Étude et représentation graphique d’une fonction

On considère les fonctions définies sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=\cos(2x)\), \(g(x)=x\sin x\) et \(h(x)=\sin(3x)\).

1) Montre que \(f\) est paire et périodique de période \(\pi\).

2) Étudie la parité de \(g\).

3) Montre que \(h\) est impaire et périodique de période \(\dfrac{2\pi}3\).

4) Explique pourquoi il suffit d'étudier \(f\) sur \(\left[0\,;\dfrac\pi2\right]\) pour tracer toute sa courbe.

Soit \(f\) la fonction définie sur \([0\,;2\pi]\) par \(f(x)=2\cos x+1\).

1) Calcule \(f'(x)\) et étudie son signe sur \([0\,;2\pi]\).

2) Dresse le tableau de variation de \(f\) sur \([0\,;2\pi]\).

3) Résous l'équation \(f(x)=0\) sur \([0\,;2\pi]\).

4) Déduis-en le signe de \(f(x)\) sur \([0\,;2\pi]\).

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=x^4-2x^2\).

1) Montre que \(f\) est paire. Sur quel intervalle suffit-il de l'étudier ?

2) Calcule \(f'(x)\), factorise-la et étudie son signe sur \([0\,;+\infty[\).

3) Dresse le tableau de variation de \(f\) sur \(\mathbb{R}\), avec les limites.

4) Résous l'équation \(f(x)=0\).

5) Selon le tableau, combien l'équation \(f(x)=-\dfrac12\) a-t-elle de solutions ?

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=\sin x+\cos x\).

1) À l'aide de la formule d'addition du sinus, montre que \(f(x)=\sqrt2\sin\left(x+\dfrac\pi4\right)\).

2) Justifie que \(f\) est périodique de période \(2\pi\) et donne ses valeurs maximale et minimale.

3) Calcule \(f'(x)\) et étudie les variations de \(f\) sur \([0\,;2\pi]\).

4) Résous l'équation \(f(x)=1\) sur \([0\,;2\pi]\).

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=\cos(2x)-2\cos x\).

1) Montre que \(f\) est paire et \(2\pi\)-périodique, puis justifie qu'il suffit de l'étudier sur \([0\,;\pi]\).

2) Montre que \(f'(x)=2\sin x\,(1-2\cos x)\).

3) Étudie le signe de \(f'(x)\) sur \([0\,;\pi]\) et dresse le tableau de variation de \(f\) sur cet intervalle.

4) En écrivant \(\cos(2x)=2\cos^2x-1\), résous l'équation \(f(x)=0\) : donne la valeur exacte de \(\cos x\), puis le nombre de solutions dans \([-\pi\,;\pi]\).

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=x^3-9x^2+15x+9\), et \((C)\) sa courbe représentative dans un repère orthogonal.

1) Calcule les limites de \(f\) en \(-\infty\) et en \(+\infty\), puis \(f'(x)\). Étudie le signe de \(f'(x)\) et dresse le tableau de variations de \(f\).

2) Démontre que, pour tout réel \(h\), \(f(3+h)=h^3-12h\). Déduis-en que le point \(I\) de coordonnées \((3\,;0)\) est un centre de symétrie de \((C)\).

3) Détermine une équation de la tangente \((T)\) à \((C)\) au point \(I\), puis étudie la position de \((C)\) par rapport à \((T)\).

4) En posant \(h=x-3\), résous l'équation \(f(x)=0\). Donne les valeurs exactes des solutions, puis leurs valeurs arrondies au centième.

5) Soit \(k\) un réel. À l'aide du tableau de variations, discute suivant les valeurs de \(k\) le nombre de solutions de l'équation \(f(x)=k\). Dans le cas \(k=16\), contrôle ta réponse en démontrant que \(f(x)-16=(x-1)^2(x-7)\).

Dans une fête foraine, une grande roue tourne à vitesse constante. À l'instant \(t\), exprimé en minutes, la hauteur en mètres d'une nacelle au-dessus du sol est modélisée par \(h(t)=12-10\cos\left(\dfrac{\pi t}{6}\right)\). On étudie la fonction \(h\) sur \(\mathbb{R}\).

