Première C · Leçon 6

Dérivation

Ce que dit le programme officiel (20 points)

la définition du nombre dérivé en un point d’une fonction
la définition de la fonction dérivée sur un intervalle ouvert
les fonctions dérivées des fonctions de référence
la propriété de la fonction dérivable sur un intervalle ouvert
la propriété de la dérivabilité et de la continuité en un point
les propriétés sur les opérations des fonctions dérivables (somme, produit, inverse, quotient).
la propriété de la fonction dérivée des fonctions du type 𝑥 ⟼ 𝑓(𝑎𝑥 + 𝑏), où 𝑓 est une fonction de référence.
les propriétés sur la dérivée et sens de variation
la propriété sur l’extremum relatif d’une fonction
le nombre dérivé d’une fonction en un point
la dérivée d’une fonction sur un intervalle ouvert
déterminer une équation de la tangente à une courbe en un point donné
le sens de variation d’une fonction sur un intervalle donné en utilisant le signe sa dérivée
un extremum d’une fonction en utilisant sa dérivée
la fonction dérivée d’une fonction sur un intervalle ouvert donné
des fonctions dérivées en utilisant les opérations sur les fonctions dérivables et les dérivées des fonctions : 𝑥 ⟼ 𝑎𝑥 + 𝑏 ; 𝑥 ⟼ √𝑥 ; 𝑥 ⟼ 𝑥𝑛 (𝑛 ∈ ℕ∗) ; 𝑥 ⟼ 1/𝑥 ; 𝑥 ⟼ 1/𝑥𝑛 (𝑛 ∈ ℕ∗) ; 𝑥 ⟼ cos(𝑥) ; 𝑥 ⟼ sin(𝑥) ; 𝑥 ⟼ tan(𝑥)
calculer le nombre dérivé d’une fonction en un point
construire la tangente en un point de la courbe représentative d’une fonction sans utiliser une équation de cette tangente
interpréter graphiquement le nombre dérivé en un point
traiter une situation faisant appel à la dérivation

Source : Programme éducatif Première C, DPFC, version CND 0923

Nombre dérivé, tangente et approximation affine

Nombre dérivé \[ f'(a)=\lim_{h\to0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}h. \]

Équation de la tangente au point d'abscisse \(a\) : \(y=f(a)+f'(a)(x-a)\). Approximations affines usuelles au voisinage de \(0\) : \((1+x)^n\approx1+nx\) pour \(n\in\{-1,\frac12,2,3\}\).

Exemple — calcul direct par le taux de variation

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Dérivées usuelles et règles de calcul

Dérivées usuelles

Fonction	Dérivée
\(x^n\) (\(n\in\mathbb Z^*\))	\(nx^{n-1}\)
\(\sqrt x\)	\(\dfrac1{2\sqrt x}\)
\(\sin(ax+b)\)	\(a\cos(ax+b)\)
\(\cos(ax+b)\)	\(-a\sin(ax+b)\)
\(\tan(ax+b)\)	\(\dfrac a{\cos^2(ax+b)}\)
\(f(ax+b)\)	\(a\,f'(ax+b)\)

Règles de calcul

\((u+v)'=u'+v'\) ; \((\lambda u)'=\lambda u'\) ; \((uv)'=u'v+uv'\) ; \(\left(\dfrac1u\right)'=-\dfrac{u'}{u^2}\) ; \(\left(\dfrac uv\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}\).

Exemple fil rouge — dérivée et tangente

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Figure interactive — Tangente en un point mobile de la courbe

Faites glisser le point \(P\) le long de la courbe : la tangente et la valeur de \(m'(a)\) se mettent à jour en temps réel.

Lien entre continuité et dérivabilité

La continuité et la dérivabilité sont deux notions proches, mais elles ne disent pas exactement la même chose. La continuité décrit l’absence de « saut » sur la courbe, tandis que la dérivabilité permet d’étudier la pente de la tangente et donc les variations de la fonction. Comprendre leur lien est essentiel : très souvent, dès qu’une fonction est dérivable, on sait immédiatement qu’elle est continue, mais l’inverse est faux.

Continuité et dérivabilité en un point

Soit une fonction f définie sur un intervalle et soit a un réel de cet intervalle.

On dit que f est continue en a lorsque \[\lim_{x\to a} f(x)=f(a).\] Cela signifie que lorsque x se rapproche de a, les valeurs de f(x) se rapprochent de la valeur prise par la fonction au point a. Graphiquement, la courbe ne présente pas de rupture au voisinage de ce point.

On dit que f est dérivable en a lorsque le quotient \[\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\] admet une limite finie quand x tend vers a. Cette limite, si elle existe, s’appelle le nombre dérivé de f en a et se note \[f'(a).\] On écrit donc \[f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}.\] Cette définition exprime que, près de a, la courbe de f admet une tangente de pente bien déterminée.

