Orthogonalité dans l’espace

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) Deux droites de l'espace non coplanaires :
a) n'ont aucun point commun et ne sont pas parallèles   b) sont toujours parallèles   c) sont toujours sécantes   d) sont confondues

2) Pour montrer qu'une droite $d$ est parallèle à un plan $\mathcal P$, il suffit de montrer que :
a) $d$ est parallèle à une droite contenue dans $\mathcal P$   b) $d$ est perpendiculaire à $\mathcal P$   c) $d$ ne rencontre aucun point de l'espace   d) $d$ est contenue dans un autre plan

3) Le plan médiateur d'un segment $[AB]$ est l'ensemble des points :
a) équidistants de $A$ et de $B$   b) alignés avec $A$ et $B$   c) situés sur la droite $(AB)$   d) situés au milieu de $[AB]$ uniquement

4) Dans la perspective cavalière, les arêtes cachées sont tracées :
a) en pointillés   b) en trait plein plus épais   c) en couleur   d) elles ne sont pas représentées

Exercice supplémentaire. Un ingénieur d'un chantier de forage représente un réservoir cubique $ABCDEFGH$ ($ABCD$ face du dessous, $EFGH$ face du dessus juste au-dessus, avec $E$ au-dessus de $A$, $F$ au-dessus de $B$, $G$ au-dessus de $C$, $H$ au-dessus de $D$).

1) Les droites $(AB)$ et $(EF)$ sont-elles parallèles, sécantes, ou non coplanaires ?
2) Les droites $(AB)$ et $(CG)$ le sont-elles ?
3) Quelle est la position relative du plan $(ABC)$ et de la droite $(EH)$ ?

\(ABCDEFGH\) est un cube : \(ABCD\) est la face du dessous et \(E\), \(F\), \(G\), \(H\) sont situés respectivement au-dessus de \(A\), \(B\), \(C\), \(D\).

1) Justifie que la droite \((AE)\) est orthogonale au plan \((ABC)\), puis que \((AE)\perp(BD)\).

2) Justifie que \((AC)\perp(BD)\).

3) Déduis-en que la droite \((BD)\) est orthogonale au plan \((ACE)\).

4) Déduis-en que \((BD)\perp(AG)\) et que \((BD)\perp(CE)\).

L'espace est muni d'un repère orthonormé. On considère le plan \(\mathcal{P}\) d'équation \(x+2y-2z+3=0\) et le point \(A(1\,;1\,;4)\).

1) Donne un vecteur normal \(\vec n\) de \(\mathcal{P}\) et vérifie que le point \(B(3\,;0\,;3)\) appartient à \(\mathcal{P}\).

2) Calcule la distance du point \(A\) au plan \(\mathcal{P}\).

3) Le projeté orthogonal \(H\) de \(A\) sur \(\mathcal{P}\) vérifie \(\overrightarrow{AH}=k\,\vec n\). Détermine \(k\), puis les coordonnées de \(H\).

4) Vérifie que \(AH\) est égal à la distance trouvée à la question 2.

\(ABCD\) est un tétraèdre régulier : ses six arêtes ont la même longueur \(a\). On note \(I\) le milieu de \([CD]\) et \(G\) le centre de gravité du triangle \(BCD\).

1) Justifie que \((AI)\perp(CD)\) et \((BI)\perp(CD)\).

2) Déduis-en que \((CD)\) est orthogonale au plan \((ABI)\), puis que les arêtes opposées \([AB]\) et \([CD]\) sont orthogonales.

3) On admet que \((AG)\) est orthogonale au plan \((BCD)\). Sachant que \(BG=\dfrac{a}{\sqrt3}\), calcule la hauteur \(AG\) du tétraèdre en fonction de \(a\).

4) Pour \(a=6\) cm, calcule \(AG\) et le volume du tétraèdre, au centième près.

\(ABCDEFGH\) est un pavé droit : \(ABCD\) et \(EFGH\) sont deux faces opposées, \([AE]\), \([BF]\), \([CG]\), \([DH]\) sont des arêtes et toutes les faces sont des rectangles. On donne \(AB=12\), \(AD=3\) et \(AE=4\). On note \(O\) le centre du rectangle \(ABCD\), \(I\) le milieu du segment \([EG]\) et \(M\) le milieu du segment \([AG]\).

1) Démontre que la droite \((AB)\) est orthogonale au plan \((BCG)\).

2) Déduis-en que les droites \((AB)\) et \((CF)\) sont orthogonales, puis que le triangle \(ABG\) est rectangle. Calcule \(BG\) et \(AG\).

3) Démontre que les plans \((ABG)\) et \((BCG)\) sont perpendiculaires.

4) On note \(p\) la projection orthogonale sur le plan \((ABC)\). Détermine, en justifiant, les images par \(p\) des points \(E\) et \(G\), puis celle du segment \([EG]\). Déduis-en l'image du point \(I\) et la distance du point \(I\) au plan \((ABC)\).