1) Démontre que \(h\) est paire et périodique de période 12. Explique pourquoi il suffit de l'étudier sur \([0\,;6]\) et comment on obtient ensuite toute sa courbe.

2) Calcule \(h'(t)\), étudie son signe sur \([0\,;6]\) et dresse le tableau de variations de \(h\) sur cet intervalle.

3) Démontre que, pour tout réel \(t\), \(2\leq h(t)\leq 22\). Interprète pour la grande roue : hauteur d'embarquement, hauteur maximale, diamètre, durée d'un tour.

4) Démontre que, pour tout réel \(t\), \(h(12-t)=h(t)\). Résous alors dans \([0\,;12]\) l'inéquation \(h(t)\geq 17\). Pendant combien de minutes par tour la nacelle se trouve-t-elle à 17 mètres ou plus ?

5) La vitesse verticale de la nacelle est \(h'(t)\). À quel instant de \([0\,;6]\) est-elle la plus grande ? Justifie, donne sa valeur exacte puis sa valeur arrondie au centième, et précise la hauteur de la nacelle à cet instant.

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=\cos^2x+\cos x\), et \((C)\) sa courbe représentative.

1) Démontre que \(f\) est paire et périodique de période \(2\pi\). Le nombre \(\pi\) est-il aussi une période de \(f\) ? Justifie que l'on peut limiter l'étude à l'intervalle \([0\,;\pi]\).

2) Démontre que, pour tout réel \(x\), \(f'(x)=-\sin x\,(2\cos x+1)\).

3) Étudie le signe de \(f'(x)\) sur \([0\,;\pi]\) et dresse le tableau de variations de \(f\) sur cet intervalle.

4) Démontre que, pour tout réel \(x\), \(f(x)=\left(\cos x+\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{1}{4}\). Retrouve ainsi que \(-\dfrac{1}{4}\leq f(x)\leq 2\) pour tout réel \(x\), puis résous dans \([0\,;\pi]\) l'équation \(f(x)=0\).

5) Détermine une équation de la tangente à \((C)\) au point d'abscisse 0, puis au point d'abscisse \(\dfrac{\pi}{2}\). Décris enfin l'allure de \((C)\) sur \([-\pi\,;\pi]\) : points remarquables, tangentes horizontales, symétrie.

Soit \(f\) une fonction définie sur \(\mathbb{R}\), paire, périodique de période 4, et telle que \(f(x)=x^2-x\) pour tout \(x\) de l'intervalle \([0\,;2]\). On note \((C)\) sa courbe représentative.

1) Calcule \(f(9)\), \(f(-6{,}5)\) et \(f(2026)\) en justifiant chaque étape.

2) Étudie les variations de \(f\) sur \([0\,;2]\) et dresse son tableau de variations sur cet intervalle. Quels sont le minimum et le maximum de \(f\) sur \(\mathbb{R}\) ?

3) Détermine l'expression de \(f(x)\) pour \(x\) dans \([-2\,;0]\), puis pour \(x\) dans \([2\,;4]\).

4) Démontre que, pour tout réel \(x\), \(f(4-x)=f(x)\). Interprète graphiquement ce résultat, puis contrôle-le sur l'expression trouvée pour \(x\) dans \([2\,;4]\).

5) Pour \(h\neq 0\) assez proche de 0, calcule le taux d'accroissement \(\dfrac{f(h)-f(0)}{h}\) dans le cas \(h\gt 0\), puis dans le cas \(h\lt 0\). La fonction \(f\) est-elle continue en 0 ? Est-elle dérivable en 0 ? Interprète graphiquement, puis explique sans nouveau calcul de limite ce qui se passe au point d'abscisse 2.

6) Résous l'équation \(f(x)=\dfrac{3}{4}\) dans \([0\,;2]\), puis dans \([-2\,;2]\), puis dans \(\mathbb{R}\).