Première C · Leçon 9

Statistique à une variable

Ce que dit le programme officiel (12 points)

Séries statistiques regroupées en classes de même amplitude ou non
Définition de la densité d’une classe
Définition d’une classe modale
Représentations graphiques
Courbes cumulatives
Polygones des effectifs et des fréquences
Caractéristiques de position d’une série statistique regroupée en classes
Médiane (2ème quartile)
Premier quartile et troisième quartile
Caractéristiques de dispersion d’une série statistique regroupées en classes
Écart type
Écart interquartile

Source : Programme éducatif Première C, DPFC, version CND 0923

Statistiques : vocabulaire, effectifs, fréquences, classes

Rappel de Seconde

Vocabulaire de base

La population est l'ensemble étudié ; un caractère est la propriété observée sur chaque individu (quantitatif ou qualitatif). L'effectif d'une valeur est le nombre d'individus qui la présentent ; la fréquence est l'effectif divisé par l'effectif total (souvent exprimée en %).

L'effectif cumulé (croissant) d'une valeur est la somme des effectifs des valeurs inférieures ou égales ; la fréquence cumulée se définit de même à partir des fréquences.

Exemple — Tableau d'effectifs

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Représentations graphiques (bâtons, circulaire, histogramme)

Rappel de Seconde

Modes de représentation

Diagramme en bâtons : une barre par valeur, hauteur = effectif (adapté à un caractère discret). Diagramme circulaire : secteurs proportionnels aux effectifs (adapté aux comparaisons de proportions). Histogramme : utilisé quand les données sont regroupées en classes ; l'aire de chaque rectangle (pas seulement la hauteur) doit être proportionnelle à l'effectif de la classe. Diagramme cumulatif : représente les effectifs (ou fréquences) cumulés, utile pour lire graphiquement médiane et quartiles.

Figure — Diagramme en bâtons des notes

Chaque barre représente l'effectif d'une note — lecture directe du mode (barre la plus haute).

Paramètres de position : mode, moyenne, médiane

Rappel de Seconde

Définitions — Mode, moyenne, médiane

Le mode est la valeur de plus grand effectif. La moyenne est la somme des valeurs pondérées par leurs effectifs, divisée par l'effectif total. La médiane est une valeur qui partage la population en deux groupes de même effectif (une fois les données triées par ordre croissant) : autant de valeurs inférieures que supérieures à elle.

Méthode — Calculer moyenne et médiane sur l'exemple précédent

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Paramètres de dispersion : étendue, écart moyen, variance, écart-type

Rappel — caractéristiques de position (vues en Seconde)

La moyenne \(\bar x\) et la médiane résument où se situe une série, mais deux séries peuvent avoir la même moyenne tout en étant très différentes : l'une resserrée autour de \(\bar x\), l'autre très dispersée. Les caractéristiques de dispersion mesurent cet écalement.

Exemple introductif

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Étendue \[ \text{Étendue}=x_{\max}-x_{\min}. \]

Simple et rapide à calculer, mais très sensible aux valeurs extrêmes (une seule valeur aberrante suffit à la fausser).

Écart-moyen

Pour une série de \(n\) valeurs \(x_1,\dots,x_n\) de moyenne \(\bar x\), l' écart-moyen est la moyenne des écarts (en valeur absolue) à la moyenne :

\[ e=\frac1n\sum_{i=1}^{n}|x_i-\bar x|. \]

Variance et écart-type

La variance \(V\) est la moyenne des carrés des écarts à la moyenne (préférée à l'écart-moyen car plus maniable algébriquement) :

\[ V=\frac1n\sum_{i=1}^n (x_i-\bar x)^2. \]

L'écart-type \(\sigma=\sqrt V\) ramène cette mesure à la même unité que les données (la variance est en unité au carré).

Formule simplifiée de la variance \[ V=\left(\frac1n\sum_{i=1}^n x_i^2\right)-\bar x^{\,2}. \]

« Moyenne des carrés moins carré de la moyenne » — en pratique bien plus rapide à calculer à la main ou à la calculatrice que la formule de définition, car elle ne demande qu'un seul passage sur les données une fois \(\bar x\) connue.

Méthode — calculer \(V\) et \(\sigma\) pour la série 2

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Figure — Deux séries de même moyenne \(\bar x=10\), écart-types très différents

Série 1 (haut, resserrée, \(\sigma\approx0{,}71\)) contre série 2 (bas, dispersée, \(\sigma\approx5{,}83\)) — même moyenne, dispersions très différentes.

Piège fréquent

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