Généralités sur les fonctions

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) Soit $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=x^3$. L'application $f$ est :
a) injective seulement   b) surjective seulement   c) bijective   d) ni injective ni surjective

2) Soit $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $g(x)=x^2+1$. L'application $g$ est :
a) injective   b) surjective   c) bijective   d) ni injective ni surjective

3) Soit $f(x)=2x+1$ et $g(x)=x^2-3$. $(g\circ f)(x)$ est égal à :
a) $4x^2+4x-2$   b) $4x^2+1$   c) $2x^2+2x-3$   d) $4x^2-2$

4) Avec les mêmes $f$ et $g$ qu'en 3), $(f\circ g)(x)$ est égal à :
a) $2x^2-5$   b) $2x^2+5$   c) $4x^2-11$   d) $2x^2-6$

Exercice 2 — Situation d'intégration

Une coopérative de transformation du karité modélise le coût total de production (en francs CFA) de $x$ kilogrammes de beurre de karité par $C(x) = 500x + 20\,000$, pour $x\in[0;+\infty[$.

Consigne :

1) Montrer que $C$ est une bijection de $[0;+\infty[$ vers $[20\,000;+\infty[$.

2) Déterminer $C^{-1}(y)$ pour $y\geqslant20\,000$.

3) Lors d'une commande, la coopérative a dépensé exactement $145\,000$ FCFA. Combien de kilogrammes ont été produits ?

Problème — Soit $f(x)=3x-2$ et $g(x)=x^2+4x+1$, toutes deux définies sur $\mathbb{R}$.

Partie A. 1) Montrer que $f$ est bijective de $\mathbb{R}$ vers $\mathbb{R}$ et déterminer $f^{-1}$. 2) Résoudre l'équation $f(x)=g(0)$.

Partie B. 1) Calculer $(g\circ f)(x)$ et $(f\circ g)(x)$. 2) Résoudre l'équation $(g\circ f)(x)=0$.

Partie C. Étudier le signe de $g(x)$ sur $\mathbb{R}$ (on déterminera ses racines).

Exercice 4 — Approfondissement

Soit $f$ la fonction définie sur $]1;+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{2x+1}{x-1}$.

1) Calculer $f'(x)$ et en déduire le sens de variation de $f$ sur $]1;+\infty[$.

2) Déterminer $\displaystyle\lim_{x\to1^+}f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)$.

3) En déduire que $f$ réalise une bijection de $]1;+\infty[$ vers un intervalle $J$ à préciser.

4) Déterminer $f^{-1}(y)$ pour $y\in J$.

Problème. Deux compagnies assurent le trajet entre deux villes pour les passagers voyageant avec des bagages supplémentaires. La compagnie $A$ facture un forfait unique de $3\,000$ F quel que soit le nombre $x$ de bagages supplémentaires. La compagnie $B$ facture $500$ F de frais fixes plus $400$ F par bagage supplémentaire.

Partie A. 1) Exprimer le prix payé chez $B$ en fonction du nombre $x$ de bagages.

Partie B. 2) Résoudre l'inéquation traduisant « la compagnie $B$ est strictement moins chère que la compagnie $A$ » et en déduire, pour un nombre entier de bagages, à partir de combien de bagages la compagnie $A$ redevient la moins chère.

Partie C. 3) Vérifier les résultats précédents pour $x=5$ puis pour $x=7$ bagages, en comparant les deux prix.

On considère l'application \(f\) de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\) définie par \(f(x)=x^2-4x+6\). Le plan est muni d'un repère orthonormé et \((\Delta)\) désigne la droite d'équation \(y=x\).

1) Calcule \(f(0)\) et \(f(4)\). L'application \(f\) est-elle injective ? Justifie.

2) Démontre que, pour tout réel \(x\), \(f(x)=(x-2)^2+2\). Déduis-en que \(f(x)\geq 2\) pour tout réel \(x\), puis que \(f\) n'est pas surjective de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\).

3) On note \(g\) l'application de \(I=[2\,;+\infty[\) dans \(J=[2\,;+\infty[\) définie par \(g(x)=f(x)\) : c'est la restriction de \(f\) à \(I\), à valeurs dans \(J\). Démontre que \(g\) est injective, puis surjective. Conclus.

4) Détermine l'expression de \(g^{-1}(x)\) pour \(x\) dans \(J\). Calcule \(g^{-1}(11)\) et contrôle ton résultat à l'aide de \(g\).

5) Résous dans \(I\) l'inéquation \(g(x)\leq x\). Interprète graphiquement le résultat en précisant la position de la courbe \((C)\) de \(g\) par rapport à la droite \((\Delta)\).

