Première C · Leçon 15
Vecteurs de l’espace
Ce que dit le programme officiel (13 points)
- la définition de deux vecteurs colinéaires
- la définition de deux vecteurs orthogonaux
- la définition de vecteurs coplanaires, de vecteurs non coplanaires
- la définition d’une base orthogonale, d’une base orthonormée
- la définition d’un repère, d’un repère orthonormé
- la définition de coordonnées d’un vecteur dans une base donnée.
- la définition du produit scalaire de deux vecteurs
- la propriété relative aux coordonnées de la somme de deux vecteurs dans une base ;
- la propriété relative aux coordonnées du produit d’un vecteur par un nombre réel dans une base
- l’expression du produit scalaire dans une base orthonormée
- l’expression de la norme d’un vecteur dans une base orthonormée
- l’expression traduisant la condition d’orthogonalité de deux vecteurs dans une base orthonormée
- l’expression de la distance de deux points dans un repère orthonormé
Source : Programme éducatif Première C, DPFC, version CND 0923
Déterminant de deux vecteurs, colinéarité, alignement, milieu
Rappel de SecondeL'étude des vecteurs du plan ne se limite pas à des manipulations algébriques : elle fournit les outils qui serviront toute l'année pour la géométrie (parallélisme, alignement, milieu, barycentre). On évoquera au passage la notion d'espace vectoriel sur \(\mathbb{R}\), mais aucun développement abstrait n'est exigible à ce niveau.
Un vecteur \(\vec{u}\) est caractérisé par une direction, un sens et une norme (longueur), notée \(\|\vec{u}\|\). Deux vecteurs sont égaux si le quadrilatère qu'ils déterminent (avec leurs origines et extrémités) est un parallélogramme — ce qui correspond à la translation qui envoie l'un sur l'autre. L'opposé de \(\vec{u} = \overrightarrow{AB}\) est \(-\vec{u}=\overrightarrow{BA}\) ; il correspond à la symétrie centrale.
Une combinaison linéaire de deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) est un vecteur de la forme \(a\vec{u}+b\vec{v}\), avec \(a,b\in\mathbb{R}\). Une base du plan est un couple de vecteurs \((\vec{i},\vec{j})\) non colinéaires. Dans une base, tout vecteur \(\vec{w}\) se décompose de façon unique : \(\vec{w} = x\vec{i}+y\vec{j}\) ; \((x,y)\) sont les coordonnées de \(\vec{w}\) dans cette base.
Dans une base, si \(\vec{u}(x;y)\) et \(\vec{v}(x';y')\), le déterminant de \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) est
\[ \det(\vec u,\vec v) = xy' - x'y. \]\(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires si et seulement si \(\det(\vec u,\vec v)=0\).
Facile. \(\vec u(3;2)\) et \(\vec v(6;4)\) : \(\det(\vec u,\vec v)=3\times4-6\times2=12-12=0\) : colinéaires (en effet \(\vec v=2\vec u\)).
Décomposition. Dans la base \((\vec i,\vec j)\), décomposer \(\vec w = 2\vec i - \vec j\) sur \(\vec u=\vec i+\vec j\) et \(\vec v=\vec i-\vec j\) (non colinéaires). On cherche \(a,b\) tels que \(\vec w=a\vec u+b\vec v\) : \(2\vec i-\vec j=(a+b)\vec i+(a-b)\vec j\). Par identification : \(a+b=2\) et \(a-b=-1\), soit \(a=\tfrac12\), \(b=\tfrac32\).
Droites parallèles : \((AB)\parallel(CD)\) si et seulement si \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CD}\) sont colinéaires.
Points alignés : \(A,B,C\) sont alignés si et seulement si \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont colinéaires.
Milieu : \(I\) est le milieu de \([AB]\) si et seulement si \(\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{IB}\), ou encore \(\overrightarrow{OI}=\tfrac12\big(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\big)\) pour toute origine \(O\).
Thalès et homothétie : la multiplication d'un vecteur par un scalaire \(k\) correspond à une homothétie de rapport \(k\) ; le théorème de Thalès en géométrie plane traduit exactement cette proportionnalité vectorielle.
Pour montrer que \(A,B,C\) sont alignés : calculer les coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\), puis leur déterminant. S'il est nul, les points sont alignés.
