Géométrie analytique du plan

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) Soit $\vec u(3;-4)$ et $\vec v(2;5)$. $\vec u\cdot\vec v$ vaut :
a) $-14$   b) $6$   c) $26$   d) $-6$

2) $\|\vec u\|$ pour $\vec u(3;-4)$ vaut :
a) $5$   b) $7$   c) $1$   d) $25$

3) Deux vecteurs $\vec u,\vec v$ sont orthogonaux si et seulement si :
a) $\vec u\cdot\vec v=0$   b) $\det(\vec u,\vec v)=0$   c) $\|\vec u\|=\|\vec v\|$   d) $\vec u=-\vec v$

4) Pour $A(2;1)$, $B(6;4)$, la distance $AB$ vaut :
a) $5$   b) $4$   c) $3$   d) $7$

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) Une équation cartésienne de la droite passant par $A(1;2)$ de vecteur directeur $\vec u(3;-1)$ est :
a) $x+3y-7=0$   b) $x+3y=0$   c) $3x+y-5=0$   d) $x-3y+5=0$

2) Deux droites de vecteurs directeurs $\vec u(2;5)$ et $\vec v(4;10)$ sont :
a) parallèles   b) orthogonales   c) sécantes non perpendiculaires   d) nécessairement confondues

3) Le cercle d'équation $(x+2)^2+(y-3)^2=16$ a pour centre et rayon :
a) $\Omega(-2;3)$, $r=4$   b) $\Omega(2;-3)$, $r=4$   c) $\Omega(-2;3)$, $r=16$   d) $\Omega(2;3)$, $r=4$

4) $G$ est le barycentre de $(A,2)$ et $(B,3)$. On a alors :
a) $2\overrightarrow{GA}+3\overrightarrow{GB}=\vec0$   b) $2\overrightarrow{GA}=3\overrightarrow{GB}$   c) $\overrightarrow{GA}=\overrightarrow{GB}$   d) $3\overrightarrow{GA}+2\overrightarrow{GB}=\vec0$

Exercice 2 — Situation d'intégration

Un architecte vérifie que l'angle d'un mur de fondation est bien droit avant la pose des fondations. Les trois coins du mur sont repérés, dans un repère où les distances sont en mètres, par $A(0;0)$, $B(8;0)$, $C(8;6)$.

Consigne : 1) Calculer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{BA}$ et $\overrightarrow{BC}$. 2) Calculer $\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}$ et en déduire si l'angle en $B$ est droit. 3) Calculer les longueurs $AB$, $BC$ et $AC$, et vérifier la cohérence avec le théorème de Pythagore.

Le plan est muni d'un repère orthonormé. On considère les points \(A(-5\,;-4)\), \(B(5\,;-2)\) et \(C(-2\,;5)\).

1) Calcule les coordonnées du vecteur \(\overrightarrow{BC}\), donne un vecteur normal à la droite \((BC)\), puis détermine une équation cartésienne de \((BC)\).

2) La hauteur issue de \(A\) est la droite passant par \(A\) et perpendiculaire à \((BC)\). Détermine une équation cartésienne de cette hauteur.

3) Calcule les coordonnées du projeté orthogonal \(K\) du point \(A\) sur la droite \((BC)\), puis la distance \(AK\). Retrouve cette distance avec la formule de la distance d'un point à une droite.

4) Calcule la longueur \(BC\), puis l'aire du triangle \(ABC\).

5) Détermine une équation cartésienne de la hauteur issue de \(B\), puis les coordonnées du point d'intersection \(H\) des hauteurs issues de \(A\) et de \(B\).

6) Démontre, à l'aide d'un produit scalaire, que la droite \((CH)\) est perpendiculaire à la droite \((AB)\). Quelle propriété du triangle retrouves-tu ainsi ?

Un périmètre maraîcher est représenté dans un repère orthonormé dont l'unité vaut 100 mètres. Une canalisation rectiligne relie le château d'eau \(A(-4\,;8)\) à la borne \(B(8\,;-1)\) : elle est représentée par le segment \([AB]\). Deux parcelles sont situées aux points \(P(7\,;6)\) et \(Q(12\,;2)\). Chaque parcelle doit être raccordée à la canalisation par le tuyau le plus court possible.

1) Calcule les coordonnées du vecteur \(\overrightarrow{AB}\), déduis-en un vecteur normal à la droite \((AB)\), puis démontre qu'une équation cartésienne de \((AB)\) est \(3x+4y-20=0\).