5) Détermine le projeté orthogonal du point \(M\) sur le plan \((ABC)\), puis la distance de \(M\) à ce plan. Démontre enfin que \(M\) est le milieu du segment \([OI]\).

Sur un terrain horizontal, un mât \([OS]\) de 6 mètres est planté verticalement au point \(O\) : la droite \((OS)\) est orthogonale au plan du sol. Deux câbles relient le sommet \(S\) à deux piquets \(A\) et \(B\) plantés dans le sol, avec \(OA=OB=10\) mètres et \(AB=12\) mètres. Une toile triangulaire est tendue entre les points \(S\), \(A\) et \(B\). On note \(I\) le milieu du segment \([AB]\).

1) Justifie que les triangles \(SOA\) et \(SOI\) sont rectangles en \(O\), puis calcule la longueur \(SA\) d'un câble.

2) Démontre que les droites \((OI)\) et \((AB)\) sont perpendiculaires, puis calcule \(OI\) et \(SI\).

3) Démontre que la droite \((AB)\) est orthogonale au plan \((SOI)\). Déduis-en que \((SI)\) est une hauteur du triangle \(SAB\), puis calcule l'aire de la toile.

4) Démontre que les plans \((SAB)\) et \((SOI)\) sont perpendiculaires.

5) Pour consolider l'ensemble, on fixe une barre rigide \([OH]\), où \(H\) est le point du segment \([SI]\) tel que les droites \((OH)\) et \((SI)\) soient perpendiculaires. Démontre que \(H\) est le projeté orthogonal de \(O\) sur le plan \((SAB)\), calcule la longueur \(OH\) et interprète ce résultat.

6) Retrouve la valeur de \(OH\) en calculant de deux façons le volume du tétraèdre \(SOAB\).

\(OABC\) est un tétraèdre dont les arêtes \([OA]\), \([OB]\) et \([OC]\) sont deux à deux perpendiculaires, avec \(OA=18\) et \(OB=OC=9\). L'espace est muni d'un repère orthonormé \(\left(O\,;\vec{i},\vec{j},\vec{k}\right)\) dans lequel \(A(18\,;0\,;0)\), \(B(0\,;9\,;0)\) et \(C(0\,;0\,;9)\). On considère le point \(H(2\,;4\,;4)\).

1) Démontre, sans utiliser les coordonnées, que la droite \((OA)\) est orthogonale au plan \((OBC)\). Déduis-en que les droites \((OA)\) et \((BC)\) sont orthogonales.

2) Calcule les coordonnées des vecteurs \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{AH}\), puis démontre que \(\overrightarrow{AH}=\dfrac{4}{9}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\). Que peux-tu en déduire pour le point \(H\) ?

3) Démontre que la droite \((OH)\) est orthogonale au plan \((ABC)\). Déduis-en le projeté orthogonal de \(O\) sur le plan \((ABC)\) et la distance de \(O\) à ce plan.

4) Démontre que la droite \((BC)\) est orthogonale au plan \((OAH)\), puis que \((AH)\) est une hauteur du triangle \(ABC\).

5) Vérifie par un calcul que les droites \((BH)\) et \((AC)\) sont orthogonales. Que représente le point \(H\) pour le triangle \(ABC\) ?

6) Calcule le volume du tétraèdre \(OABC\), puis déduis-en l'aire du triangle \(ABC\).

L'espace est muni d'un repère orthonormé \(\left(O\,;\vec{i},\vec{j},\vec{k}\right)\). On considère les points \(A(-1\,;2\,;1)\), \(B(1\,;3\,;1)\), \(C(-1\,;3\,;2)\) et \(D(4\,;-1\,;9)\).

1) Calcule les coordonnées des vecteurs \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{AD}\). Justifie que les points \(A\), \(B\) et \(C\) définissent un plan.

2) Soit \(H\) un point du plan \((ABC)\) : il existe deux réels \(a\) et \(b\) tels que \(\overrightarrow{AH}=a\,\overrightarrow{AB}+b\,\overrightarrow{AC}\). Démontre que la droite \((DH)\) est orthogonale au plan \((ABC)\) si, et seulement si, \(5a+b=7\) et \(a+2b=5\).

3) Déduis-en les coordonnées du projeté orthogonal \(H\) de \(D\) sur le plan \((ABC)\), puis la distance de \(D\) à ce plan.

4) On donne le point \(G(5\,;5\,;1)\). Démontre que \(G\) appartient au plan \((ABC)\). On note \(I\) le milieu du segment \([DG]\) : détermine, sans nouveau calcul de produit scalaire, les coordonnées du projeté orthogonal \(K\) de \(I\) sur le plan \((ABC)\), puis la distance de \(I\) à ce plan.

5) On note \(D'\) le symétrique de \(D\) par rapport à \(H\). Calcule ses coordonnées. Démontre que tout point \(M\) du plan \((ABC)\) vérifie \(MD=MD'\), puis contrôle cette égalité par le calcul pour le point \(B\).