Statistique à une variable

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) Pour la série constante $4,4,4,4$, la variance vaut :
a) $0$   b) $4$   c) $16$   d) $1$

2) L'étendue d'une série statistique est définie par :
a) $x_{\max}-x_{\min}$   b) la moyenne des écarts à la moyenne   c) la somme des carrés des écarts   d) le carré de l'écart-type

3) La formule simplifiée de la variance est :
a) $\dfrac1n\sum x_i^2-\bar x^2$   b) $\dfrac1n\sum x_i^2+\bar x^2$   c) $\dfrac1n\sum(x_i-\bar x)$   d) $\bar x^2-\dfrac1n\sum x_i^2$

4) Pour la série $3,5,7,9,11$, la moyenne $\bar x$ vaut :
a) $7$   b) $5$   c) $6$   d) $8$

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

Une coopérative a relevé l'âge de $20$ de ses membres :

1) L'effectif total de cette série est :
a) $20$   b) $5$   c) $150$   d) $8$

2) Le mode de cette série est :
a) $30$   b) $8$   c) $35$   d) $20$

3) La moyenne de cette série vaut (arrondie) :
a) $29{,}5$   b) $30$   c) $28$   d) $32$

4) La médiane de cette série est :
a) $30$   b) $29{,}5$   c) $25$   d) $27{,}5$

Exercice 2 — Situation d'intégration

Deux classes de Première C d'un même lycée ont composé le même devoir de mathématiques. Notes de la classe A (sur 5 élèves) : $8,\ 10,\ 10,\ 12,\ 10$. Notes de la classe B (sur 5 élèves) : $4,\ 8,\ 10,\ 12,\ 16$.

Consigne :

1) Vérifier que les deux classes ont la même moyenne.

2) Calculer la variance de chaque classe à l'aide de la formule simplifiée.

3) Le proviseur veut savoir quelle classe est la plus homogène (la moins dispersée), pour décider laquelle nécessite un soutien ciblé. Répondre à sa question en justifiant.

Exercice 2 — Situation d'intégration

Le président d'une association de producteurs de mil dans la région du Sahel a relevé les rendements (en kg par are) de $15$ parcelles pilotes : $40, 45, 45, 50, 50, 50, 55, 55, 55, 55, 60, 60, 65, 70, 75$.

Consigne : 1) Construire le tableau des effectifs et l'effectif cumulé croissant. 2) Calculer le rendement moyen des $15$ parcelles. 3) Déterminer la médiane de cette série. 4) Le président qualifie de "bon rendement" toute parcelle au-dessus de la moyenne. Combien de parcelles sont dans ce cas ?

Exercice supplémentaire. Un vétérinaire relève le nombre de vaccins administrés par jour sur $20$ jours : $3$ jours à $2$ vaccins, $5$ jours à $4$ vaccins, $8$ jours à $5$ vaccins, $4$ jours à $8$ vaccins.

1) Vérifier que l'effectif total est bien $20$.
2) Calculer la moyenne.
3) Déterminer la médiane de cette série.

Partie A. Une série statistique de 6 valeurs a pour moyenne $12$ et pour variance $9$.

1) Quel est l'écart-type de cette série ?

2) En utilisant la formule simplifiée de la variance, calculer $\sum x_i^2$ pour cette série.

Partie B. On considère une deuxième série de 6 notes : $6,\ 9,\ 12,\ 12,\ 15,\ 18$.

3) Calculer la moyenne et la variance de cette deuxième série à l'aide de la formule simplifiée.

4) Les deux séries ont-elles la même dispersion ? Laquelle est la plus dispersée ?

Problème. Un enseignant de mathématiques d'un lycée a noté sur $20$ les résultats de $22$ élèves à une interrogation : $6, 8, 8, 9, 10, 10, 10, 11, 12, 12, 12, 12, 13, 13, 14, 14, 15, 15, 16, 17, 18, 19$.

Partie A.
1) Quel est le mode de cette série ?
2) Calculer la moyenne de la classe (arrondir au dixième).

Partie B.
3) Déterminer la médiane de cette série ($22$ valeurs : moyenne des $11^e$ et $12^e$ valeurs triées).
4) L'enseignant attribue une mention "Très bien" aux notes strictement supérieures à $15$. Combien d'élèves l'obtiennent, et quel pourcentage de la classe cela représente-t-il (arrondi à l'entier) ?

On a relevé la durée, en minutes, du trajet entre la maison et le lycée pour 120 élèves. Les résultats sont regroupés en classes d'amplitudes inégales.

1) Calcule l'amplitude et la densité de chaque classe (la densité est le quotient de l'effectif par l'amplitude). Dans l'histogramme de cette série, une densité égale à 1 est représentée par une hauteur de 2 cm : donne la hauteur de chacun des cinq rectangles. Quelle est la classe modale ? Explique pourquoi ce n'est pas la classe qui a le plus grand effectif.