Si f est dérivable en tout point d’un intervalle ouvert I, alors on dit que f est dérivable sur I. Dans ce cas, la fonction qui à tout réel x de I associe f'(x) s’appelle la fonction dérivée de f, notée f'.

Théorème fondamental : dérivable implique continue

Théorème. Si une fonction f est dérivable en un point a, alors f est continue en a.

Autrement dit, l’existence du nombre dérivé en un point entraîne automatiquement la continuité en ce point. Cette propriété est très importante, car elle permet souvent de conclure rapidement sans refaire une étude complète de la continuité.

Justification. Supposons que f soit dérivable en a. Alors le quotient \[\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\] a une limite finie quand x tend vers a. On peut écrire, pour \(x \neq a\), \[f(x)-f(a)=(x-a)\times \frac{f(x)-f(a)}{x-a}.\] Quand x tend vers a, on a d’une part \[x-a\to 0,\] et d’autre part \[\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\to f'(a),\] qui est un réel fini. Le produit tend donc vers 0 : \[f(x)-f(a)\to 0.\] Ainsi, \[f(x)\to f(a),\] ce qui signifie exactement que f est continue en a.

Conséquence. Si une fonction est dérivable sur un intervalle ouvert, alors elle est continue sur cet intervalle.

Attention : la réciproque est fausse. Une fonction peut être continue en un point sans être dérivable en ce point. Il peut y avoir, par exemple, un point anguleux sur la courbe : la courbe se trace sans saut, mais la tangente n’a pas de pente unique à ce point.

Ce qu’il faut retenir sur le lien entre les deux notions

Le lien entre continuité et dérivabilité peut se résumer par deux idées essentielles.

Première idée : la dérivabilité est une condition plus forte que la continuité. Être dérivable en un point donne plus d’informations qu’être seulement continue en ce point. En effet, la continuité dit seulement que la fonction n’a pas de rupture au voisinage du point, alors que la dérivabilité impose en plus l’existence d’une pente limite, donc d’une tangente bien définie.

Deuxième idée : si une fonction n’est pas continue en un point, alors elle ne peut pas être dérivable en ce point. C’est une conséquence directe du théorème précédent. En pratique, cela sert souvent de test rapide : dès que tu repères une discontinuité, tu peux affirmer que la fonction n’est pas dérivable au point considéré.

En revanche, si une fonction est continue, tu ne peux pas conclure qu’elle est dérivable. Il faut alors étudier le quotient \[\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\] ou comparer les dérivées à gauche et à droite lorsque la fonction est définie par morceaux. Graphiquement, une courbe continue peut présenter un « coin », une pointe ou un changement brutal de direction : dans ce cas, la continuité est vraie, mais la dérivabilité échoue.

Méthode pour étudier continuité et dérivabilité en un point

Pour étudier le lien entre continuité et dérivabilité d’une fonction en un point a, tu peux suivre les étapes suivantes :

Vérifie d’abord que le point appartient bien au domaine de définition. On ne peut parler de continuité en a que si f(a) existe.
Étudie la continuité. Calcule ou utilise les limites pour savoir si \[\lim_{x\to a} f(x)=f(a).\] Si cette égalité est fausse, alors la fonction n’est pas continue en a, donc elle n’est pas dérivable en a.
Si la continuité est vraie, n’en déduis pas trop vite la dérivabilité. Il faut étudier le quotient \[\frac{f(x)-f(a)}{x-a}.\]
Calcule la limite de ce quotient quand x tend vers a. Si cette limite existe et est finie, alors f est dérivable en a et cette limite vaut f'(a).
Si la fonction est définie par morceaux, il est souvent utile d’étudier séparément les comportements à gauche et à droite de a. Si les deux limites du quotient sont différentes, alors la fonction n’est pas dérivable en a.
Conclue clairement. Il faut distinguer les deux phrases : « continue en a » et « dérivable en a ». L’une n’est pas équivalente à l’autre.

Cette méthode évite une erreur fréquente : croire qu’une courbe sans saut admet forcément une tangente en chaque point.

Exemple 1 : une fonction dérivable est bien continue

Énoncé : Soit la fonction f définie sur ℝ par \[f(x)=x^2+3x.\] Montre que f est dérivable en 1, puis déduis-en qu’elle est continue en 1.

Solution : Calculons le nombre dérivé en 1 à partir de la définition.

On a \[f(1)=1^2+3\times 1=1+3=4.\] Pour \(x \neq 1\), \[\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\frac{x^2+3x-4}{x-1}.\] Factorisons le numérateur. On cherche deux nombres dont le produit vaut -4 et la somme 3 : ce sont 4 et -1. Ainsi, \[x^2+3x-4=(x-1)(x+4).\] Donc, pour \(x \neq 1\), \[\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\frac{(x-1)(x+4)}{x-1}=x+4.\] Quand x tend vers 1, on obtient \[x+4\to 1+4=5.\] Ainsi, \[f'(1)=5.\] La fonction est donc dérivable en 1.

