Dénombrement

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) Dans un lycée, 150 élèves pratiquent le football, 90 le basketball, et 40 pratiquent les deux. Combien pratiquent au moins l'un des deux sports ?
a) $200$   b) $240$   c) $150$   d) $280$

2) Un menu de cantine propose 5 entrées et 3 desserts. Le nombre de menus (entrée, dessert) possibles est :
a) $15$   b) $8$   c) $25$   d) $10$

3) Un ensemble $E$ a pour cardinal $4$. Le nombre de parties de $E$ (y compris $\varnothing$ et $E$) est :
a) $16$   b) $8$   c) $24$   d) $4$

4) Un code PIN à 4 chiffres (chiffres de $0$ à $9$, répétitions autorisées) : le nombre de codes possibles est :
a) $10\,000$   b) $5\,040$   c) $210$   d) $40$

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) Un podium (1ʳᵉ, 2ᵉ, 3ᵉ place) doit être établi parmi 10 athlètes lors d'une course scolaire. Le nombre de podiums possibles est :
a) $720$   b) $1\,000$   c) $120$   d) $30$

2) Une délégation de 4 élèves (rôles interchangeables) doit être choisie parmi 12 candidats. Le nombre de délégations possibles est :
a) $495$   b) $11\,880$   c) $20\,736$   d) $66$

3) Dans le développement de $(x+y)^5$, le coefficient de $x^3y^2$ est :
a) $10$   b) $5$   c) $20$   d) $15$

4) Par convention, $0!$ est égal à :
a) $1$   b) $0$   c) indéfini   d) $-1$

Exercice 2 — Situation d'intégration

Dans un lycée comptant $250$ élèves, $160$ élèves étudient l'anglais renforcé, $95$ étudient l'espagnol, et $30$ étudient les deux langues renforcées à la fois.

Consigne :

1) Combien d'élèves étudient au moins une des deux langues renforcées ?

2) Le proviseur souhaite savoir combien d'élèves n'étudient aucune des deux langues renforcées, afin de leur proposer un club de soutien. Répondre à sa question.

Exercice 2 — Situation d'intégration

Lors de la fête de fin d'année d'un lycée, une tombola est organisée : $8$ lots différents doivent être distribués à $8$ élèves différents, tirés au sort parmi les $40$ élèves participants. Chaque élève tiré ne peut remporter qu'un seul lot, et l'ordre du tirage détermine quel lot chacun reçoit (le premier élève tiré reçoit le lot n°1, le deuxième le lot n°2, etc.).

Consigne :

1) S'agit-il d'un arrangement ou d'une combinaison ? Justifier.

2) Écrire, sans le calculer entièrement, le produit donnant le nombre de répartitions différentes des 8 lots.

3) Le comité change finalement d'avis : les 8 lots sont en réalité identiques (des bons d'achat de même valeur). Écrire, sans le calculer entièrement, le nombre de façons de choisir les 8 élèves gagnants parmi les 40, dans ce nouveau cas.

Problème — Codes, digicode et parties d'un ensemble.

Partie A. Un cadenas de vélo utilise un code à $4$ chiffres choisis parmi $\{0,1,\dots,9\}$, les répétitions étant autorisées. 1) Combien de codes différents existe-t-il au total ? 2) Combien de ces codes ont leurs $4$ chiffres deux à deux distincts ?

Partie B. Le digicode d'un immeuble utilise un code de $3$ caractères, chacun choisi parmi les $10$ chiffres et les $26$ lettres de l'alphabet ($36$ symboles au total), répétitions autorisées. Combien de codes différents sont possibles ?

Partie C. Un technicien dispose d'un ensemble $E$ de $8$ clés USB numérotées. Il doit constituer un lot à prêter à un collègue (n'importe quel sous-ensemble de $E$, y compris ne rien prêter ou tout prêter). Combien de lots différents peut-il constituer ?

Problème — $8$ candidats passent un examen oral et sont reçus un par un dans une salle.

Partie A. De combien de façons peut-on établir l'ordre de passage des $8$ candidats ?

Partie B. Parmi ces $8$ candidats, $3$ sont désignés pour représenter leur promotion lors d'une cérémonie officielle, où ils occuperont $3$ sièges numérotés distincts sur l'estrade (siège 1, siège 2, siège 3). Combien de façons y a-t-il de choisir puis de placer ces $3$ candidats sur les $3$ sièges ?

Partie C. Les $5$ candidats restants doivent également être reçus en entretien individuel, dans un ordre précis établi par le jury. Combien d'ordres de passage différents sont possibles pour ces $5$ candidats ?

Un club scientifique compte $60$ lycéens. On note $A$ l'ensemble des membres aimant les mathématiques et $B$ l'ensemble des membres aimant la physique. On donne $\mathrm{Card}(A)=38$, $\mathrm{Card}(B)=29$ et $\mathrm{Card}(A\cup B)=52$.

Partie A. 1) Calculer $\mathrm{Card}(A\cap B)$. 2) En déduire le nombre de membres n'aimant ni l'une ni l'autre matière.

Partie B. Le bureau du club comprend deux postes indépendants : « responsable communication » et « responsable logistique ». Le règlement intérieur n'interdit pas qu'une même personne occupe les deux postes à la fois. 3) Combien de répartitions (responsable communication, responsable logistique) sont possibles parmi les $60$ membres ?

