)\) et \(-f(x)\).
Exemple. \(f(x)=x^2-3\) : \(D_f=\mathbb{R}\) (symétrique). \(f(-x)=(-x)^2-3=x^2-3=f(x)\) : \(f\) est paire.
\(g(x)=x^3\) : \(g(-x)=(-x)^3=-x^3=-g(x)\) : \(g\) est impaire.
\(h(x)=x^2+x\) : \(h(-x)=x^2-x\), qui n'est égal ni à \(h(x)\) ni à \(-h(x)\) en général : \(h\) n'est ni paire ni impaire.
Utilité pratique. Si l'on sait qu'une fonction est paire, il suffit d'étudier son comportement sur \([0;+\infty[\), puis de compléter la courbe par symétrie — on divise le travail par deux.
Périodicité. Les fonctions cosinus et sinus (étudiées plus loin dans ce cours) sont périodiques de période \(2\pi\).
Figure interactive — Symétrie paire / impaire
Une fonction paire a une courbe symétrique par rapport à l'axe des ordonnées ; une fonction impaire, symétrique par rapport à l'origine.
Étude d'une fonction polynôme
Les fonctions polynômes de degré 2 ou 3 modélisent de nombreuses situations : trajectoire d'un objet lancé, bénéfice d'une entreprise selon la quantité produite, volume d'une boîte selon ses dimensions. Étudier une telle fonction, c'est connaître son ensemble de définition, ses limites, son sens de variation, ses extremums, les points remarquables de sa courbe, puis tracer cette courbe avec précision. La dérivée, étudiée dans la leçon précédente, est l'outil principal de cette étude.
Une fonction polynôme de degré inférieur ou égal à 3 est une fonction de la forme \(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\), où \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) sont des nombres réels. Si \(a\neq0\), elle est de degré \(3\) ; si \(a=0\) et \(b\neq0\), elle est de degré \(2\).
- Elle est définie, continue et dérivable sur \(\mathbb{R}\).
- Sa dérivée est \(f'(x)=3ax^2+2bx+c\), qui est un polynôme de degré inférieur ou égal à \(2\) : son signe s'étudie avec le discriminant ou une factorisation.
- Une fonction polynôme de degré \(2\) peut s'écrire sous forme canonique \(f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta\) ; sa courbe est une parabole de sommet \(S(\alpha\,;\beta)\).
1) Limites en l'infini. En \(+\infty\) et en \(-\infty\), une fonction polynôme a la même limite que son terme de plus haut degré. Par exemple \(\lim\limits_{x\to+\infty}(x^3-6x^2+9x)=\lim\limits_{x\to+\infty}x^3=+\infty\). On le justifie en factorisant : \(x^3-6x^2+9x=x^3\left(1-\dfrac6x+\dfrac9{x^2}\right)\), et la parenthèse tend vers \(1\).
2) Variations. Sur un intervalle, si \(f'(x)\gt 0\), sauf en des points isolés où \(f'\) s'annule, alors \(f\) est strictement croissante ; si \(f'(x)\lt 0\) alors \(f\) est strictement décroissante.
3) Extremums. Si \(f'\) s'annule en \(x_0\) en changeant de signe, alors \(f(x_0)\) est un extremum relatif : un maximum si \(f'\) passe de \(+\) à \(-\), un minimum si \(f'\) passe de \(-\) à \(+\).
4) Symétries. La parabole d'équation \(y=a(x-\alpha)^2+\beta\) admet la droite d'équation \(x=\alpha\) pour axe de symétrie. La courbe d'une fonction polynôme de degré \(3\), \(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\), admet pour centre de symétrie le point \(\Omega\) d'abscisse \(\alpha=-\dfrac{b}{3a}\) et d'ordonnée \(f(\alpha)\).
Justification. En développant, pour tout réel \(h\) : \(f(\alpha+h)=f(\alpha)+(3a\alpha^2+2b\alpha+c)h+(3a\alpha+b)h^2+ah^3\). Comme \(3a\alpha+b=0\), il reste \(f(\alpha+h)=f(\alpha)+f'(\alpha)h+ah^3\). En remplaçant \(h\) par \(-h\) : \(f(\alpha-h)=f(\alpha)-f'(\alpha)h-ah^3\). En additionnant, \(f(\alpha-h)+f(\alpha+h)=2f(\alpha)\) : les points de la courbe d'abscisses \(\alpha-h\) et \(\alpha+h\) sont symétriques par rapport à \(\Omega\).
