Première C · Leçon 17
Composées de transformations du plan
Ce que dit le programme officiel (11 points)
- la nature et les éléments caractéristiques de la composée de deux translations
- la nature et les éléments caractéristiques de la composée de deux symétries orthogonales d’axes parallèles
- la nature et les éléments caractéristiques de la composée de deux symétries orthogonales d’axes sécants
- la nature et les éléments caractéristiques de la composée de deux homothéties de même centre
- la nature et les éléments caractéristiques de la composée de deux homothéties de centres différents
- la nature et les éléments caractéristiques de la composée de deux rotations de même centre
- la nature et les éléments caractéristiques de la composée de deux rotations de centres différents
- la détermination de l’expression analytique d’une translation, d’une symétrie orthogonale ou d’une homothétie se traitera sous forme d’exercices.
- le recours systématique aux méthodes analytiques est exclu.
- pour les symétries orthogonales d’axe (∆), on utilisera la notation S(∆) au lieu de S∆.
- dans les études de composées d’homothéties de centres différents, on guidera l’élève dans la construction du centre, elles se feront en travaux dirigés.
Source : Programme éducatif Première C, DPFC, version CND 0923
Homothéties et translations : caractérisation, réciproque, composition, expression analytique
Soit \(f\) une application du plan dans lui-même. \(f\) est une homothétie-translation si et seulement s'il existe un réel \(k\neq0\) tel que, pour tout bipoint \((M,N)\) du plan, en notant \(M'=f(M)\) et \(N'=f(N)\) :
\[ \overrightarrow{M'N'}=k\,\overrightarrow{MN}. \]Si \(k=1\), \(f\) est une translation (de vecteur \(\overrightarrow{AA'}\), le même pour tout point \(A\)). Si \(k\neq1\), \(f\) est une homothétie de rapport \(k\) : elle admet un unique point fixe \(\Omega\) (son centre), et pour tout point \(M\) :
\[ \overrightarrow{\Omega M'}=k\,\overrightarrow{\Omega M}. \]Soit \(h\) l'homothétie de centre \(\Omega(2;1)\) et de rapport \(k=3\). Déterminer l'image de \(A(5;-1)\).
\[ \overrightarrow{\Omega A}=(3;-2)\ \Rightarrow\ \overrightarrow{\Omega A'}=3\times(3;-2)=(9;-6)\ \Rightarrow\ A'=\Omega+(9;-6)=(11;-5). \]Une homothétie-translation de rapport \(k\) transforme tout couple de vecteurs \((\vec u,\vec v)\) en \((\vec u{\,}',\vec v{\,}')=(k\vec u,k\vec v)\) et conserve l'angle orienté \((\vec u,\vec v)\), quel que soit le signe de \(k\) : si \(k>0\), les deux vecteurs sont dilatés dans la même direction ; si \(k<0\), les deux vecteurs sont retournés par une rotation de \(\pi\) qui, appliquée aux deux à la fois, ne change pas l'angle qui les sépare.
Soit \(\vec u(1;0)\) et \(\vec v(0;1)\) : \((\vec u,\vec v)=90°\). Pour \(k=-3\) : \(\vec u{\,}'=(-3;0)\) (direction \(180°\)) et \(\vec v{\,}'=(0;-3)\) (direction \(270°\)). L'angle orienté \((\vec u{\,}',\vec v{\,}')=270°-180°=90°\) : bien conservé, malgré \(k<0\).
Figure interactive — Homothétie de centre \(\Omega\) et de rapport \(k\)
Faites glisser \(k\) : à \(k=1\) le triangle image coïncide avec l'original ; pour \(k<0\), l'image est retournée par rapport à \(\Omega\), sans que les angles du triangle ne changent.
- Pour \(k<0\), le point image \(A'\) est situé de l'autre côté du centre \(\Omega\) par rapport à \(A\) — une erreur fréquente est de placer \(A'\) du même côté que \(A\) en ne retenant que \(|k|\).
La réciproque d'une homothétie de centre \(\Omega\) et de rapport \(k\) est l'homothétie de même centre \(\Omega\) et de rapport \(\dfrac1k\). La réciproque d'une translation de vecteur \(\vec u\) est la translation de vecteur \(-\vec u\). La composée \(f_1\circ f_2\) de rapports \(k_1\) et \(k_2\) vérifie \(\overrightarrow{M'N'}=k_1k_2\,\overrightarrow{MN}\) : c'est donc encore une homothétie-translation, de rapport \(k_1k_2\) — une homothétie si \(k_1k_2\neq1\) (centre déterminé sur l'exemple), une translation si \(k_1k_2=1\).
\(h_1\) : centre \(A(1;0)\), rapport \(4\). \(h_2\) : centre \(B(4;0)\), rapport \(\dfrac14\). Comme \(4\times\dfrac14=1\), \(h_1\circ h_2\) est une translation. Image de \(O(0;0)\) :
\[ h_2(O)=B+\tfrac14(O-B)=(4;0)+\left(-1;0\right)=(3;0),\qquad h_1\bigl(h_2(O)\bigr)=A+4\bigl(h_2(O)-A\bigr)=(1;0)+4\times(2;0)=(9;0). \]\(h_1\circ h_2\) est donc la translation de vecteur \(\vec u(9;0)\).
