Première C · Leçon 17
Composées de transformations du plan
Exercices corrigés
QCM — Homothéties et translations
Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)
1) Une homothétie de rapport $k=1$ est, par définition :
a) une rotation b) une translation c) une symétrie d) toujours l'identité seule
2) Soit $h$ l'homothétie de centre $\Omega(1;2)$, rapport $k=-3$. L'image de $A(3;4)$ est :
a) $(-5;-4)$ b) $(5;4)$ c) $(7;8)$ d) $(-1;-2)$
3) La réciproque d'une homothétie de centre $\Omega$ et de rapport $k=5$ est :
a) homothétie centre $\Omega$, rapport $-5$ b) homothétie centre $\Omega$, rapport $\dfrac15$ c) translation d) homothétie centre $\Omega$, rapport $5$
4) $h_1$ de rapport $2$ et $h_2$ de rapport $\dfrac12$ (centres distincts). $h_1\circ h_2$ est :
a) une homothétie de rapport $1$ b) une translation c) une homothétie de rapport $4$ d) l'identité
QCM — Réflexions
Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)
1) La réflexion $s$ d'axe $(Ox)$ a pour réciproque :
a) $s$ elle-même b) la réflexion d'axe $(Oy)$ c) l'identité d) une translation
2) $s$ d'axe $(Ox)$. L'image de $M(7;-3)$ est :
a) $(7;3)$ b) $(-7;-3)$ c) $(-7;3)$ d) $(3;7)$
3) Si $(D_1)\parallel(D_2)$, la composée $s_{D_2}\circ s_{D_1}$ est :
a) une rotation b) une translation c) une homothétie d) une réflexion
4) Une réflexion transforme l'angle orienté $(\vec u,\vec v)$ en :
a) $(\vec u,\vec v)$ b) $-(\vec u,\vec v)$ c) $2(\vec u,\vec v)$ d) $\dfrac{(\vec u,\vec v)}2$
QCM — Rotations
Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)
1) $r_1$ : rotation de centre $O$, angle $40°$. La réciproque de $r_1$ est :
a) rotation centre $O$ angle $40°$ b) rotation centre $O$ angle $-40°$ c) rotation centre $O$ angle $140°$ d) une translation
2) $r_1$ angle $70°$, $r_2$ angle $110°$, même centre $O$. $r_2\circ r_1$ est :
a) rotation angle $40°$ b) rotation angle $180°$ c) rotation angle $-40°$ d) une homothétie
3) Le groupe des rotations de centre $\Omega$ fixé, muni de la composition, est :
a) non commutatif b) commutatif c) non stable d) sans élément neutre
4) Toute isométrie du plan qui fixe un point $\Omega$ est :
a) toujours une translation b) une rotation ou une réflexion c) toujours une homothétie d) toujours l'identité
Situation d'intégration — Agrandissement d'un plan de quartier
Exercice 2 — Situation d'intégration
Un urbaniste agrandit le plan d'un quartier à l'aide d'une homothétie de centre le rond-point de référence $\Omega$ (origine du repère) et de rapport $k=2{,}5$, pour produire une carte plus détaillée. Sur le plan initial, un carrefour $A$ a pour coordonnées $(40;60)$ (en mètres depuis $\Omega$), et un second carrefour $B(100;60)$ est situé à $60$ m de $A$.
Consigne : Déterminer les coordonnées de l'image $A'$ de ce carrefour sur la carte agrandie, puis calculer la distance $A'B'$ sur cette carte agrandie.
Situation d'intégration — Façade symétrique d'un bâtiment administratif
Exercice 2 — Situation d'intégration
Un architecte conçoit la façade symétrique d'un bâtiment administratif. L'axe de symétrie de la façade correspond à la droite $(D)$ : $x=6$ (mètres, repère orthonormé lié au plan). Une fenêtre $F$ est positionnée en $(2;3)$.
Consigne : Déterminer les coordonnées de la fenêtre $F'$ à placer pour respecter la symétrie de la façade par rapport à $(D)$, puis vérifier que la distance de $F$ à $(D)$ est bien égale à la distance de $F'$ à $(D)$.
Situation d'intégration — Grande roue de la foire
Exercice 2 — Situation d'intégration
Une grande roue foraine installée lors de la foire tourne autour de son centre $O$. Une nacelle part de la position $A(0;15)$ (mètres, $O$ étant le centre de la roue), et la roue effectue une rotation de $150°$ (sens direct) entre deux arrêts.
Consigne : Déterminer les coordonnées de la nouvelle position $A'$ de la nacelle après cette rotation (arrondies au centième de mètre), puis vérifier que la distance de $A'$ au centre $O$ est bien restée égale à $15$ m.
