Première C · Leçon 1

Équations et inéquations du second degré dans ℝ

Ce que dit le programme officiel (17 points)

le discriminant d’un polynôme du second degré
le discriminant d’une équation du second degré
les formules donnant les zéros éventuels d’un polynôme du second degré
les formules donnant les solutions éventuelles d’une équation du second degré
l’expression de la somme des solutions éventuelles d’une équation du second degré
l’expression du produit des solutions éventuelles d’une équation du second degré
les règles donnant le signe d’un polynôme du second degré
la forme factorisée d’un polynôme du second degré connaissant ses zéros éventuels
le signe d’un polynôme du second degré
une solution d’une équation du second degré en utilisant la somme ou le produit des solutions, l’autre étant donnée
deux nombres connaissant leur somme et leur produit
résoudre une équation du second degré en utilisant le discriminant
une inéquation du second degré en utilisant le discriminant
graphiquement une équation ou une inéquation du second degré
une équation du type : √𝑝(𝑥) = 𝑞(𝑥) ou une inéquation de l’un des types suivants : √𝑝(𝑥) ≤ 𝑞(𝑥) ; √𝑝(𝑥) < 𝑞(𝑥) ; √𝑝(𝑥) ≥ 𝑞(𝑥) ; √𝑝(𝑥) > 𝑞(𝑥) où 𝑝 est un polynôme de degré inférieur ou égal à 2 et 𝑞 un polynôme de degré inférieur ou égal à 1
des équations du type : 𝑎𝑥^4 + 𝑏𝑥^2 + 𝑐 = 0, où 𝑎, 𝑏 et 𝑐 sont des nombres réels
traiter une situation faisant appel aux équations et inéquations du second degré

Source : Programme éducatif Première C, DPFC, version CND 0923

Équation du second degré : discriminant et racines

Rappel de Seconde

Théorème — Discriminant

Pour \(ax^2+bx+c=0\) (\(a\ne 0\)), on pose \(\Delta = b^2-4ac\).

Si \(\Delta > 0\) : deux solutions distinctes,

\[ x_1 = \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}, \qquad x_2 = \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}. \]

Si \(\Delta = 0\) : une unique solution (racine double), \(x_0 = -\dfrac{b}{2a}\).

Si \(\Delta < 0\) : aucune solution réelle.

Méthode — Plusieurs techniques disponibles

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Exemples gradués

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Somme et produit des racines d'un trinôme

Somme et produit des racines

Si \(ax^2+bx+c\) (\(a\neq0\)) admet deux racines \(x_1\), \(x_2\), alors \(S=x_1+x_2=-\dfrac ba\) et \(P=x_1x_2=\dfrac ca\).

Exemple. \(x^2-7x+12=0\) : \(S=7\), \(P=12\), donc les racines sont \(3\) et \(4\) (\(3+4=7\), \(3\times4=12\)).

Exemple — simplifier une fraction rationnelle

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Signe du trinôme et inéquations du second degré

Rappel de Seconde

Règle du signe

Si \(\Delta > 0\) (racines \(x_1<x_2\)) : \(P(x)\) est du signe de \(a\) à l'extérieur de \([x_1;x_2]\), du signe de \(-a\) entre les racines.

Si \(\Delta = 0\) : \(P(x)\) est du signe de \(a\) partout, sauf en \(x_0\) où il s'annule.

Si \(\Delta < 0\) : \(P(x)\) est du signe de \(a\) pour tout réel \(x\) (jamais nul).

Règle mnémotechnique du Bac : « signe de \(a\), sauf entre les racines ».

Méthode — Résoudre une inéquation du second degré

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Figure interactive — Parabole \(y=ax^2+bx+c\)

\(a\) = 1 \(b\) = -2 \(c\) = -3

Observez comment le signe du discriminant détermine le nombre de points d'intersection avec l'axe des abscisses.

Polynômes : degré, racine et factorisation par (x − a)

Vocabulaire et résultat admis

Un polynôme s'écrit sous forme réduite \(P(x)=a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0\) (\(a_n\neq0\)), de degré \(n\). On admet le résultat : si un polynôme est nul, tous ses coefficients sont nuls. Un réel \(a\) est racine de \(P\) si \(P(a)=0\) ; on montre alors que \(P(x)\) se factorise par \((x-a)\) (résultat déjà vu en Seconde).

Méthode — division euclidienne

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Figure — Courbe de \(P(x)=(x-3)(x-1)(x+2)\)

Les trois racines \(-2\), \(1\), \(3\) sont exactement les points où la courbe coupe l'axe des abscisses.