- Ensemble de définition : \(\mathbb{R}\).
- Limites en \(-\infty\) et \(+\infty\) avec le terme de plus haut degré.
- Dérivée : calcule \(f'(x)\), factorise-la si possible et étudie son signe (tableau de signes).
- Tableau de variation : place les limites, les flèches et les valeurs de \(f\) aux points où \(f'\) s'annule.
- Points remarquables : intersection avec l'axe des ordonnées \((0\,;f(0))\), avec l'axe des abscisses (solutions de \(f(x)=0\) quand on sait les trouver), extremums, élément de symétrie.
- Tracé : place d'abord les points remarquables et les tangentes horizontales aux extremums, puis trace la courbe en respectant le tableau de variation.
Énoncé : Étudie la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=x^3-6x^2+9x\) et donne les éléments utiles à sa représentation graphique.
Solution : \(f\) est définie sur \(\mathbb{R}\). Limites : \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to+\infty}x^3=+\infty\) et \(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to-\infty}x^3=-\infty\).
Dérivée : \(f'(x)=3x^2-12x+9=3(x^2-4x+3)=3(x-1)(x-3)\). Ce trinôme est positif à l'extérieur de ses racines \(1\) et \(3\), négatif entre elles. Donc \(f\) est croissante sur \(]-\infty\,;1]\), décroissante sur \([1\,;3]\), croissante sur \([3\,;+\infty[\).
Valeurs : \(f(1)=1-6+9=4\), maximum relatif ; \(f(3)=27-54+27=0\), minimum relatif.
Points remarquables : \(f(x)=x(x^2-6x+9)=x(x-3)^2\), donc la courbe coupe l'axe des abscisses en \(x=0\) et touche cet axe en \(x=3\), où la tangente est horizontale. Centre de symétrie : \(-\dfrac{b}{3a}=-\dfrac{-6}{3}=2\) et \(f(2)=8-24+18=2\), donc \(\Omega(2\,;2)\). Contrôle : \(f(1)+f(3)=4+0=4=2\times2\).
Courbe de \(f(x)=x^3-6x^2+9x\)
Le maximum \((1\,;4)\), le minimum \((3\,;0)\) où la courbe touche l'axe des abscisses, et le centre de symétrie \(\Omega(2\,;2)\).
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Voir les offresBeaucoup d'élèves pensent qu'une fonction de degré \(3\) a toujours un maximum et un minimum, ou qu'il suffit que \(f'(x_0)=0\) pour avoir un extremum en \(x_0\). C'est faux.
Contre-exemple : \(h(x)=x^3\). On a \(h'(x)=3x^2\), qui s'annule en \(0\) mais reste positive de part et d'autre : \(h\) est croissante sur \(\mathbb{R}\) et n'a aucun extremum. La courbe a seulement une tangente horizontale en \(O\). Il faut donc toujours vérifier que \(f'\) change de signe.
Autre piège : écrire \(\lim\limits_{x\to+\infty}(x^3-6x^2)=+\infty-\infty=0\). La forme « \(+\infty-\infty\) » est indéterminée ; on factorise par le terme de plus haut degré.
Avant de tracer, vérifie la cohérence de ton tableau : une flèche montante doit aller d'une valeur plus petite vers une plus grande, et les valeurs de \(f\) aux extremums doivent être calculées dans l'expression de départ, pas dans \(f'\). Pour un polynôme de degré \(3\), le centre de symétrie est aussi le milieu des deux extremums quand il y en a : ici le milieu de \((1\,;4)\) et \((3\,;0)\) est bien \((2\,;2)\).
Fonctions cosinus et sinus
Rappel de SecondeLes fonctions \(x\mapsto\cos x\) et \(x\mapsto\sin x\) sont définies sur \(\mathbb{R}\), à valeurs dans \([-1;1]\), et périodiques de période \(2\pi\). La fonction cosinus est paire ; la fonction sinus est impaire.
Sur \([0;\pi]\), le cosinus est décroissant (de \(1\) à \(-1\)). Sur \([-\pi/2;\pi/2]\), le sinus est croissant (de \(-1\) à \(1\)).