Problème — Motif de tissage traditionnel (faso dan fani)Approfondissement — Composition de deux homothéties
Problème — Une artisane dessine un motif de tissage à partir d'un triangle $ABC$, $A(1;1)$, $B(3;1)$, $C(2;3)$, transformé par une homothétie $h$ de centre $\Omega(0;0)$ et de rapport $k=-2$.
Partie A. Déterminer les coordonnées des images $A'$, $B'$, $C'$ par $h$.
Partie B. 1) Cette homothétie conserve-t-elle les angles du triangle $ABC$ ? Justifier. 2) Quel est le rapport de l'aire du triangle $A'B'C'$ sur celle du triangle $ABC$ ?
Partie C. L'artisane veut vérifier qu'elle peut retrouver le motif d'origine à partir du motif transformé. Donner le centre et le rapport de la réciproque de $h$.
Voir le corrigé
- $A'=-2\times(1;1)=(-2;-2)$. $B'=-2\times(3;1)=(-6;-2)$. $C'=-2\times(2;3)=(-4;-6)$.
- Oui : une homothétie-translation conserve toujours l'angle orienté, quel que soit le signe de $k$ (résultat du cours).
- Les distances sont multipliées par $|k|=2$, donc les aires (produit de deux longueurs) sont multipliées par $|k|^2=4$ : le rapport des aires est $4$.
- Même centre $\Omega(0;0)$, rapport $\dfrac1k=-\dfrac12$.
- Quand le produit des rapports de deux homothéties vaut $1$, leur composée n'est plus une homothétie mais une translation (résultat de cours). Ici $3\times\dfrac13=1$, donc $h_2\circ h_1$ est une translation.
- $A$ étant l'origine, $h_1(M)=A+3(M-A)=3M$, soit $h_1(x;y)=(3x;3y)$. Ensuite $h_2(N)=B+\dfrac13(N-B)$ avec $N=(3x;3y)$ : $h_2(N)=(4;0)+\dfrac13\big((3x;3y)-(4;0)\big)=(4;0)+\left(x-\dfrac43;y\right)=\left(x+\dfrac83;y\right)$.
- $h_2\circ h_1(M)=M+\left(\dfrac83;0\right)$ pour tout $M$ : c'est la translation de vecteur $\vec u\left(\dfrac83;0\right)$.
Approfondissement — Composition de deux homothéties
Exercice 4 — Approfondissement
Dans le plan muni d'un repère, on considère $A(0;0)$ et $B(4;0)$. On note $h_1$ l'homothétie de centre $A$ et de rapport $3$, et $h_2$ l'homothétie de centre $B$ et de rapport $\dfrac13$.
1) Rappeler la nature de $h_2\circ h_1$, sachant que le produit des rapports vaut $1$.
2) Pour un point $M(x;y)$ quelconque, exprimer les coordonnées de $h_1(M)$ puis de $h_2(h_1(M))$.
3) En déduire le vecteur de la translation $h_2\circ h_1$.
Problème — Motif en fer forgé d'un artisan
Problème — Un artisan orne une grille en fer forgé à l'aide des deux réflexions $(D_1)=(Ox)$ et $(D_2)$ : $y=x$.
Partie A. Donner l'expression analytique de $s_{D_1}$ et de $s_{D_2}$.
Partie B. Soit $M(4;1)$. 1) Calculer $s_{D_1}(M)$. 2) Calculer $s_{D_2}(s_{D_1}(M))$. 3) Quelle est la nature de $s_{D_2}\circ s_{D_1}$ ? Vérifier que le résultat du 2) est cohérent avec cette nature.
Partie C. Le fabricant veut orner un second point $N(0;3)$ avec la même transformation composée. Calculer l'image de $N$ par $s_{D_2}\circ s_{D_1}$.
Voir le corrigé
- $s_{D_1}(x;y)=(x;-y)$. $s_{D_2}(x;y)=(y;x)$.
- $s_{D_1}(4;1)=(4;-1)$.
- $s_{D_2}(4;-1)=(-1;4)$.
- $(D_1)$ et $(D_2)$ se coupent en $O$ avec un angle de $45°$ de $(D_1)$ vers $(D_2)$ : $s_{D_2}\circ s_{D_1}$ est la rotation de centre $O$ et d'angle $2\times45°=90°$. Formule de rotation $90°$ : $(x;y)\mapsto(-y;x)$, appliquée à $(4;1)$ donne $(-1;4)$ — cohérent avec le résultat du 2).
- $s_{D_1}(0;3)=(0;-3)$, puis $s_{D_2}(0;-3)=(-3;0)$. Vérification par la rotation directe : $(x;y)\mapsto(-y;x)$ sur $(0;3)$ donne $(-3;0)$ — cohérent.