Exemple. \(A(1;2)\), \(B(3;5)\), \(C(-1;-4)\). \(\overrightarrow{AB}(2;3)\), \(\overrightarrow{AC}(-2;-6)\). \(\det=2\times(-6)-(-2)\times3=-12+6=-6\ne0\) : \(A,B,C\) ne sont pas alignés.
Figure interactive — Alignement de trois points
Déplacez le point C : la couleur du triangle change selon que A, B, C sont alignés (déterminant nul) ou non.
Produit scalaire dans l'espace, orthogonalité, vecteur normal
Le produit scalaire de l'espace prolonge celui du plan, avec les mêmes propriétés (bilinéarité, symétrie). Dans un repère orthonormé \((O;\vec\imath,\vec\jmath,\vec k)\), pour \(\vec u(x;y;z)\) et \(\vec v(x';y';z')\) :
\[ \vec u\cdot\vec v=xx'+yy'+zz', \qquad \|\vec u\|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}. \]La distance entre \(A(x_A;y_A;z_A)\) et \(B(x_B;y_B;z_B)\) vaut \(AB=\|\overrightarrow{AB}\|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}\).
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Voir les offresDeux droites de vecteurs directeurs \(\vec u,\vec v\) sont orthogonales si \(\vec u\cdot\vec v=0\) (même si elles ne se coupent pas — cas des droites gauches orthogonales). Une droite de vecteur directeur \(\vec u\) est orthogonale à un plan \(P\) si \(\vec u\) est orthogonal à deux vecteurs directeurs non colinéaires de \(P\) — elle l'est alors à tout vecteur de \(P\).
Un vecteur \(\vec n\) est normal au plan \(P\) s'il est orthogonal à deux vecteurs directeurs non colinéaires de \(P\) (donc à toute droite de \(P\)). Le plan \(\alpha x+\beta y+\gamma z+\delta=0\) admet \(\vec n(\alpha;\beta;\gamma)\) pour vecteur normal — lecture directe sur l'équation. Deux plans sont perpendiculaires si leurs vecteurs normaux sont orthogonaux.
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Voir les offresFigure — Plan \(P\) et son vecteur normal \(\vec n\)
\(\vec n\) est orthogonal à toute droite tracée dans le plan \(P\), quelle que soit sa direction.
Résultat admis. Un angle droit se projette orthogonalement sur un plan suivant un angle droit si et seulement si l'un au moins de ses côtés est parallèle au plan de projection. Sans cette condition, l'angle projeté peut être quelconque — c'est un piège classique en représentation en perspective.
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Voir les offresVecteurs et repères de l'espace, coplanarité
Les vecteurs de l'espace se manipulent exactement comme dans le plan : addition (règle du parallélogramme), multiplication par un réel, relation de Chasles \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\). Rien de nouveau dans les propriétés — seule la troisième dimension s'ajoute.
Deux vecteurs \(\vec u\) et \(\vec v\) sont colinéaires s'il existe un réel \(k\) tel que \(\vec v=k\vec u\) (ou l'un des deux est nul). Un vecteur \(\vec u\) est vecteur directeur d'une droite \(D\) si \(D\) est dirigée par \(\vec u\) : deux points \(A,B\) de \(D\) vérifient \(\overrightarrow{AB}\) colinéaire à \(\vec u\).
Trois vecteurs \(\vec u,\vec v,\vec w\) sont coplanaires s'il existe trois réels \(a,b,c\) non tous nuls tels que \(a\vec u+b\vec v+c\vec w=\vec 0\) (résultat admis). Concrètement : l'un des trois s'exprime comme combinaison des deux autres. Un plan \(P\) admet deux vecteurs directeurs \(\vec u,\vec v\) non colinéaires : tout vecteur de \(P\) est alors coplanaire avec \(\vec u,\vec v\).
\(\vec u(1;0;1)\), \(\vec v(0;1;1)\), \(\vec w(2;1;3)\). Cherchons \(a,b\) tels que \(\vec w=a\vec u+b\vec v\) : \(2=a\), \(1=b\), \(3=a+b=2+1=3\) ✓. Les trois composantes sont cohérentes : \(\vec u,\vec v,\vec w\) sont coplanaires (\(\vec w=2\vec u+\vec v\)).