L'ensemble des homothéties-translations, muni de la composition \(\circ\), forme un groupe :
• élément neutre : l'identité (\(k=1\)) ;
• stabilité : la composée de deux homothéties-translations
en est encore une (ci-dessus) ;
• inversibilité : chaque élément admet une réciproque dans
l'ensemble (ci-dessus) ;
• associativité : automatique, car il s'agit d'une
composition d'applications.
Ce groupe n'est pas commutatif en général : \(h_1\circ h_2\) et \(h_2\circ h_1\) ont le même rapport \(k_1k_2\), donc la même nature, mais pas nécessairement le même centre (ou le même vecteur de translation).
Une translation conserve les distances (c'est une isométrie). Une homothétie de rapport \(k\) multiplie toutes les distances par \(|k|\) : elle conserve l'alignement, le parallélisme, l'orthogonalité et les angles orientés, mais pas les distances (sauf si \(|k|=1\)).
Réflexions et composées de réflexions
La réflexion d'axe \((D)\) transforme \(M\) en \(M'\) tel que \((D)\) soit la médiatrice de \([MM']\) (ou \(M'=M\) si \(M\in(D)\)). C'est une isométrie : elle conserve les distances.
Une réflexion est involutive : \(s\circ s=\mathrm{id}\), donc \(s^{-1}=s\) — elle est sa propre réciproque. Contrairement à une homothétie-translation (chapitre 1), une réflexion inverse le signe de tout angle orienté :
\[ (\vec u{\,}',\vec v{\,}')=-(\vec u,\vec v). \]Réservé aux abonnés Premium et Élève-Classe.
Voir les offresSi \((D_1)\parallel(D_2)\), la composée \(s_{D_2}\circ s_{D_1}\) est la translation de vecteur \(2\vec u\), où \(\vec u\) est le vecteur perpendiculaire commun allant de \((D_1)\) vers \((D_2)\). Réciproquement, toute translation de vecteur \(\vec w\) se décompose en un produit de deux réflexions d'axes perpendiculaires à \(\vec w\), distants de \(\dfrac{\lVert\vec w\rVert}2\).
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Voir les offresFigure — Deux réflexions d'axes parallèles composent une translation
\(M\to s_{D_1}(M)\to s_{D_2}(s_{D_1}(M))\) : le trajet global équivaut à une translation de vecteur \((6;0)\).
Si \((D_1)\) et \((D_2)\) se coupent en \(\Omega\), en notant \(\theta\) l'angle orienté de \((D_1)\) vers \((D_2)\), la composée \(s_{D_2}\circ s_{D_1}\) est la rotation de centre \(\Omega\) et d'angle \(2\theta\).
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Voir les offresToute rotation de centre \(\Omega\) et d'angle \(\theta\) se décompose en un produit \(s_{D_2}\circ s_{D_1}\) de deux réflexions d'axes passant par \(\Omega\), où \((D_1)\) est une droite quelconque passant par \(\Omega\) et \((D_2)\) fait avec \((D_1)\) un angle orienté \(\dfrac\theta2\). Ce résultat est la réciproque exacte du théorème du chapitre 2 sur la composée de deux réflexions d'axes sécants.
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Voir les offresRotation : définition, réciproque, composée
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Voir les offresLa réciproque de la rotation de centre \(\Omega\) et d'angle \(\theta\) est la rotation de même centre \(\Omega\) et d'angle \(-\theta\). La composée de deux rotations de même centre \(\Omega\), d'angles \(\theta_1\) et \(\theta_2\), est la rotation de centre \(\Omega\) et d'angle \(\theta_1+\theta_2\).
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Voir les offresMuni de la composition, l'ensemble des rotations de centre \(\Omega\) fixé forme un groupe (neutre : angle \(0°\) ; stable et inversible : ci-dessus ; associatif). Contrairement au groupe des homothéties-translations (chapitre 1), ce groupe est commutatif : \(\theta_1+\theta_2=\theta_2+\theta_1\), donc \(r_2\circ r_1=r_1\circ r_2\).
Figure interactive — Rotation de centre \(O\) et d'angle \(\theta\)
Faites glisser \(\theta\) : le triangle image tourne autour de \(O\) en conservant sa forme et sa taille (isométrie).
Résumé
\(\overrightarrow{M'N'}=k\,\overrightarrow{MN}\) : translation si \(k=1\), homothétie sinon.
Toujours conservés, quel que soit le signe de \(k\).
Homothétie \((\Omega,k)\to(\Omega,\frac1k)\) ; composée de rapport \(k_1k_2\).
Neutre, stable, inversible, associatif — non commutatif en général.
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Question 1. Soit \(h\) l'homothétie de centre \(\Omega(-1;3)\) et de rapport \(k=2\). Déterminer l'image de \(A(2;-1)\).
\(\overrightarrow{\Omega A}=(3;-4)\), donc \(\overrightarrow{\Omega A'}=2\times(3;-4)=(6;-8)\), soit \(A'=(-1+6;3-8)=(5;-5)\).
Question 2. Déterminer le centre et le rapport de la réciproque de \(h\).
Même centre \(\Omega(-1;3)\), rapport \(\dfrac12\).
Question 3. \(h_1\) : centre \(A(1;0)\), rapport \(4\). \(h_2\) : centre \(B(4;0)\), rapport \(\dfrac14\). Montrer que \(h_1\circ h_2\) est une translation et déterminer son vecteur.
\(4\times\dfrac14=1\), donc \(h_1\circ h_2\) est une translation, de vecteur \(\vec u(9;0)\) (calcul de l'image de \(O\) ci-dessus).
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