Première C · Leçon 4
Limites et continuité
Exercices corrigés
Situation d'intégration — Coût moyen de production
Exercice 2 — Situation d'intégration
Une entreprise de transformation de céréales modélise le coût moyen de production (en FCFA par sac), en fonction du nombre $x$ de sacs produits par jour, par $C(x)=\dfrac{2000x+150\,000}{x}$ pour $x\in[1;+\infty[$ (nombre entier de sacs).
Consigne :
1) Écrire $C(x)$ sous la forme $a+\dfrac bx$.
2) Déterminer $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}C(x)$, et interpréter ce résultat pour le gérant en termes de coût moyen minimal envisageable.
3) Combien de sacs faut-il produire par jour au minimum pour que le coût moyen descende strictement sous $2\,050$ FCFA par sac ?
Voir le corrigé
- $C(x)=\dfrac{2000x}{x}+\dfrac{150\,000}{x}=2000+\dfrac{150\,000}{x}$.
- $\dfrac{150\,000}{x}\to0$ quand $x\to+\infty$, donc $C(x)\to2000$. Interprétation : quelle que soit la quantité produite, le coût moyen par sac ne pourra jamais descendre en-dessous de $2\,000$ FCFA (il s'en rapproche sans jamais l'atteindre) — c'est le coût variable par sac, une fois le coût fixe totalement « dilué ».
- $2000+\dfrac{150\,000}{x}<2050 \iff \dfrac{150\,000}{x}<50 \iff x>\dfrac{150\,000}{50}=3\,000$. Il faut produire strictement plus de $3\,000$ sacs par jour.
Problème — Étude complète des limites et asymptotes d'une fonction homographiqueApprofondissement — Limites et asymptotes d'une fonction homographique
Soit $f(x)=\dfrac{2x+7}{x+1}$, définie sur $\mathbb R\setminus\{-1\}$.
Partie A. 1) Écrire $f(x)$ sous la forme $a+\dfrac{b}{x+1}$. 2) Déterminer les limites de $f$ en $+\infty$, en $-\infty$, en $(-1)^-$ et en $(-1)^+$. En déduire les équations de toutes les asymptotes de la courbe de $f$.
Partie B. 3) Calculer $f(x)-2$ et simplifier l'expression. En déduire une expression simplifiée de $g(x)=|f(x)-2|$ pour $x\neq-1$. 4) Résoudre l'inéquation $f(x)>2$.
Voir le corrigé
- $2x+7=2(x+1)+5$, donc $f(x)=2+\dfrac5{x+1}$.
- En $\pm\infty$ : $f(x)\to2$ (asymptote $y=2$). En $(-1)^+$ : $x+1\to0^+$, donc $\dfrac5{x+1}\to+\infty$ et $f(x)\to+\infty$. En $(-1)^-$ : $x+1\to0^-$, donc $f(x)\to-\infty$. Asymptote verticale $x=-1$.
- $f(x)-2=\dfrac5{x+1}$. Donc $g(x)=|f(x)-2|=\left|\dfrac5{x+1}\right|=\dfrac5{|x+1|}$ (car $5>0$).
- $f(x)>2 \iff \dfrac5{x+1}>0 \iff x+1>0 \iff x>-1$ (car $5>0$, le quotient est du signe de $x+1$).
- Quand $x\to1^-$, le numérateur $x^2+1\to2>0$ et le dénominateur $x-1\to0^-$ : donc $f(x)\to-\infty$. Quand $x\to1^+$, le dénominateur $\to0^+$ : donc $f(x)\to+\infty$. La droite d'équation $x=1$ est donc asymptote verticale à la courbe de $f$.
- On vérifie : $(x-1)(x+1)+2=x^2-1+2=x^2+1$. Donc $f(x)=\dfrac{(x-1)(x+1)+2}{x-1}=x+1+\dfrac{2}{x-1}$.
- $f(x)-(x+1)=\dfrac{2}{x-1}$. Quand $x\to+\infty$, $\dfrac2{x-1}\to0$. La droite d'équation $y=x+1$ est donc asymptote oblique à la courbe de $f$ (en $+\infty$ et en $-\infty$).
Approfondissement — Limites et asymptotes d'une fonction homographique
Exercice 4 — Approfondissement
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}\setminus\{1\}$ par $f(x)=\dfrac{x^2+1}{x-1}$.
1) Déterminer $\displaystyle\lim_{x\to1^-}f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x\to1^+}f(x)$. Qu'en déduit-on ?
2) Montrer que, pour tout $x\neq1$, $f(x)=x+1+\dfrac{2}{x-1}$.
3) En déduire $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}[f(x)-(x+1)]$ et interpréter graphiquement.
Lever une indétermination, puis rendre une fonction continue
On considère la fonction \(f\) définie par \[f(x)=\dfrac{3x^2-10x+8}{x^3-8}.\]
1) Démontre que, pour tout réel \(x\), \(x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4)\). Déduis-en que l'ensemble de définition de \(f\) est l'ensemble \(D\) des réels différents de 2.