Une base de l'espace est un triplet \((\vec i,\vec j,\vec k)\) de vecteurs non coplanaires. Dans une telle base, tout vecteur \(\vec u\) se décompose de façon unique : \(\vec u=x\vec i+y\vec j+z\vec k\), et l'on note \(\vec u(x;y;z)\). Un repère de l'espace est la donnée d'un point \(O\) (l'origine) et d'une base \((\vec i,\vec j,\vec k)\) ; un point \(M\) a pour coordonnées \((x;y;z)\) celles du vecteur \(\overrightarrow{OM}\).
Figure — Représentation en perspective cavalière d'un repère \((O;\vec\imath,\vec\jmath,\vec k)\)
L'axe \((Oy)\) est dessiné en oblique pour suggérer la profondeur — convention usuelle de la perspective cavalière utilisée dans toutes les figures de ce chapitre.
Bases orthonormées directes et angle orienté de deux vecteurs
Étant donné un vecteur unitaire \(\vec\imath\), il existe un seul vecteur unitaire \(\vec\jmath\) tel que \((\vec\imath,\vec\jmath)\) soit une base orthonormée directe (obtenu par rotation de \(+90°\)). Pour deux vecteurs \(\vec u\), \(\vec v\) donnés par leurs coordonnées dans une base orthonormée directe :
\[ \cos\theta=\dfrac{\vec u\cdot\vec v}{\|\vec u\|\,\|\vec v\|}, \qquad \sin\theta=\dfrac{\det(\vec u,\vec v)}{\|\vec u\|\,\|\vec v\|}, \]où \(\theta=(\vec u,\vec v)\) est l'angle orienté des deux vecteurs et \(\det(\vec u,\vec v)=x_uy_v-y_ux_v\).
\(\vec u\) et \(\vec v\) sont colinéaires si et seulement si \(\det(\vec u,\vec v)=0\) (angle \(0\) ou \(\pi\)). Ils sont orthogonaux si et seulement si \(\vec u\cdot\vec v=0\) (angle \(\pm\dfrac\pi2\)). Aussi, si \(\vec u'\) est colinéaire à \(\vec u\) et \(\vec v'\) colinéaire à \(\vec v\) (même sens), l'angle double \(2(\vec u',\vec v')=2(\vec u,\vec v)\) : seul l'angle « doublé » est conservé, pas l'angle lui-même si l'un des deux sens est inversé.
Soit \(\vec u(3;4)\) et \(\vec v(4;-3)\). \(\vec u\cdot\vec v=3\times4+4\times(-3)=12-12=0\) : les deux vecteurs sont orthogonaux. On vérifie : \(\|\vec u\|=\|\vec v\|=5\), \(\det(\vec u,\vec v)=3\times(-3)-4\times4=-25\), donc \(\sin\theta=\dfrac{-25}{25}=-1\) : \(\theta=-\dfrac\pi2\), cohérent avec l'orthogonalité.
Figure — \(\vec u(3;4)\) et \(\vec v(4;-3)\), orthogonaux
Les deux vecteurs, tous deux de norme \(5\), forment un angle droit — conforme au produit scalaire nul.
- L'angle orienté \((\vec u,\vec v)\) n'est pas égal à \((\vec v,\vec u)\) : leur sinus est opposé — l'ordre des deux vecteurs compte.
- \(\det(\vec u,\vec v)=0\) donne la colinéarité, alors que \(\vec u\cdot\vec v=0\) donne l'orthogonalité — les deux conditions sont faciles à confondre car elles se calculent de façon très similaire.
Produit scalaire en repère orthonormé
Rappel de SecondeDans un repère orthonormé, si \(\vec u(x;y)\) et \(\vec v(x';y')\) :
\[ \vec u \cdot \vec v = xx' + yy', \qquad \|\vec u\| = \sqrt{x^2+y^2}. \]Pour deux points \(A(x_A;y_A)\) et \(B(x_B;y_B)\), la distance \(AB = \|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\).
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Voir les offresRésumé
Base = 2 vecteurs non colinéaires. Décomposition unique de tout vecteur dans une base donnée.
\(\det(\vec u,\vec v)=xy'-x'y\). Nul \(\iff\) vecteurs colinéaires.
