Extension de la notion de limites

Exercice 1 — QCM autour de $s(x)=\dfrac{5x+2}{x-3}$ (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) $s(x)$ s'écrit sous la forme $a+\dfrac{b}{x-3}$ avec :
a) $s(x)=5+\dfrac{17}{x-3}$   b) $s(x)=5+\dfrac{2}{x-3}$   c) $s(x)=5-\dfrac{17}{x-3}$   d) $s(x)=5+\dfrac{15}{x-3}$

2) $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}s(x)$ vaut :
a) $5$   b) $0$   c) $+\infty$   d) $17$

3) $\displaystyle\lim_{x\to3^+}s(x)$ vaut :
a) $+\infty$   b) $-\infty$   c) $5$   d) $0$

4) L'asymptote verticale de la courbe de $s$ est la droite d'équation :
a) $x=3$   b) $x=5$   c) $y=5$   d) $y=3$

Exercice 2 — Situation d'intégration

Une entreprise de transformation de céréales modélise le coût moyen de production (en FCFA par sac), en fonction du nombre $x$ de sacs produits par jour, par $C(x)=\dfrac{2000x+150\,000}{x}$ pour $x\in[1;+\infty[$ (nombre entier de sacs).

Consigne :

1) Écrire $C(x)$ sous la forme $a+\dfrac bx$.

2) Déterminer $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}C(x)$, et interpréter ce résultat pour le gérant en termes de coût moyen minimal envisageable.

3) Combien de sacs faut-il produire par jour au minimum pour que le coût moyen descende strictement sous $2\,050$ FCFA par sac ?

Soit $f(x)=\dfrac{2x+7}{x+1}$, définie sur $\mathbb R\setminus\{-1\}$.

Partie A. 1) Écrire $f(x)$ sous la forme $a+\dfrac{b}{x+1}$. 2) Déterminer les limites de $f$ en $+\infty$, en $-\infty$, en $(-1)^-$ et en $(-1)^+$. En déduire les équations de toutes les asymptotes de la courbe de $f$.

Partie B. 3) Calculer $f(x)-2$ et simplifier l'expression. En déduire une expression simplifiée de $g(x)=|f(x)-2|$ pour $x\neq-1$. 4) Résoudre l'inéquation $f(x)>2$.

Exercice 4 — Approfondissement

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}\setminus\{1\}$ par $f(x)=\dfrac{x^2+1}{x-1}$.

1) Déterminer $\displaystyle\lim_{x\to1^-}f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x\to1^+}f(x)$. Qu'en déduit-on ?

2) Montrer que, pour tout $x\neq1$, $f(x)=x+1+\dfrac{2}{x-1}$.

3) En déduire $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}[f(x)-(x+1)]$ et interpréter graphiquement.

On considère la fonction \(f\) définie par \[f(x)=\dfrac{2x^2-3x-5}{x^2-4x+3}\] et on note \((C)\) sa courbe représentative dans un repère.

1) Résous l'équation \(x^2-4x+3=0\). Donne l'ensemble de définition \(D\) de \(f\) et le signe de \(x^2-4x+3\) suivant les valeurs de \(x\).

2) Calcule les limites de \(f\) en \(+\infty\) et en \(-\infty\). Interprète graphiquement le résultat.

3) Calcule les limites à gauche et à droite de \(f\) en 1, puis en 3. Interprète graphiquement.

4) Démontre que, pour tout \(x\) de \(D\), \(f(x)-2=\dfrac{5x-11}{x^2-4x+3}\). Étudie la position de \((C)\) par rapport à la droite \((\Delta)\) d'équation \(y=2\).

5) Détermine les abscisses des points où \((C)\) coupe l'axe des abscisses. Décris ensuite, par une phrase, l'allure de \((C)\) sur l'intervalle \(]3\,;+\infty[\) en t'appuyant sur les questions précédentes.

Un pisciculteur introduit des tilapias dans un bassin. Il estime que le nombre de poissons du bassin, \(t\) mois après l'introduction, est donné par \[P(t)=\dfrac{600t^2+400}{t^2+4}\quad\text{pour } t\geq 0.\]

1) Calcule le nombre de poissons introduits au départ, puis le nombre de poissons au bout de 2 mois.

2) Calcule la limite de \(P\) en \(+\infty\). Interprète ce résultat graphiquement, puis pour le bassin.

3) Démontre que, pour tout \(t\geq 0\), \(P(t)=600-\dfrac{2000}{t^2+4}\). Déduis-en la position de la courbe de \(P\) par rapport à son asymptote.

4) Soit \(u\) et \(v\) deux réels tels que \(0\leq u\lt v\). Démontre que \(P(u)\lt P(v)\). Que peux-tu dire du sens de variation de \(P\) ?

5) À partir de combien de mois le bassin contient-il au moins 500 poissons ? Le nombre de poissons peut-il atteindre 600 ? Justifie.

Soit \(a\), \(b\) et \(c\) trois réels. On considère la fonction \(f\) définie, pour tout réel \(x\) différent de 2, par \[f(x)=\dfrac{ax^2+bx+c}{(x-2)^2}.\] Sa courbe représentative \((C)\) admet en \(+\infty\) la droite d'équation \(y=3\) pour asymptote horizontale, et elle passe par les points \(A(1\,;0)\) et \(B(3\,;10)\).

1) En développant le dénominateur, exprime la limite de \(f\) en \(+\infty\) en fonction de \(a\). Déduis-en la valeur de \(a\).

2) Traduis par un système de deux équations le fait que \((C)\) passe par \(A\) et par \(B\), puis calcule \(b\) et \(c\).

3) Calcule la limite de \(f\) en 2 et interprète graphiquement le résultat. Précise le comportement de \((C)\) de chaque côté de la droite obtenue.

4) Démontre que, pour tout \(x\neq 2\), \(f(x)-3=\dfrac{5x-8}{(x-2)^2}\). Étudie la position de \((C)\) par rapport à la droite d'équation \(y=3\).

5) Résous l'inéquation \(f(x)\leq 0\) et interprète graphiquement l'ensemble des solutions.

Pour tout réel \(m\), on considère la fonction \(f_m\) définie, pour tout réel \(x\) différent de 2, par \[f_m(x)=\dfrac{(m-2)x^2+5x-6}{2x-4}\] et on note \((C_m)\) sa courbe représentative.

1) Dans cette question, \(m=2\). Calcule les limites de \(f_2\) en \(+\infty\), en \(-\infty\), puis à gauche et à droite en 2. Donne les asymptotes de \((C_2)\).

2) On suppose \(m\neq 2\). Détermine, suivant le signe de \(m-2\), les limites de \(f_m\) en \(+\infty\) et en \(-\infty\). Justifie que \((C_m)\) admet une asymptote horizontale seulement pour \(m=2\).

3) Démontre que le numérateur de \(f_m(x)\) prend en 2 la valeur \(4(m-1)\). Déduis-en, pour \(m\neq 1\), les limites à gauche et à droite de \(f_m\) en 2 suivant la position de \(m\) par rapport à 1, et interprète graphiquement.

4) Dans cette question, \(m=1\). Factorise le numérateur, simplifie \(f_1(x)\) et calcule la limite de \(f_1\) en 2. La droite d'équation \(x=2\) est-elle asymptote à \((C_1)\) ? Décris \((C_1)\).

5) Récapitule, suivant les valeurs de \(m\), les asymptotes de \((C_m)\) parallèles aux axes du repère.