Exercice 4 — Approfondissement

Un comité de $5$ personnes doit être choisi parmi un groupe de $8$ hommes et $6$ femmes.

1) Combien de comités différents peut-on former, sans aucune contrainte ?

2) Combien de comités contiennent exactement $2$ femmes (et donc $3$ hommes) ?

3) Combien de comités contiennent au moins $1$ femme ?

Partie A. Un jury de 3 personnes (rôles interchangeables) doit être formé parmi 15 enseignants d'un lycée pour évaluer un concours de mathématiques. Parmi ces 15 enseignants, 6 enseignent les mathématiques.

1) Combien de jurys de 3 personnes peut-on former parmi les 15 enseignants ?

2) Combien de ces jurys ne comportent aucun professeur de mathématiques ?

3) En déduire le nombre de jurys comportant au moins un professeur de mathématiques.

Partie B. 4) Développer $(2x-3)^4$ à l'aide du triangle de Pascal.

Une coopérative regroupe 40 maraîchers. Parmi eux, 24 cultivent la tomate, 19 cultivent l'oignon et 9 ne cultivent aucune de ces deux plantes. On note \(T\) l'ensemble des maraîchers qui cultivent la tomate et \(O\) l'ensemble de ceux qui cultivent l'oignon.

1) Combien de maraîchers cultivent au moins une des deux plantes ? Précise l'ensemble dont tu calcules le cardinal.

2) Déduis-en le nombre de maraîchers qui cultivent à la fois la tomate et l'oignon. Justifie avec une formule du cours.

3) Combien de maraîchers cultivent une seule de ces deux plantes ?

4) La coopérative envoie à une foire une délégation de 3 maraîchers, choisis simultanément ; les trois délégués jouent le même rôle, l'ordre ne compte donc pas. Combien de délégations différentes peut-on former ? Justifie le choix de l'outil de dénombrement.

5) Combien de ces délégations comprennent au moins un maraîcher qui cultive les deux plantes ?

6) Combien de délégations sont formées d'un maraîcher qui ne cultive que la tomate, d'un maraîcher qui ne cultive que l'oignon et d'un maraîcher qui ne cultive aucune des deux plantes ?

On considère l'ensemble \(E=\{1\,;2\,;3\,;4\,;5\,;6\,;7\}\). On écrit des nombres de quatre chiffres en n'utilisant que des chiffres de \(E\) ; un même chiffre peut être utilisé plusieurs fois, sauf indication contraire.

1) Combien de nombres peut-on écrire ainsi ? Justifie en précisant la nature des objets que tu dénombres.

2) Parmi ces nombres, combien contiennent au moins une fois le chiffre 7 ?

3) On note \(F\) l'ensemble des nombres dont les quatre chiffres sont deux à deux distincts. Calcule le cardinal de \(F\).

4) Dans \(F\), on note \(P\) l'ensemble des nombres pairs et \(S\) l'ensemble des nombres strictement supérieurs à 4000. Calcule le cardinal de \(P\) et celui de \(S\).

5) Calcule le cardinal de \(P\cap S\), en distinguant deux cas selon le chiffre des milliers.

6) Déduis-en le nombre d'éléments de \(F\) qui sont pairs ou strictement supérieurs à 4000, puis le nombre d'éléments de \(F\) qui ne sont ni pairs ni strictement supérieurs à 4000.

Une élève possède 7 livres tous différents : 3 livres de mathématiques, 2 livres de physique et 2 livres de français. Elle les range côte à côte, sur une seule rangée d'une étagère. Deux rangements sont différents dès que les livres n'apparaissent pas dans le même ordre, de la gauche vers la droite.

1) Combien de rangements différents sont possibles ? Justifie.

2) Combien de rangements placent les trois livres de mathématiques les uns à côté des autres ?

3) Combien de rangements regroupent les livres par matière, les livres d'une même matière étant tous voisins ?

4) Combien de rangements séparent les deux livres de physique, ceux-ci n'étant pas l'un à côté de l'autre ?

5) Combien de rangements ont un livre de mathématiques à chacune des deux extrémités de la rangée ?

6) Combien de rangements placent les trois livres de mathématiques les uns à côté des autres tout en séparant les deux livres de physique ?

Un tournoi de handball réunit \(n\) équipes, où \(n\) est un entier supérieur ou égal à 2. Dans la première phase, chaque équipe rencontre une fois et une seule chacune des autres équipes.

1) Explique pourquoi le nombre de matchs de la première phase est \(C_n^2\), puis démontre que \(C_n^2=\dfrac{n(n-1)}{2}\).

2) La première phase compte 66 matchs. Détermine le nombre \(n\) d'équipes en résolvant une équation du second degré.

3) Si chaque rencontre se jouait en deux matchs, l'un sur le terrain de la première équipe et l'autre sur le terrain de la seconde, combien de matchs y aurait-il ? Exprime ce nombre à l'aide d'un nombre d'arrangements et explique le lien avec le résultat de la question 2.

4) À la fin du tournoi, on attribue une médaille d'or, une médaille d'argent et une médaille de bronze à trois équipes différentes. Combien de palmarès différents sont possibles ?

5) Les équipes engagées sont 7 équipes juniors et 5 équipes cadettes. Les organisateurs choisissent simultanément 5 équipes pour une journée de gala, sans tenir compte de l'ordre. Combien de choix sont possibles ? Combien comprennent exactement 3 équipes juniors ? Combien comprennent au moins une équipe cadette ?