Systèmes d’équations linéaires dans ℝ² et dans ℝ³

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Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) Le système $\begin{cases}y=3x-2\\2x+y=8\end{cases}$ a pour solution :
a) $(2;4)$   b) $(4;2)$   c) $(2;-4)$   d) $(-2;4)$

2) Le système $\begin{cases}x+y=10\\x-y=2\end{cases}$ a pour solution :
a) $(6;4)$   b) $(4;6)$   c) $(8;2)$   d) $(5;5)$

3) Le système $\begin{cases}2x+4y=8\\x+2y=4\end{cases}$ admet :
a) une infinité de solutions   b) aucune solution   c) l'unique solution $(0;2)$   d) l'unique solution $(4;0)$

4) Le système $\begin{cases}x-y=3\\x-y=5\end{cases}$ admet :
a) aucune solution   b) une infinité de solutions   c) une solution unique   d) la solution $(4;1)$

Exercice 2 — Situation d'intégration

Le comité des fêtes d'un lycée achète 3 types d'articles pour la kermesse annuelle : des t-shirts (2 000 FCFA l'unité), des casquettes (1 500 FCFA l'unité) et des gourdes (3 000 FCFA l'unité). On note $x$, $y$, $z$ les nombres respectifs de t-shirts, casquettes et gourdes achetés. Le comité a acheté $30$ articles au total, pour une dépense totale de $57\,500$ FCFA, et il a acheté deux fois plus de t-shirts que de gourdes.

Consigne :

1) Traduire l'énoncé par un système de 3 équations à 3 inconnues $x$, $y$, $z$.

2) Résoudre ce système par la méthode du pivot de Gauss.

3) Combien de casquettes le comité a-t-il achetées ?

Une couturière achète chez le même grossiste trois tissus : du wax, du bazin et du bogolan. Le prix du mètre de chaque tissu ne change pas d'une commande à l'autre. On note \(x\), \(y\) et \(z\) les prix, en francs, d'un mètre de wax, d'un mètre de bazin et d'un mètre de bogolan.

Commande A : 2 m de wax, 1 m de bazin et 3 m de bogolan, pour 13 500 F.
Commande B : 1 m de wax, 3 m de bazin et 2 m de bogolan, pour 17 500 F.
Commande C : 3 m de wax, 2 m de bazin et 1 m de bogolan, pour 17 000 F.

1) Traduis les trois commandes par un système \((S)\) de trois équations d'inconnues \(x\), \(y\) et \(z\).

2) Sans résoudre \((S)\), démontre qu'un lot formé d'un mètre de chacun des trois tissus coûte 8 000 F.

3) Résous \((S)\) par la méthode du pivot de Gauss, en plaçant l'équation de la commande B en première ligne.

4) Vérifie le triplet trouvé dans les trois équations de \((S)\), puis retrouve le résultat de la question 2.

5) Pour une quatrième commande, la couturière veut exactement 9 m de tissu, uniquement du wax et du bazin, et dépenser exactement 30 000 F. Écris un système de deux équations à deux inconnues, puis résous-le par substitution pour trouver le nombre de mètres de chaque tissu.

Pour tout nombre réel \(m\), on considère le système d'inconnues réelles \(x\) et \(y\) : \[(S_m)\ \begin{cases}mx+4y=m+2\\ x+my=2\end{cases}\] On veut connaître, selon la valeur de \(m\), le nombre de solutions de \((S_m)\).

1) Résous par substitution le système obtenu pour \(m=-1\).

2) Démontre que, pour tout réel \(m\), le système \((S_m)\) a les mêmes solutions que le système formé des deux équations \(x=2-my\) et \((2-m)(2+m)y=2-m\).

3) On suppose que \(m=2\). Résous le système et interprète graphiquement le résultat à l'aide de deux droites.

4) On suppose que \(m=-2\). Démontre que le système n'a aucune solution et interprète graphiquement ce résultat.

5) On suppose que \(m\) est différent de \(2\) et de \(-2\). Exprime en fonction de \(m\) l'unique solution du système, puis retrouve le résultat de la question 1.

6) Détermine les valeurs de \(m\) pour lesquelles l'unique solution \((x\,;y)\) vérifie \(xy=1\), et donne la solution correspondante dans chaque cas.

Dans un repère du plan, on donne les points \(A(1\,;-6)\), \(B(-2\,;9)\) et \(C(3\,;4)\). On cherche un polynôme \(P(x)=ax^2+bx+c\), où \(a\), \(b\) et \(c\) sont des réels, dont la courbe représentative passe par ces trois points.

1) Démontre que la courbe de \(P\) passe par \(A\), \(B\) et \(C\) si, et seulement si, le triplet \((a\,;b\,;c)\) est solution d'un système \((S)\) de trois équations que tu écriras.

2) Résous \((S)\) par la méthode du pivot de Gauss et donne l'expression de \(P(x)\).

3) Résous dans \(\mathbb{R}\) l'équation \(P(x)=0\) et donne les coordonnées des points où la courbe de \(P\) coupe l'axe des abscisses.

4) Démontre qu'il n'existe aucune droite d'équation \(y=px+q\) passant à la fois par \(A\), \(B\) et \(C\). Que peux-tu en déduire pour ces trois points ?

5) Soit \((D)\) la droite d'équation \(y=x+1\). Détermine les coordonnées des points communs à \((D)\) et à la courbe de \(P\). Lequel des trois points de départ retrouves-tu ?

Le club de théâtre d'un lycée organise une soirée. Les 60 spectateurs se répartissent en \(x\) enfants, \(y\) lycéens et \(z\) adultes. L'entrée coûte 500 F pour un enfant, 1 000 F pour un lycéen et 2 000 F pour un adulte ; la recette totale est de 65 000 F. À l'entrée, chaque enfant reçoit 2 jetons de tombola, chaque lycéen 3 jetons et chaque adulte 5 jetons. Le trésorier a noté que 200 jetons ont été distribués.

1) Écris un système \((S)\) de trois équations traduisant ces informations. Tu simplifieras l'équation de la recette en divisant ses deux membres par 500.

2) Applique la méthode du pivot de Gauss à \((S)\) et démontre que ce système n'a aucune solution. Que peux-tu en conclure sur les relevés du trésorier ?

3) Après un nouveau comptage, le nombre de jetons distribués est en réalité 190. On note \((S')\) le système corrigé. Démontre que \((S')\) a les mêmes solutions que le système formé des deux équations \(x=2z-10\) et \(y=70-3z\). Combien \((S')\) a-t-il de triplets de réels solutions ?

4) Les nombres \(x\), \(y\) et \(z\) sont des entiers naturels. Justifie que \(z\) est compris entre 5 et 23, puis donne le nombre de répartitions possibles des spectateurs.

5) Un surveillant se souvient qu'il y avait exactement deux fois plus de lycéens que d'adultes. Détermine alors le nombre d'enfants, de lycéens et d'adultes, et vérifie ta réponse.