Problème — Décomposer une rotation d'atelier en deux réflexions
Problème — Un ingénieur souhaite décomposer la rotation $r$ de centre $O$ et d'angle $130°$ en un produit de deux réflexions d'axes passant par $O$.
Partie A. Donner un couple d'axes $(D_1),(D_2)$ possible (préciser l'angle de chaque axe par rapport à $(Ox)$).
Partie B. Vérifier ce résultat sur le point $A(5;0)$ : 1) calculer l'image de $A$ par la rotation directe $r$ (formule, valeurs arrondies au centième) ; 2) calculer l'image de $A$ par $s_{D_1}$ puis par $s_{D_2}$ (avec les axes de la partie A), et vérifier qu'on retrouve le même résultat.
Partie C. Sans calcul supplémentaire, la composée de $r$ avec elle-même (deux rotations de $130°$ de suite) est-elle la même transformation qu'une rotation unique d'angle $260°$ ? Justifier à l'aide d'une propriété du cours.
Voir le corrigé
- L'angle entre les deux axes doit valoir $\dfrac{130°}2=65°$. On peut prendre $(D_1)=(Ox)$ (angle $0°$) et $(D_2)$ l'axe faisant un angle de $65°$ avec $(Ox)$, passant par $O$.
- $\cos130°\approx-0{,}6428$, $\sin130°\approx0{,}7660$. $A(5;0)$ : $x'=5\times(-0{,}6428)\approx-3{,}21$, $y'=5\times0{,}7660\approx3{,}83$. $A'\approx(-3{,}21;3{,}83)$.
- $s_{D_1}(5;0)=(5;0)$ ($A$ est déjà sur l'axe $(Ox)$). Puis $s_{D_2}(5;0)$ avec $D_2$ à $65°$ : $x'=5\cos130°\approx-3{,}21$, $y'=5\sin130°\approx3{,}83$ — même résultat qu'en B.1.
- Oui : la composée de deux rotations de même centre additionne les angles ($130°+130°=260°$), donc $r\circ r$ est bien la rotation de centre $O$ et d'angle $260°$.
Composer deux homothéties de centres différents
Le plan est muni d'un repère orthonormé \(\left(O\,;\vec{i},\vec{j}\right)\). On considère les points \(A(2\,;-1)\) et \(B(4\,;3)\). On note \(h\) l'homothétie de centre \(A\) et de rapport \(-2\), \(s\) l'homothétie de centre \(B\) et de rapport \(-1\), et \(g\) l'homothétie de centre \(B\) et de rapport \(-\dfrac{1}{2}\). Dans tout l'exercice, \(M(x\,;y)\) désigne un point quelconque du plan.
1) Détermine l'expression analytique de \(h\), c'est-à-dire les coordonnées \((x'\,;y')\) de \(M'=h(M)\) en fonction de \(x\) et \(y\). Donne l'image du point \(O\).
2) Détermine l'expression analytique de \(s\), puis celle de la composée \(f=s\circ h\), dans laquelle \(h\) est appliquée en premier.
3) Démontre que \(f\) admet un unique point invariant \(\Omega\), dont tu donneras les coordonnées, puis que \(\overrightarrow{\Omega M''}=2\,\overrightarrow{\Omega M}\), où \(M''=f(M)\). Déduis-en la nature et les éléments caractéristiques de \(f\).
4) Démontre que les points \(A\), \(B\) et \(\Omega\) sont alignés.
5) Détermine la nature et l'élément caractéristique de la composée \(g\circ h\), dans laquelle \(h\) est appliquée en premier. Pourquoi pouvait-on prévoir que ce n'est pas une homothétie ?
6) Soit \((\mathcal{C})\) le cercle de centre \(A\) et de rayon 1. Détermine, en justifiant, le centre et le rayon de son image par \(f\), puis de son image par \(g\circ h\).
Symétries orthogonales autour d'un triangle équilatéral
Le plan est orienté. \(ABC\) est un triangle équilatéral de côté 6, de sens direct : \(\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=\dfrac{\pi}{3}\). On note \(H\) le milieu du segment \([BC]\) et \((\Delta)\) la droite parallèle à \((BC)\) passant par \(A\). Pour toute droite \((D)\), on note \(S_{(D)}\) la symétrie orthogonale d'axe \((D)\).
1) On pose \(f=S_{(AC)}\circ S_{(AB)}\), où \(S_{(AB)}\) est appliquée en premier. Détermine la nature et les éléments caractéristiques de \(f\).
2) On note \(B'=f(B)\). Démontre que \(B'\) est le symétrique de \(B\) par rapport à \((AC)\), que \(ABCB'\) est un losange et que \(\overrightarrow{AB'}=\overrightarrow{BC}\). Retrouve alors, par un calcul d'angles orientés, la mesure de \(\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AB'}\right)\).