2) Factorise le polynôme \(3x^2-10x+8\). Explique pourquoi la propriété sur la limite d'un quotient ne permet pas de calculer directement la limite de \(f\) en 2.
3) Démontre que, pour tout \(x\) de \(D\), \(f(x)=\dfrac{3x-4}{x^2+2x+4}\), puis calcule la limite de \(f\) en 2.
4) Soit \(m\) un réel. On définit la fonction \(g\) sur \(\mathbb{R}\) par \(g(x)=f(x)\) si \(x\neq 2\) et \(g(2)=m\). Détermine la valeur de \(m\) pour laquelle \(g\) est continue en 2. Pour cette valeur, justifie que \(g\) est continue sur \(\mathbb{R}\).
5) On garde la valeur de \(m\) trouvée. Résous dans \(\mathbb{R}\) l'équation \(g(x)=\dfrac{1}{6}\). Déduis-en les solutions de l'équation \(f(x)=\dfrac{1}{6}\) et interprète la différence entre les deux résultats.
Expression conjuguée et valeur jamais atteinte
On considère la fonction \(h\) définie par \[h(x)=\dfrac{\sqrt{2x+7}-5}{x-9}.\]
1) Détermine l'ensemble de définition \(D\) de \(h\).
2) Explique pourquoi la limite de \(h\) en 9 se présente sous une forme indéterminée. Démontre ensuite que, pour tout \(x\) de \(D\), \(h(x)=\dfrac{2}{\sqrt{2x+7}+5}\).
3) Calcule la limite de \(h\) en 9 en justifiant chaque étape.
4) Démontre que, pour tout \(x\) de \(D\), on a \(0\lt h(x)\leq\dfrac{2}{5}\). Précise pour quelle valeur de \(x\) on a \(h(x)=\dfrac{2}{5}\).
5) Résous dans \(D\) l'équation \(h(x)=\dfrac{1}{4}\). Démontre ensuite que l'équation \(h(x)=\dfrac{1}{5}\) n'a aucune solution dans \(D\), puis interprète ce résultat à l'aide de la question 3.
Deux tarifs pour l'envoi d'un colis
Un transporteur fixe le prix d'envoi d'un colis d'après sa masse \(x\), exprimée en kilogrammes, avec \(0\lt x\leq 30\). Le prix, en francs, est donné par la fonction \(p\) définie par \(p(x)=150x+600\) si \(0\lt x\leq 10\) et \(p(x)=100x+800\) si \(10\lt x\leq 30\).
1) Calcule \(p(10)\) et \(p(12)\). Que constates-tu d'étonnant pour les clients ?
2) Calcule la limite à gauche et la limite à droite de \(p\) en 10. La fonction \(p\) est-elle continue en 10 ? Justifie.
3) Détermine toutes les masses \(x\) de l'intervalle \(]10\,;30]\) pour lesquelles l'envoi coûte moins cher que celui d'un colis de 10 kg. Interprète ce résultat.
4) Pour corriger ce défaut, le transporteur garde \(q(x)=150x+600\) si \(0\lt x\leq 10\) et pose \(q(x)=ax+b\) si \(10\lt x\leq 30\), où \(a\) et \(b\) sont deux réels. Il veut que \(q\) soit continue en 10 et que \(q(30)=4500\). Démontre que \(a\) et \(b\) vérifient le système formé des équations \(10a+b=2100\) et \(30a+b=4500\), puis résous ce système.
5) Justifie que la fonction \(q\) ainsi obtenue est continue sur \(]0\,;30]\). Démontre que, pour tout \(x\) de \(]10\,;30]\), \(q(x)-p(x)=20x+100\), calcule la limite à droite en 10 de cette différence et compare-la aux résultats de la question 2.
Valeur absolue : limite à gauche et limite à droite
On considère la fonction \(f\) définie, pour tout réel \(x\) différent de 3, par \[f(x)=\dfrac{x^2-x-6}{|x-3|}.\]
1) Factorise \(x^2-x-6\), puis écris \(f(x)\) sans valeur absolue sur chacun des intervalles \(]-\infty\,;3[\) et \(]3\,;+\infty[\).
2) Calcule la limite à gauche et la limite à droite de \(f\) en 3. La fonction \(f\) a-t-elle une limite en 3 ?
3) Peut-on choisir un nombre \(f(3)\) de façon que la fonction \(f\) ainsi complétée soit continue en 3 ? Justifie ta réponse.
4) On définit la fonction \(g\) sur \(\mathbb{R}\) par \(g(x)=(x-3)f(x)\) si \(x\neq 3\) et \(g(3)=0\). Démontre que, pour tout réel \(x\), \(g(x)=(x+2)|x-3|\), puis que \(g\) est continue en 3.
5) Démontre que, pour tout réel \(x\) différent de 3, \(f(x)\gt -5\). Résous ensuite l'équation \(f(x)=6\).