D’après le théorème « dérivable implique continue », on en déduit immédiatement que f est continue en 1.

On peut même vérifier directement cette continuité : \[\lim_{x\to 1} f(x)=\lim_{x\to 1}(x^2+3x)=1^2+3\times 1=4=f(1).\] Les deux démarches conduisent à la même conclusion.

Exemple 2 : une fonction continue mais non dérivable

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Exemple 3 : utiliser le lien dans une fonction définie par morceaux

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Piège fréquent : confondre continuité et dérivabilité

L’erreur la plus fréquente consiste à écrire : « la fonction est continue en a, donc elle est dérivable en a ». Cette affirmation est fausse.

Le contre-exemple classique est la fonction \[x\mapsto |x|.\] Elle est continue en 0 car \[\lim_{x\to 0} |x|=0=|0|,\] mais elle n’est pas dérivable en 0 car le quotient \[\frac{|x|}{x}\] vaut 1 à droite et -1 à gauche. Il n’y a donc pas de pente unique de tangente en ce point.

Une autre erreur est d’oublier le sens logique correct : dérivable implique continue, mais continue n’implique pas dérivable. Le premier sens est toujours vrai. Le second est faux en général.

Enfin, si la fonction n’est pas continue en un point, tu peux conclure immédiatement qu’elle n’est pas dérivable en ce point. Inutile de chercher un nombre dérivé là où la continuité manque déjà.

Astuce utile pour aller plus vite

Dans de nombreux exercices, tu n’as pas besoin de refaire toute l’étude de la continuité lorsque la fonction est déjà connue comme dérivable. Par exemple, si une fonction est obtenue sur un intervalle par somme, produit, quotient (avec dénominateur non nul) ou composition de fonctions usuelles dérivables, alors elle est dérivable sur cet intervalle, donc automatiquement continue sur cet intervalle.

Graphiquement, garde aussi ce réflexe : une courbe qui présente un point anguleux, une cassure ou deux demi-tangentes de pentes différentes est souvent continue mais non dérivable au point considéré. En revanche, une rupture de la courbe interdit à la fois la continuité et la dérivabilité.

Dérivée d'une fonction composée

De nombreuses fonctions s'obtiennent en appliquant une fonction de référence à une expression affine : \((3x-1)^4\), \(\sqrt{2x+5}\), \(\cos(2x+1)\), \(\dfrac1{5-x}\). Développer \((3x-1)^4\) pour la dériver serait long et source d'erreurs. Une propriété simple donne directement la dérivée de toute fonction de la forme \(x\mapsto f(ax+b)\), où \(f\) est une fonction de référence.

Propriété — Dérivée de \(x\mapsto f(ax+b)\)

Soient \(a\) et \(b\) deux réels, \(a\neq0\), et \(f\) une fonction dérivable sur un intervalle \(J\). Sur l'intervalle \(I\) des réels \(x\) tels que \(ax+b\in J\), la fonction \(g:x\mapsto f(ax+b)\) est dérivable et

\[g'(x)=a\times f'(ax+b).\]

Idée de la justification. Pour \(x_0\in I\) et \(h\neq0\) petit, posons \(u_0=ax_0+b\). Alors \(\dfrac{g(x_0+h)-g(x_0)}{h}=\dfrac{f(u_0+ah)-f(u_0)}{h}=a\times\dfrac{f(u_0+ah)-f(u_0)}{ah}\). Quand \(h\) tend vers \(0\), \(ah\) tend aussi vers \(0\), et le dernier quotient tend vers \(f'(u_0)\). Donc \(g'(x_0)=a\,f'(ax_0+b)\).

Tableau — Dérivées utiles de la forme \(f(ax+b)\)

En appliquant la propriété aux fonctions de référence, on obtient, sur les intervalles où les expressions ont un sens :

Fonction \(g(x)\)	Dérivée \(g'(x)\)
\((ax+b)^n\), \(n\in\mathbb{N}^*\)	\(na(ax+b)^{n-1}\)
\(\sqrt{ax+b}\)	\(\dfrac{a}{2\sqrt{ax+b}}\) (pour \(ax+b\gt 0\))
\(\dfrac1{ax+b}\)	\(-\dfrac{a}{(ax+b)^2}\)
\(\dfrac1{(ax+b)^n}\), \(n\in\mathbb{N}^*\)	\(-\dfrac{na}{(ax+b)^{n+1}}\)
\(\cos(ax+b)\)	\(-a\sin(ax+b)\)
\(\sin(ax+b)\)	\(a\cos(ax+b)\)
\(\tan(ax+b)\)	\(a\left(1+\tan^2(ax+b)\right)=\dfrac{a}{\cos^2(ax+b)}\)

Dans chaque ligne, on reconnaît la dérivée de la fonction de référence, évaluée en \(ax+b\), multipliée par le coefficient \(a\).

