Dérivation

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) Soit $h(x)=x^3-2x$. $h'(x)$ est égal à :
a) $3x^2-2$   b) $3x^2-2x$   c) $x^2-2$   d) $3x-2$

2) Avec la même fonction $h$, $h'(2)$ vaut :
a) $10$   b) $8$   c) $12$   d) $6$

3) Soit $h_2(x)=x^2-3x$. L'équation de la tangente à sa courbe au point d'abscisse $x=1$ est :
a) $y=-x-1$   b) $y=-x+1$   c) $y=x-1$   d) $y=-2x+1$

4) Soit $k(x)=\dfrac1{x+1}$. $k'(x)$ est égal à :
a) $\dfrac{-1}{(x+1)^2}$   b) $\dfrac1{(x+1)^2}$   c) $\dfrac{-1}{x+1}$   d) $\dfrac1{x+1}$

Exercice 1 — QCM autour de $r(x)=x^2-4x+3$ (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) $r'(x)$ est égal à :
a) $2x-4$   b) $x-4$   c) $2x-2$   d) $2x+4$

2) $r'(x)$ s'annule en :
a) $x=2$   b) $x=4$   c) $x=-2$   d) $x=0$

3) Sur l'intervalle $[2;5]$, la fonction $r$ est :
a) strictement croissante   b) strictement décroissante   c) constante   d) ni croissante ni décroissante

4) D'après le théorème de la bijection, $r$ réalise une bijection de $[2;5]$ vers :
a) $[-1;8]$   b) $[-4;8]$   c) $[0;8]$   d) $[-1;5]$

Exercice 2 — Situation d'intégration

Un taxi-brousse effectue le trajet entre deux villes. La distance parcourue (en km), en fonction du temps $t$ (en heures) depuis le départ, est modélisée par $d(t)=-5t^2+50t$ pour $t\in[0;5]$ (le taxi ralentit progressivement en fin de trajet à l'approche de la capitale).

Consigne :

1) Calculer $d'(t)$, qui représente la vitesse instantanée (en km/h) à l'instant $t$.

2) Calculer la vitesse du taxi à $t=1$ h puis à $t=4$ h. Que remarque-t-on ?

3) À quel instant $t\in[0;5]$ la vitesse instantanée est-elle nulle ? Que peut-on en déduire sur le trajet à cet instant ?

Exercice 2 — Situation d'intégration

Un technicien agricole doit déterminer la quantité $x$ (en kg) d'engrais NPK à épandre sur une parcelle, pour que le rendement modélisé par $R(x)=-x^2+10x-9$ (rendement en quintaux, pour $x\in[1;9]$) atteigne exactement $R(x)=15$ quintaux, seuil fixé par la coopérative.

Consigne :

1) Calculer $R'(x)$ et étudier son signe sur $[1;9]$.

2) On se place sur l'intervalle $[5;9]$. Montrer que $R$ y réalise une bijection vers un intervalle que l'on précisera.

3) En déduire s'il existe une unique quantité $x\in[5;9]$ vérifiant $R(x)=15$, puis la déterminer en résolvant l'équation.

Soit $p(x)=x^3-3x+2$, définie sur $\mathbb R$.

Partie A. 1) Calculer $p'(x)$. 2) Résoudre $p'(x)=0$. 3) Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de $p$ au point d'abscisse $x=2$.

Partie B. 4) Vérifier que $p(1)=0$. En déduire les réels $a,b$ tels que $p(x)=(x-1)(x^2+ax+b)$, puis résoudre complètement l'équation $p(x)=0$ dans $\mathbb R$.

Soit $t(x)=x^2-2x-3$, définie sur $\mathbb R$.

Partie A. 1) Étudier le signe de $t'(x)$ et dresser le sens de variation de $t$ (on précisera son minimum). 2) Montrer que l'équation $t(x)=0$ admet une unique solution dans $[3;6]$ à l'aide du théorème de la bijection monotone, puis la déterminer.

Partie B. 3) Factoriser complètement $t(x)$ et en déduire toutes les racines de $t$ sur $\mathbb R$. 4) Sur quel intervalle la courbe de $|t|$ diffère-t-elle de celle de $t$ ?

On considère la fonction \(f\) définie sur \(\left[-\dfrac{1}{2}\,;+\infty\right[\) par \(f(x)=\sqrt{2x+1}\). On note \((C)\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

1) En revenant à la définition (limite du taux d'accroissement), démontre que \(f\) est dérivable en 4 et que \(f'(4)=\dfrac{1}{3}\).

2) Calcule \(f'(x)\) pour \(x\gt -\dfrac{1}{2}\) à l'aide de la formule de dérivation de \(x\mapsto g(ax+b)\), puis retrouve la valeur de \(f'(4)\).

3) Détermine une équation de la tangente \((T)\) à \((C)\) au point \(A\) d'abscisse 4.