2) Calcule la distance du point \(P\) à la droite \((AB)\). Donne le résultat en mètres.

3) Donne une représentation paramétrique de la droite passant par \(P\) et perpendiculaire à \((AB)\). Déduis-en les coordonnées du projeté orthogonal \(H\) de \(P\) sur \((AB)\), puis justifie que \(H\) appartient au segment \([AB]\). Quelle est la longueur du tuyau de la parcelle \(P\) ?

4) Calcule la distance du point \(Q\) à la droite \((AB)\). On note \(K\) le projeté orthogonal de \(Q\) sur \((AB)\) et \(t\) le réel tel que \(\overrightarrow{AK}=t\,\overrightarrow{AB}\). En utilisant l'égalité \(\overrightarrow{QK}\cdot\overrightarrow{AB}=0\), calcule \(t\). Le point \(K\) appartient-il au segment \([AB]\) ?

5) Déduis-en le point de la canalisation le plus proche de \(Q\) et la longueur, en mètres, du tuyau de la parcelle \(Q\). Justifie.

6) On envisage une seconde canalisation, parallèle à la première et passant par \(P\). Détermine une équation cartésienne de la droite qui la porte, puis la distance entre les deux canalisations.

Le plan est muni d'un repère orthonormé. On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=\dfrac{x^2}{4}+1\), sa courbe représentative \((C)\), et la droite \((D)\) d'équation \(x-y-4=0\). Pour tout réel \(x\), on note \(M\) le point de \((C)\) d'abscisse \(x\) et \(d(x)\) la distance du point \(M\) à la droite \((D)\).

1) Donne un vecteur normal et un vecteur directeur de la droite \((D)\). Démontre que, pour tout réel \(x\), \(d(x)=\dfrac{x^2-4x+20}{4\sqrt{2}}\).

2) Calcule \(d'(x)\), puis dresse le tableau de variations de la fonction \(d\) sur \(\mathbb{R}\) (les limites ne sont pas demandées). Déduis-en la valeur minimale de \(d\) et les coordonnées du point \(M_0\) de \((C)\) le plus proche de \((D)\).

3) Détermine une équation de la tangente \((T)\) à la courbe \((C)\) au point \(M_0\). Démontre que \((T)\) est parallèle à \((D)\).

4) Détermine les coordonnées du projeté orthogonal \(H\) du point \(M_0\) sur la droite \((D)\), puis vérifie que la longueur \(M_0H\) est égale à la valeur minimale trouvée à la question 2.

5) Calcule la distance entre les droites parallèles \((T)\) et \((D)\). Interprète ce résultat, sachant que la courbe \((C)\) est située au-dessus de sa tangente \((T)\).

Le plan est muni d'un repère orthonormé d'origine \(O\). Pour tout réel \(m\), on considère la droite \((\Delta_m)\) d'équation \((m+1)x+(m-1)y-2m-4=0\). On considère aussi la droite \((D)\) d'équation \(x-3y+4=0\).

1) Justifie que, pour tout réel \(m\), l'équation donnée est bien celle d'une droite, et donne un vecteur normal à \((\Delta_m)\). Démontre que toutes les droites \((\Delta_m)\) passent par le point \(F(3\,;-1)\).

2) Détermine la valeur de \(m\) pour laquelle \((\Delta_m)\) est parallèle à \((D)\), puis la valeur de \(m\) pour laquelle \((\Delta_m)\) est perpendiculaire à \((D)\).

3) On prend \(m=2\). Écris l'équation de \((\Delta_2)\), calcule les coordonnées du point d'intersection \(I\) de \((\Delta_2)\) et de \((D)\), puis la longueur \(FI\). Que représente \(I\) pour le point \(F\) et la droite \((D)\) ? Retrouve \(FI\) avec la formule de la distance d'un point à une droite.

4) On note \(d(m)\) la distance du point \(O\) à la droite \((\Delta_m)\). Démontre que \(d(m)=\dfrac{\sqrt{2}\,|m+2|}{\sqrt{m^2+1}}\), puis détermine les valeurs de \(m\) pour lesquelles \(d(m)=\sqrt{5}\).

5) Démontre que, pour tout réel \(m\), \(10-d(m)^2=\dfrac{2(2m-1)^2}{m^2+1}\). Déduis-en la plus grande valeur possible de \(d(m)\) et la valeur de \(m\) pour laquelle elle est atteinte. Interprète géométriquement ce résultat à l'aide du vecteur \(\overrightarrow{OF}\).