Points alignés / droites parallèles : déterminant nul des vecteurs associés.
\(I\) milieu de \([AB]\) \(\iff\) \(\overrightarrow{OI}=\tfrac12(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})\) pour toute origine \(O\).
\(\cos\theta=\dfrac{\vec u\cdot\vec v}{\|\vec u\|\|\vec v\|}\), \(\sin\theta=\dfrac{\det(\vec u,\vec v)}{\|\vec u\|\|\vec v\|}\).
\(\det(\vec u,\vec v)=0\).
\(\vec u\cdot\vec v=0\).
Un seul \(\vec\jmath\) unitaire pour \(\vec\imath\) donné.
\(a\vec u+b\vec v+c\vec w=\vec 0\) avec \(a,b,c\) non tous nuls.
\((x_A+ta,\ y_A+tb,\ z_A+tc)\), point + vecteur directeur.
Paramétrique (point + 2 vecteurs) ou cartésienne \(\alpha x+\beta y+\gamma z+\delta=0\).
Non parallèles et non sécantes — spécifique à l'espace.
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Voir les offresSujet type devoir
Dans un repère, on donne \(A(-2;1)\), \(B(4;3)\), \(C(1;2)\).
Question 1. Calculer les coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\).
\(\overrightarrow{AB}(4-(-2)\,;\,3-1)=(6;2)\). \(\overrightarrow{AC}(1-(-2)\,;\,2-1)=(3;1)\).
Question 2. \(A, B, C\) sont-ils alignés ?
\(\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=6\times1-3\times2=6-6=0\) : les points sont alignés (\(C\) est d'ailleurs le milieu de \([AB]\), à vérifier : \(\tfrac{-2+4}{2}=1\), \(\tfrac{1+3}{2}=2\) — coordonnées de \(C\). Confirmé.)
Question 3. Soit \(D\) tel que \(\overrightarrow{AD}=3\overrightarrow{AB}\). Calculer les coordonnées de \(D\).
\(\overrightarrow{AD}=3(6;2)=(18;6)\). Donc \(D = A+\overrightarrow{AD} = (-2+18\,;\,1+6)=(16;7)\).
Question 1. Soit \(\vec u(5;12)\) et \(\vec v(12;-5)\). Montrer que \(\vec u\) et \(\vec v\) sont orthogonaux.
\(\vec u\cdot\vec v=5\times12+12\times(-5)=60-60=0\) : orthogonaux.
Question 2. Soit \(\vec u(6;9)\) et \(\vec v(4;6)\). Montrer que \(\vec u\) et \(\vec v\) sont colinéaires.
\(\det(\vec u,\vec v)=6\times6-9\times4=36-36=0\) : colinéaires (en effet \(\vec u=\dfrac32\vec v\)).
Question 3. Soit \(\vec u(1;0)\) et \(\vec v(0;1)\). Calculer \(\cos(\vec u,\vec v)\) et \(\sin(\vec u,\vec v)\).
\(\vec u\cdot\vec v=0\), \(\det(\vec u,\vec v)=1\). \(\|\vec u\|=\|\vec v\|=1\), donc \(\cos\theta=0\), \(\sin\theta=1\) : \(\theta=\dfrac\pi2\).
Question 1. Donner une représentation paramétrique de la droite \(D\) passant par \(A(0;1;2)\) et \(B(3;-1;1)\).
\(\overrightarrow{AB}(3;-2;-1)\) dirige \(D\) : \(x=3t,\ y=1-2t,\ z=2-t\), \(t\in\mathbb R\).
Question 2. Le point \(C(1;1;2)\) appartient-il au plan \(P:\ x+2y-z-1=0\) ?
\(1+2(1)-2-1=1+2-2-1=0\) ✓ : \(C\in P\).
Question 3. Les vecteurs \(\vec u(1;1;0)\), \(\vec v(0;1;1)\), \(\vec w(2;4;2)\) sont-ils coplanaires ?
Cherchons \(a,b\) : \(\vec w=a\vec u+b\vec v\) donne \(2=a\), \(4=a+b\Rightarrow b=2\), \(2=b=2\) ✓. Cohérent sur les trois coordonnées : oui, coplanaires (\(\vec w=2\vec u+2\vec v\)).
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