Méthode — Dériver une fonction de la forme \(f(ax+b)\)

Repère l'expression affine \(ax+b\) et la fonction de référence \(f\) qu'on lui applique.
Écris la dérivée \(f'\) de la fonction de référence.
Remplace la variable de \(f'\) par \(ax+b\).
Multiplie par le coefficient \(a\), en faisant attention à son signe.
Simplifie l'expression, puis étudie son signe si l'on veut les variations.

Pour une fonction plus complexe, par exemple un produit ou un quotient dont un facteur est de la forme \(f(ax+b)\), on combine cette méthode avec les règles de dérivation d'un produit ou d'un quotient.

Exemple 1 — Quatre dérivées

Énoncé : Calcule la dérivée de \(g_1(x)=(3x-1)^4\), \(g_2(x)=\sqrt{2x+5}\) sur \(\left]-\dfrac52\,;+\infty\right[\), \(g_3(x)=\cos\left(2x+\dfrac\pi3\right)\) et \(g_4(x)=\dfrac1{5-x}\) sur \(]-\infty\,;5[\).

Solution : \(g_1\) : \(a=3\) et \(f(u)=u^4\), \(f'(u)=4u^3\), donc \(g_1'(x)=3\times4(3x-1)^3=12(3x-1)^3\).

\(g_2\) : \(a=2\) et \(f(u)=\sqrt u\), \(f'(u)=\dfrac1{2\sqrt u}\), donc \(g_2'(x)=2\times\dfrac1{2\sqrt{2x+5}}=\dfrac1{\sqrt{2x+5}}\).

\(g_3\) : \(a=2\) et \(f=\cos\), \(f'=-\sin\), donc \(g_3'(x)=-2\sin\left(2x+\dfrac\pi3\right)\).

\(g_4\) : \(5-x=-x+5\), donc \(a=-1\), et \(f(u)=\dfrac1u\), \(f'(u)=-\dfrac1{u^2}\). Donc \(g_4'(x)=(-1)\times\left(-\dfrac1{(5-x)^2}\right)=\dfrac1{(5-x)^2}\), qui est positive : \(g_4\) est croissante sur \(]-\infty\,;5[\).

Exemple 2 — Tangente à la courbe de \(g(x)=\sqrt{2x+1}\)

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Courbe de \(g(x)=\sqrt{2x+1}\) et tangente au point \((4\,;3)\)

La tangente (en pointillés) a pour coefficient directeur \(g'(4)=\dfrac13\) : elle passe par \((4\,;3)\) et par \((7\,;4)\).

Piège — Oublier le coefficient \(a\)

L'erreur la plus fréquente consiste à dériver seulement la fonction de référence : écrire \(\left((3x-1)^4\right)'=4(3x-1)^3\). C'est faux, il manque le facteur \(3\) : la bonne dérivée est \(12(3x-1)^3\). On peut le vérifier en \(x=1\) avec la définition : le taux d'accroissement de \((3x-1)^4\) entre \(1\) et \(1{,}001\) vaut environ \(\dfrac{2{,}003^4-16}{0{,}001}\approx96\), soit \(12\times2^3\), et non \(4\times2^3=32\).

Deuxième piège : le signe de \(a\). Pour \(\sqrt{3-2x}\), on a \(a=-2\) et la dérivée est \(-\dfrac1{\sqrt{3-2x}}\), négative. Pour \(\cos(ax+b)\), n'oublie pas à la fois le signe « moins » de la dérivée de cosinus et le facteur \(a\).

Astuce — Nommer l'expression affine

Écris sur ton brouillon « \(u=ax+b\), \(u'=a\) », puis dérive \(f(u)\) comme d'habitude en multipliant par \(u'\). Ce réflexe prépare la formule générale de la dérivée d'une fonction composée, \(\left(f(u)\right)'=u'\times f'(u)\), que tu utiliseras en Terminale pour toutes les fonctions \(u\), pas seulement les fonctions affines.

Signe de la dérivée, variations et extremums

Résultats admis

Soit \(f\) dérivable sur un intervalle \(I\) :

• extremum local en \(a\) intérieur à \(I\) \(\Rightarrow f'(a)=0\) ;
• \(f'\) nulle sur \(I\) \(\Rightarrow f\) constante sur \(I\) ;
• \(f'\) positive sur \(I\) \(\Rightarrow f\) croissante sur \(I\) (énoncé analogue pour décroissante).

Exemple — étude complète de \(q(x)=x^2-6x+5\)

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