4) Démontre que, pour tout \(x\geq -\dfrac{1}{2}\), \(\left(\dfrac{x+5}{3}\right)^2-(2x+1)=\dfrac{(x-4)^2}{9}\). Déduis-en la position de \((C)\) par rapport à \((T)\).

5) Utilise l'approximation affine de \(f\) au voisinage de 4 pour donner une valeur approchée de \(\sqrt{9{,}06}\). Cette valeur est-elle approchée par excès ou par défaut ? Calcule son carré pour apprécier sa précision.

6) Pour \(h\gt 0\), exprime le taux d'accroissement de \(f\) entre \(-\dfrac{1}{2}\) et \(-\dfrac{1}{2}+h\), puis étudie sa limite quand \(h\) tend vers 0. La fonction \(f\) est-elle continue en \(-\dfrac{1}{2}\) ? Est-elle dérivable en \(-\dfrac{1}{2}\) ? Interprète graphiquement et conclus sur le lien entre continuité et dérivabilité.

Une coopérative de pisciculteurs fait construire un bassin ouvert (sans couvercle) en forme de pavé droit à base carrée, de volume \(16\) mètres cubes. Le fond, en béton, revient à \(6000\) francs le mètre carré ; les quatre parois verticales reviennent à \(1500\) francs le mètre carré. On note \(x\) le côté de la base et \(h\) la hauteur du bassin, en mètres, avec \(x\gt 0\).

1) Exprime \(h\) en fonction de \(x\), puis démontre que le coût total de construction, en francs, est \(C(x)=6000x^2+\dfrac{96000}{x}\).

2) Calcule \(C'(x)\) et démontre que, pour tout \(x\gt 0\), \(C'(x)=\dfrac{12000\,(x-2)(x^2+2x+4)}{x^2}\).

3) Étudie le signe de \(C'(x)\), calcule les limites de \(C\) en 0 et en \(+\infty\), puis dresse le tableau de variations de \(C\) sur \(]0\,;+\infty[\).

4) Déduis-en les dimensions du bassin le moins cher et le coût minimal. Interprète concrètement les deux limites trouvées à la question 3.

5) Pour faciliter la pêche au filet, la coopérative exige finalement que le côté de la base mesure au moins \(2{,}5\) mètres. Justifie quel est alors le bassin le moins cher, donne ses dimensions, son coût et le surcoût par rapport à la question 4.

Soit \(f\) la fonction définie pour tout réel \(x\neq 1\) par \(f(x)=\dfrac{x^2-3x+6}{x-1}\), et \((C)\) sa courbe représentative.

1) Détermine trois réels \(a\), \(b\) et \(c\) tels que, pour tout \(x\neq 1\), \(f(x)=ax+b+\dfrac{c}{x-1}\).

2) Calcule \(f'(x)\) et démontre que \(f'(x)=\dfrac{(x+1)(x-3)}{(x-1)^2}\).

3) Étudie le signe de \(f'(x)\) et dresse le tableau de variations de \(f\), limites comprises. Précise les extremums relatifs de \(f\). Le maximum relatif est inférieur au minimum relatif : explique pourquoi ce n'est pas contradictoire.

4) Détermine les points de \((C)\) où la tangente est parallèle à la droite d'équation \(y=-3x+1\), et donne une équation de chacune de ces tangentes.

5) Soit \(m\) un réel. Démontre que, pour \(x\neq 1\), l'équation \(f(x)=m\) équivaut à \(x^2-(m+3)x+m+6=0\). Discute, suivant les valeurs de \(m\), le nombre de solutions de l'équation \(f(x)=m\), puis explique en quoi ce résultat est cohérent avec la question 3.

Un solide accroché à un ressort oscille le long d'un axe horizontal. À l'instant \(t\), exprimé en secondes, son abscisse en centimètres est \(x(t)=5\cos\left(2t-\dfrac{\pi}{3}\right)\), pour \(t\) dans l'intervalle \([0\,;\pi]\). Sa vitesse est \(v(t)=x'(t)\) et son accélération est \(a(t)=v'(t)\).

1) Calcule l'abscisse du solide à l'instant \(t=0\), puis calcule \(v(t)\) en justifiant la règle de dérivation utilisée.

2) Résous dans \([0\,;\pi]\) l'équation \(v(t)=0\).

3) Étudie le signe de \(v(t)\) sur \([0\,;\pi]\) et dresse le tableau de variations de la fonction \(x\). Entre quelles abscisses le solide oscille-t-il ?

4) Calcule \(a(t)\) et démontre que, pour tout \(t\) de \([0\,;\pi]\), \(a(t)=-4\,x(t)\).

5) Démontre que, pour tout \(t\) de \([0\,;\pi]\), \(v(t)^2+4\,x(t)^2=100\). Déduis-en la plus grande valeur possible de la vitesse en valeur absolue, la position du solide quand elle est atteinte, puis les instants correspondants.