6) Explique comment on obtient la courbe \((C')\) de \(g^{-1}\) à partir de \((C)\). Donne les coordonnées de l'image du point \(A(5\,;11)\) de \((C)\), et justifie que les points de \((C)\) situés sur \((\Delta)\) appartiennent aussi à \((C')\).

On considère les fonctions \(f\) et \(g\) définies par \(f(x)=\sqrt{x+7}\) et \(g(x)=x^2-8x\). On rappelle que \(g\circ f\) est la fonction \(x\mapsto g(f(x))\) et que \(f\circ g\) est la fonction \(x\mapsto f(g(x))\).

1) Donne l'ensemble de définition de \(f\), celui de \(g\), puis celui de chacune des fonctions \(f+g\), \(\dfrac{g}{f}\) et \(\dfrac{f}{g}\). Justifie.

2) Détermine l'ensemble de définition de \(g\circ f\) et l'expression de \(g\circ f(x)\). Calcule les images de 9 et de 2 par \(g\circ f\).

3) Démontre que l'ensemble de définition de \(f\circ g\) est \(]-\infty\,;1]\cup[7\,;+\infty[\) et donne l'expression de \(f\circ g(x)\).

4) Calcule l'image de 9 par \(f\circ g\). Les fonctions \(g\circ f\) et \(f\circ g\) sont-elles égales ? Justifie.

5) Résous l'équation \(f\circ g(x)=4\).

6) Démontre que, pour tout \(x\) de l'ensemble de définition de \(g\circ f\), on a \(g\circ f(x)\geq -16\), et précise pour quelle valeur de \(x\) il y a égalité.

Le plan est muni d'un repère orthonormé d'origine \(O\). On note \((P)\) la parabole d'équation \(y=x^2\), de sommet \(O\), et \((C)\) la courbe de la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=x^2-2x-3\). Aucune figure n'est demandée : tu décriras chaque courbe par une transformation et par les coordonnées de son sommet.

1) Démontre que, pour tout réel \(x\), \(f(x)=(x-1)^2-4\). Déduis-en la translation qui transforme \((P)\) en \((C)\) et les coordonnées du sommet \(S\) de \((C)\).

2) Démontre que, pour tout réel \(t\), \(f(1+t)=f(1-t)\). Interprète graphiquement ce résultat.

3) Soit \(g\) la fonction définie par \(g(x)=f(x-2)+5\). Par quelle transformation obtient-on la courbe de \(g\) à partir de \((C)\) ? Donne les coordonnées de son sommet et l'expression développée de \(g(x)\).

4) On considère les fonctions \(h : x\mapsto f(-x)\), \(k : x\mapsto -f(x)\) et \(\ell : x\mapsto -f(-x)\). Pour chacune, indique la transformation qui fait passer de \((C)\) à sa courbe, les coordonnées de l'image du sommet \(S\), et son expression développée.

5) Étudie le signe de \(f(x)\), puis explique comment on obtient la courbe de la fonction \(m : x\mapsto |f(x)|\) à partir de \((C)\).

6) Résous l'équation \(|f(x)|=5\), puis justifie que l'équation \(|f(x)|=4\) a exactement trois solutions, que tu donneras.

Pour protéger le code à quatre chiffres de son casier, une élève remplace chaque chiffre par un autre. On note \(E\) l'ensemble des dix chiffres de 0 à 9. Elle utilise l'application \(f\) de \(E\) dans \(E\) qui, à chaque chiffre \(n\), associe le chiffre des unités du nombre \(3n+2\). Par exemple, pour \(n=6\), \(3n+2=20\), donc \(f(6)=0\).

1) Calcule les images par \(f\) des dix chiffres de \(E\), puis code le nombre 2026 chiffre par chiffre.

2) Démontre que \(f\) est une bijection de \(E\) dans \(E\). Pourquoi cette propriété est-elle indispensable pour retrouver le code de départ ?

3) Soit \(h\) l'application de \(E\) dans \(E\) qui, à chaque chiffre \(m\), associe le chiffre des unités de \(7m+6\). Démontre que, pour tout \(n\) de \(E\), \(h(f(n))=n\). Que représente \(h\) pour \(f\) ? Décode le message 5173.

4) Une camarade propose l'application \(g\) de \(E\) dans \(E\) qui, à \(n\), associe le chiffre des unités de \(4n+2\). Démontre que \(g\) n'est ni injective ni surjective, et explique pourquoi elle ne convient pas pour coder.

5) On code deux fois de suite : on pose \(k=f\circ f\). Démontre que \(k(n)\) est le chiffre des unités de \(9n+8\), calcule les dix images par \(k\), puis démontre que \(k\circ k(n)=n\) pour tout \(n\) de \(E\). Que peux-tu en déduire pour \(k\) ?