3) On pose \(g=S_{(\Delta)}\circ S_{(BC)}\), où \(S_{(BC)}\) est appliquée en premier. Détermine la nature et l'élément caractéristique de \(g\), ainsi que la distance entre un point et son image.
4) On note \(B_1=g(B)\) et \(C_1=g(C)\). Démontre que le quadrilatère \(BCC_1B_1\) est un rectangle et calcule son aire.
5) On pose \(k=S_{(AH)}\circ S_{(BC)}\), où \(S_{(BC)}\) est appliquée en premier. Détermine la nature de \(k\) et l'image de \(A\) par \(k\). Les transformations \(S_{(AH)}\circ S_{(BC)}\) et \(S_{(BC)}\circ S_{(AH)}\) sont-elles égales ? Même question pour \(S_{(AC)}\circ S_{(AB)}\) et \(S_{(AB)}\circ S_{(AC)}\). Justifie.
Deux rotations de centres différents dans un carré
Le plan est orienté. \(ABCD\) est un carré de côté 4, de sens direct : \(\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}\right)=\dfrac{\pi}{2}\) et \(\left(\overrightarrow{CD},\overrightarrow{CB}\right)=\dfrac{\pi}{2}\). On note \(r_A\) la rotation de centre \(A\) et d'angle \(\dfrac{\pi}{2}\), \(r_C\) la rotation de centre \(C\) et d'angle \(\dfrac{\pi}{2}\), et \(r'_C\) la rotation de centre \(C\) et d'angle \(-\dfrac{\pi}{2}\).
1) Détermine, en justifiant, les points \(r_A(B)\) et \(r_C(D)\).
2) On pose \(f=r_C\circ r_A\), où \(r_A\) est appliquée en premier. Calcule \(f(B)\), puis détermine la nature et l'élément caractéristique de \(f\).
3) Déduis-en l'image \(A'\) de \(A\) par \(f\) et la distance \(AA'\). Retrouve ce résultat directement, en démontrant que \(r_C(A)=A'\).
4) On pose \(g=r_A\circ r_C\), où \(r_C\) est appliquée en premier. Calcule \(g(D)\), puis détermine la nature de \(g\). Les transformations \(f\) et \(g\) sont-elles égales ?
5) On pose \(h=r'_C\circ r_A\), où \(r_A\) est appliquée en premier. Justifie que \(h\) est une translation, puis détermine son vecteur à l'aide de l'image du point \(B\).
6) Déduis-en l'image \(A''\) de \(A\) par \(h\). Que représente le point \(D\) pour le segment \([AA'']\) ?
Les outils d'une application de dessin
Une application de dessin affiche une icône triangulaire sur un écran muni d'un repère orthonormé \(\left(O\,;\vec{i},\vec{j}\right)\) d'unité le centimètre. Les sommets de l'icône sont \(P(2\,;1)\), \(Q(4\,;1)\) et \(R(2\,;4)\). Quatre outils sont proposés : « Glisser » applique une translation, « Pivoter » applique la rotation de centre \(O\) et d'angle \(\dfrac{\pi}{2}\), « Zoomer » applique une homothétie de centre \(O\), « Miroir » applique une symétrie orthogonale. Chaque question repart de l'icône initiale \(PQR\).
1) On glisse l'icône selon le vecteur \(\vec{u}(3\,;-2)\), puis selon le vecteur \(\vec{v}(-5\,;6)\). Détermine la nature et le vecteur de la transformation obtenue, puis les coordonnées des images de \(P\), \(Q\) et \(R\). L'ordre des deux glissements a-t-il une importance ?
2) On utilise deux fois de suite l'outil « Pivoter ». Détermine la nature de la transformation obtenue et les coordonnées des images de \(P\), \(Q\) et \(R\). Combien de fois faut-il utiliser cet outil, au minimum, pour que l'icône retrouve sa position initiale ? Justifie.
3) On zoome avec le rapport 3, puis avec le rapport \(\dfrac{1}{2}\). Détermine la transformation obtenue et les coordonnées des images de \(P\), \(Q\) et \(R\). Calcule l'aire de l'icône initiale et celle de l'icône obtenue ; par quel nombre l'aire a-t-elle été multipliée ?
4) On note \((D_1)\) la droite d'équation \(x=1\) et \((D_2)\) la droite d'équation \(x=4\). On applique la symétrie \(S_{(D_1)}\), puis la symétrie \(S_{(D_2)}\). Détermine les expressions analytiques de ces deux symétries, puis la nature et l'élément caractéristique de la composée \(S_{(D_2)}\circ S_{(D_1)}\). Donne l'image de \(P\).
5) On applique maintenant \(S_{(D_2)}\) en premier, puis \(S_{(D_1)}\). Quelle transformation obtient-on ? Interprète les résultats des questions 4 et 5 pour l'utilisateur de l'application.