2) Dresse le tableau des effectifs cumulés croissants et donne les coordonnées des points que relie la courbe cumulative. Dans quelle classe se trouve la médiane ? Justifie.

3) Calcule par interpolation linéaire la médiane \(M_e\), le premier quartile \(Q_1\) et le troisième quartile \(Q_3\).

4) Calcule l'écart interquartile et interprète ce résultat par une phrase.

5) Calcule la durée moyenne \(\overline{x}\) du trajet, en remplaçant chaque classe par son centre. Compare \(\overline{x}\) et \(M_e\), puis explique l'écart observé.

6) On admet que, dans chaque classe, les durées sont régulièrement réparties. Calcule le pourcentage d'élèves dont le trajet dure plus de 35 minutes.

Une série statistique de 40 valeurs est regroupée en cinq classes de même amplitude. Deux effectifs, notés \(p\) et \(q\), ont été effacés.

On sait que la moyenne de cette série, calculée avec les centres des classes, est égale à 10.

1) Démontre que \(p\) et \(q\) vérifient le système formé par les équations \(p+q=16\) et \(3p+7q=88\), puis calcule \(p\) et \(q\).

2) Calcule la variance \(V\) de la série, puis son écart-type \(\sigma\).

3) On admet que les valeurs sont régulièrement réparties dans chaque classe. Calcule le pourcentage des valeurs de la série qui appartiennent à l'intervalle \([10-\sigma\,;10+\sigma]\).

4) On considère une série quelconque de valeurs \(x_i\), d'effectifs \(n_i\), d'effectif total \(N\), de moyenne \(\overline{x}\) et de variance \(V_x\). Soit \(a\) un réel strictement positif et \(b\) un réel. On remplace chaque valeur \(x_i\) par \(y_i=ax_i+b\), sans changer les effectifs. Démontre que la nouvelle série a pour moyenne \(\overline{y}=a\overline{x}+b\) et pour variance \(V_y=a^2V_x\). Que devient l'écart-type ?

5) On veut transformer ainsi la série du tableau pour obtenir une série de moyenne 12 et d'écart-type 3. Calcule \(a\) et \(b\), puis donne les images des valeurs 0 et 20.

Le bibliothécaire d'un lycée a compté le nombre de livres empruntés pendant un trimestre par chacun des 40 élèves d'une classe.

1) Décris le diagramme en bâtons de cette série : que porte-t-on sur chaque axe et quelle est la hauteur de chaque bâton ? Donne le mode et l'étendue de la série, puis la fréquence, en pourcentage, des élèves qui ont emprunté au moins 4 livres.

2) Dresse le tableau des effectifs cumulés croissants. Détermine la médiane \(M_e\), le premier quartile \(Q_1\), le troisième quartile \(Q_3\) et l'écart interquartile, en justifiant avec les rangs des valeurs.

3) Calcule la moyenne \(\overline{x}\), la variance \(V\) et l'écart-type \(\sigma\) de la série.

4) Calcule le pourcentage d'élèves dont le nombre de livres appartient à l'intervalle \([\overline{x}-\sigma\,;\overline{x}+\sigma]\).

5) Dans une seconde classe, de 20 élèves, le nombre moyen de livres empruntés est noté \(m\). Pour l'ensemble des 60 élèves des deux classes, la moyenne est \(3{,}5\) livres. Démontre que \(m=4{,}5\), puis explique pourquoi la moyenne générale n'est pas la demi-somme des moyennes des deux classes.

Un club omnisports compte 200 adhérents âgés de 10 à 60 ans. Les âges, en années, sont regroupés en cinq classes d'amplitude 10 : \([10\,;20[\), \([20\,;30[\), \([30\,;40[\), \([40\,;50[\) et \([50\,;60[\). La courbe cumulative des fréquences cumulées croissantes est la ligne brisée qui relie, dans cet ordre, les points du tableau suivant.

1) Explique comment on obtient la fréquence de la classe \([20\,;30[\) à partir de cette courbe, puis dresse le tableau des fréquences et des effectifs des cinq classes.

2) Quelle est la classe modale ? Justifie. On représente la série par un diagramme circulaire : calcule l'angle de chacun des cinq secteurs.

3) Calcule par interpolation linéaire la médiane \(M_e\), les quartiles \(Q_1\) et \(Q_3\), puis l'écart interquartile.

4) Calcule l'âge moyen \(\overline{x}\), la variance \(V\) et l'écart-type \(\sigma\), arrondi au dixième, en remplaçant chaque classe par son centre.

5) Justifie, sans nouvelle interpolation, que la moitié des adhérents ont entre 26 et 45 ans. Calcule ensuite le nombre d'adhérents de moins de 24 ans.